祁居攀

數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，在中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)中起著承上啟下的作用，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，但在平時(shí)的學(xué)習(xí)中同學(xué)們往往對(duì)定義、概念的理解不透，對(duì)公式、性質(zhì)應(yīng)用不熟而導(dǎo)致錯(cuò)誤，本文對(duì)數(shù)列中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)加以剖析，希望從糾錯(cuò)中得到進(jìn)一步的提升，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

一、概念理解錯(cuò)誤

例1 設(shè)數(shù)列{an}中，S1=1，S2=2，Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）判斷{an}是不是等比數(shù)列.

解題思路：∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0（n≥2）

∴Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1），即an+1=2an（n≥2）

an+1an=2（n≥2）又a1=S1=1，a2=S2-S1=1，a2a1=1≠2所以不是等比數(shù)列.

失分警示：忽視a1與an（n≥2）關(guān)系，由an+1an=2（n≥2）直接判斷成{an}是等比數(shù)列.

糾錯(cuò)心得：錯(cuò)誤的原因是在對(duì)n的范圍限制的遺漏，以及對(duì)等比數(shù)列的定義理解不透徹，從an+1an=2（n≥2）來(lái)看，反映的是數(shù)列{an}從第3項(xiàng)開(kāi)始后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，而等比數(shù)列的定義是從第2項(xiàng)開(kāi)始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是常數(shù)，故需討論a1與an（n≥2）關(guān)系.

二、定義應(yīng)用錯(cuò)誤

例2 “b2=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列的 條件（從充分非必要、必要非充分、充要、既非充分也非必要中選）.

正確解析：當(dāng)a=b=c=0時(shí)，滿足條件b2=ac，但它們不能構(gòu)成等比數(shù)列；當(dāng)a，b，c構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，有b2=ac，由此“b2=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的必要非充分條件.

錯(cuò)因分析：忽視等比數(shù)列的首項(xiàng)及公比不為零而錯(cuò)填充要條件.

糾錯(cuò)心得：因思考不嚴(yán)密，漏掉了特例對(duì)結(jié)論的影響，忽略了等比數(shù)列是由后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為定值來(lái)定義的，即等比數(shù)列的任一項(xiàng)都是非零值.比例式化為乘積式成立，反之乘積式化為比例式時(shí)，應(yīng)注意取值為零時(shí)不能轉(zhuǎn)化這一特例.

三、性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤

例3 在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，設(shè)x=a5+a10，y=a2+a13則x與y的大小關(guān)系是 .

解題思路：x-y=a1q（1-q3）（q8-1）.當(dāng)q=1時(shí)，x=y；

當(dāng)q>1時(shí)，1-q3<0而q8-1>0，x-y<0；當(dāng)q<1時(shí)，1-q3>0而q8-1<0，x-y<0；

錯(cuò)因分析：誤區(qū)1：錯(cuò)用等比數(shù)列性質(zhì)，∵5+10=2+13，∴a5+a10=a2+a13

誤區(qū)2：∵x-y=a1q（1-q3）（q8-1），而1-q3，q8-1的符號(hào)隨q與1的大小關(guān)系的變化而變化的，即x-y的符號(hào)不確定.

四、通項(xiàng)公式應(yīng)用錯(cuò)誤

例4 Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，已知Sn=2n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解題思路：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.由于n=1時(shí)，不符合上式，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2，n=1，2n-1，n≥2.

錯(cuò)因分析：由和的通項(xiàng)公式求項(xiàng)的通項(xiàng)公式時(shí)，易忽視n=1的情況，直接得出an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1.導(dǎo)致錯(cuò)誤.

糾錯(cuò)心得：由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的條件求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，一般要分n=1與n≥2進(jìn)行討論，即由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn得出an的關(guān)系式：an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2.若n=1也符合n≥2時(shí)的式子，則可以合并成一個(gè)通項(xiàng)公式；如果不能合并，則按分段的形式給出結(jié)論.

五、前n項(xiàng)和公式應(yīng)用錯(cuò)誤

例5 若兩個(gè)數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn且滿足SnTn=3n+24n-5，則a5b5= .

錯(cuò)因分析：公差不為零的等差數(shù)列的和式是二次式an2+bn，對(duì)Sn的形式理解不夠，出現(xiàn)了由SnTn=3n+24n-5得出Sn=（3n+2）k，Tn=（4n-5）k，進(jìn)而出現(xiàn)了a5=S5-S4=3k，b5=T5-T4=4k，a5b5=3k4k=34這樣的錯(cuò)誤.

正確解析：解法一 SnTn=3n+24n-5得出Sn=（3n+2）nk，Tn=（4n-5）nk，

則a5=S5-S4=29k b5=T5-T4=31k 故a5b5=29k31k=2931

解法二 a5b5=9a59b5=9（a1+a9）29（b1+b9）2=S9T9=3×9+24×9-5=2931.

糾錯(cuò)心得：公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以在設(shè)公差時(shí)，注意將前n項(xiàng)和還原成二次函數(shù)，另外，應(yīng)注意等差數(shù)列求和公式的一個(gè)變形：S2n-1=（2n-1）an在解題中的應(yīng)用.

六、忽視公比為“1”的情況導(dǎo)致錯(cuò)誤

例6 設(shè)x∈R且x≠0，求數(shù)列{（n-1）xn}的前n項(xiàng)的和Sn.

正確解析：∵x∈R且x≠0 ∴對(duì)x可分以下兩種情況討論：

當(dāng)x=1時(shí)，Sn=0+1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）2

當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=0·x1+1x2+2x3+3x4+…+（n-1）xn，①

xSn=0·x2+1x3+2x4+3x5+…+（n-1）xn+1，②

由①-②得（1-x）Sn=x2+x3+x4+x5+…+xn-（n-1）xn+1=x2-xn+11-x-（n-1）xn+1，

∴Sn=x2-nxn+1+（n-1）xn+2（1-x）2

綜上所述，當(dāng)x=1時(shí)，Sn=n（n-1）2；當(dāng)x≠1時(shí)Sn=x2-nxn+1+（n-1）xn+2（1-x）2

錯(cuò)因分析：本題易忽視當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+2+3+…+n-1=n（n-1）2的情況而導(dǎo)致漏解.

糾錯(cuò)心得：利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，等式兩邊同乘以公比q，若無(wú)法判斷q的取值時(shí)，應(yīng)分q=1和q≠1兩種情況討論，以防出錯(cuò).

七、單調(diào)性應(yīng)用錯(cuò)誤

例7 已知{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)任意n∈N都有an=n2+λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是 .

解題思路：∵{an}是遞增數(shù)列，∴an+1>an即（n+1）2+λ（n+1）>n2+λn ∴λ>-2n-1對(duì)于n∈N恒成立，而-2n-1在n=1時(shí)取得最大值-3，∴λ>-3

錯(cuò)因分析：an=n2+λn=（n+λ2）2-λ4，對(duì)稱軸n=-λ2，當(dāng)n≥1時(shí)為遞增數(shù)列，則-λ2≤1從而得λ≥-2.

糾錯(cuò)心得：數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用動(dòng)態(tài)函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列，但必須時(shí)刻注意其“特殊”性，即定義域?yàn)閚∈N.

八、審題錯(cuò)誤

例8 等差數(shù)列的首項(xiàng)為24且從第10項(xiàng)起才開(kāi)始為負(fù)，則其公差的取值范圍是 .

正確解析：由條件a10<0a9≥0即24+9d<024+8d≥0所以-3≤d<-83.

錯(cuò)因分析：對(duì)等差數(shù)列的單調(diào)性理解不夠，而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

由a10<0，即24+9d<0，得d<-83.

糾錯(cuò)心得：本題的錯(cuò)因是沒(méi)有正確理解題意，從第10項(xiàng)起才開(kāi)始為負(fù)，隱含條件是前面的項(xiàng)應(yīng)該為非負(fù)數(shù)，易知其公差是小于零的，即為遞減數(shù)列，由相鄰項(xiàng)a9、a10符號(hào)組成不等式組的解才是正確的解.