最值問題是高中數(shù)學中的常見問題也是非常重要的問題，它內容豐富，涉及面廣，解法靈活多變，因而倍受命題者青睞，成為高中數(shù)學的一道亮麗風景.解決最值問題的思想方法有許多，這要根據(jù)具體的問題來作出具體的分析和判斷，從而選擇具體的方法去解決它.本文就高中數(shù)學中常見的一些最值問題談談若干的思想方法，希望對讀者能夠有所借鑒和幫助.

一、利用配方

例1 設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若不等式a2n+S2nn2≥λa21對任何等差數(shù)列{an}及任何正整數(shù)n恒成立，求λ的最大值.

【分析】 當a1=0時，λ∈R；當a1≠0時，由a2n+S2nn2≥λa21得λ≤（ana1）2+（a1+an2a1）2.

設ana1=t，則λ≤t2+（12+t2）2.又t2+（12+t2）2=54t2+t2+14=54（t+15）2+15≥15

∴λ≤15.綜上可知λ的最大值是15.

二、利用判別式

例2 已知實數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=3，a2+b2+c2=92，求a的最大值.

【分析】 由于題設中含有三個變量，可以考慮先通過等量代換消去c，可使問題轉化為關于變量b的一元二次方程，因方程有實數(shù)根，再利用判別式Δ≥0求出a的取值范圍.

將c=3-（a+b）代入a2+b2+c2=92，整理得4b2+4（a-3）b+4a2-12a+9=0，由題設知方程有實數(shù)根，由Δ≥0.求之得0≤a≤2.所以a的最大值是2.

三、利用解不等式

例3 設x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

【分析】 ∵4x2+y2+xy=1，∴（2x+y）2-3xy=1，即（2x+y）2-32·2xy=1，

∴（2x+y）2-32（2x+y2）2≤1，解之得：（2x+y）2≤85，即-2105≤2x+y≤2105.

所以2x+y的最大值是2105

四、利用三角函數(shù)有界性

例4 A是單位圓與x軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP=θ，（0<θ<π），OQ=OA+OP，四邊形OAQP的面積為S，求OA·OQ+S的最大值.

【分析】 由已知A（1，0），P（cosθ，sinθ），∵OQ=OA+OP，∴OQ=（1+cosθ，sinθ）

又S=sinθ，∴OA·OQ+S=sinθ+cosθ+1=2sin（θ+π4）+1（0<θ<π），∵0<θ<π，∴π4<θ+π4<5π4，∴-22

五、利用函數(shù)單調性

例5 已知函數(shù)f（x）=x2+2x+12x，x∈[1，+∞），求函數(shù)f（x）的最小值.

【分析】 f（x）=x+12x+2，∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為f（1）=72.

六、利用線性規(guī)劃

例6 設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

【分析】 進行知識遷移，將數(shù)列問題轉化成線性規(guī)劃.約束條件為2a1+3d≥5a1+2d≤3，目標函數(shù)為a4=a1+3d.建立平面直角坐標系a1od，畫出可行域易知，當直線a4=a1+3d過可行域內（1，1）點時截距最大，此時目標函數(shù)取最大值a4=4.

七、利用數(shù)形結合

例7 若|x-a|+1x≥12對一切x>0恒成立，求a的最大值.

【分析】 分別考慮函數(shù)y1=|x-a|和y2=-1x+12的圖像，由圖像容易知道，當a≤2時，|x-a|≥-1x+12對一切x>0恒成立，所以a的最大值為2.

八、利用基本不等式

例8 已知三次函數(shù)f（x）=a3x3+b2x2+cx+d（a

【分析】 由題意f′（x）=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，則a>0，Δ=b2-4ac≤0.

∴a+b+cb-a=a2+ab+acab-a2≥a2+ab+14b2ab-a2=1+ba+14（ba）2ba-1，令t=ba（t>1），

則a+b+cb-a≥1+t+14t2t-1=14（t+2）2t-1

=14（t-1+3）2t-1=14（t-1+9t-1+6）≥3（當且僅當t=4，即b=4a=c時取“=”）.所以a+b+cb-a的最小值為3.

九、利用導數(shù)

例9 設直線x=t與函數(shù)f（x）=x2，g（x）=lnx的圖像分別交于點M，N，求當|MN|達到最小時的t的值.

【分析】 由題|MN|=x2-lnx，（x>0）不妨令h（x）=x2-lnx，則h′（x）=2x-1x，令h′（x）=0解得x=22，因x∈（0，22）時，h′（x）<0，當x∈（22，+∞）時，h′（x）>0，所以當x=22時，|MN|達到最小.即t=22.

十、利用對稱

例10 雙曲線x23-y2=1，F(xiàn)是右焦點，A（3，1），P是該雙曲線右支上任意一點，求|PF|+|PA|的最小值.

【分析】 本題主要考查雙曲線的定義及數(shù)形結合思想，具有較強的思辨性.此問題涉及到雙曲線的右焦點，如果聯(lián)想不到其對稱的左焦點就不易解決問題，這細微之處是“一兩撥千斤”的關鍵所在.由雙曲線定義可得|PF|-|PF1|=-2a=-23，而|PF1|+|PA|≥|AF1|=26，當且僅當A、P、F1三點共線時等號成立，兩式相加得|PF|+|PA|≥26-23，所以|PF|+|PA|的最小值為26-23.

十一、利用解析法

例11 若AB=2，AC=2BC，求S△ABC的最大值.

【分析】 此題用常規(guī)方法解答很煩瑣，可利用解析法來解決.以直線AB為x軸，線段AB的中點為坐標原點O，建立直角坐標系，設C（x，y），則由AC=2BC，

得（x+1）2+y2=2·（x-1）2+y2，∴（x-3）2+y2=8.點C的軌跡為圓，其半徑為22.

則△ABC的面積的最大值等于12×2×22=22.

十二、利用向量

例12 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，求|PA+3PB|的最小值.

【分析】 以相互垂直的向量DP，DA為基底表示PA+3PB，得

PA+3PB=DA-DP+3PC+3CB=52DA+（3PC-DP）.

又P是腰DC上的動點，即PC與DP共線，于是可設PC=λDP，

有PA+3PB=52DA+（3λ-1）DP.

所以|PA+3PB|2=254|DA|2+[（3λ-1）DP]2+52×（3λ-1）DA·DP

即|PA+3PB|2=254|DA|2+[（3λ-1）DP]2=25+|（3λ-1）DP|2.

由于P是腰DC上的動點，顯然當λ=13，即PC=13DP時，

所以|PA+3PB|有最小值5.

十二、利用構造法

例12 設實數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，求x3y4的最大值.

【分析】 可以用已知的兩個不等式構造出x3y4的最大值.只需將4≤x2y≤9平方，

3≤xy2≤8變?yōu)榈箶?shù)，就得到（x2y）2∈[16，81]，1xy2∈[18，13]，

因此x3y4=（x2y）2·1xy2∈[2，27]，所以x3y4的最大值是27.

十三、利用特殊函數(shù)

例13 已知m，n∈R，且m+2n=2，求m·2m+n·22n+1的最小值.

【分析】 從結構上觀察發(fā)現(xiàn)可以把m·2m+n·22n+1化為m·2m+2n·22n，構造函數(shù)f（x）=x·2x（x∈R），問題化為求f（m）+f（2n）.由條件m+2n=2，聯(lián)想到研究函數(shù)的凸凹性，f（x）=x·2x是凹函數(shù)，所以f（m）+f（2n）2≥f（m+2n2）=f（1）=2，所以

m·2m+n·22n+1的最小值為4.當且僅當m=2n=1即m=1，n=12時取到最小值.

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：如果任意x1，x2∈R，都有f（x1+x22）≤12[f（x1）+f（x2）]，則稱函數(shù)f（x）是R上的凹函數(shù).

十四、利用柯西不等式

例14 已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值.

【分析】 柯西不等式是著名的不等式之一，靈活巧妙的應用它，可以使一些比較困難的問題迎刃而解.

利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2=1 ∴x2+y2+z2≥114，

當且僅當x1=y2=z3，即x=114，y=17，z=314時，x2+y2+z2取的最小值114.

最值問題也可以表述成值域問題，取值范圍等問題.它與許多知識的聯(lián)系是十分緊密的，綜合性很強，是考查觀察、分析、綜合、探索以及運用數(shù)學思想方法等能力的極好素材.最近幾年最值問題向著多形式的題型發(fā)展，并有拓寬和加深的趨勢.因此我們有必要把運用數(shù)學思想求最值的知識方法認真總結和歸納，從而更好的理解和掌握它，培養(yǎng)我們良好的思維品質，提高分析問題和解決問題的能力.

（作者：翁星榮，蘇州市木瀆第二高級中學）