本刊試題研究組

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分

1.函數(shù)f（x）=（1+3tanx）cosx的最小正周期為.

2.已知f（x）=cos（πx），1x≤0

f（x-1）+1，1x>0，則f（413）+f（-413）的值是.

3.在鈍角△ABC中，已知a=1，b=2，則最大邊c的取值范圍是.

4.函數(shù)y=sinπx13在區(qū)間[0，n]上至少取得2個(gè)最大值，則正整數(shù)n的最小值是.

5.已知e1、e2是夾角為2π13的兩個(gè)單位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，則實(shí)數(shù)k=.

6.函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是.

7.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有（填序號(hào)）.

①（a·b）c-（c·a）b=0；

②|a|-|b|<|a-b|；

③（b·c）a-（a·c）b不與c垂直；

④（3a+4b）·（3a-4b）=9|a|2-16|b|2.

8.在△ABC中，AB=2，AC=1，D為BC的中點(diǎn)，則AD·BC=.

9.存在x∈[0，2π），使2（4-m）sin（x-π13）-（4m-6）=0成立，則m的取值范圍是.

10.關(guān)于x的不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是.

11.在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB·AF=2，則AE·BF=.

12.在銳角△ABC中，b=2，B=π13，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，則△ABC的面積為.

13.設(shè)e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，已知OM=e1，ON=e2，OP=x·OM+y·ON（x，y為實(shí)數(shù)）.若△PMN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則x-y取值的集合為.

14.如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上（含原點(diǎn)）滑動(dòng)，則OB·OC的最大值是.

二、解答題：本大題共6小題，共90分

15.（本小題滿分14分）

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π12）在它的某一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間是[5π112，11π112].

（1）求f（x）的解析式；

（2）將y=f（x）的圖象先向右平移π16個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的112倍（縱坐標(biāo)不變），所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)記為g（x），求函數(shù)g（x）在[π18，3π18]上的最大值和最小值.

16.（本小題滿分14分）

設(shè)向量a=（4cosα，sinα），b=（sinβ，4cosβ），c=（cosβ，-4sinβ）.

（1）若a與b-2c垂直，求tan（α+β）的值；

（2）求|b+c|的最大值；

（3）若tanαtanβ=16，求證：a∥b.

17.（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+φ）（A>0，0<φ<π）在x=π112時(shí)取得最大值是4.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的解析式；

（3）若f（213α+π112）=1215，求sinα.

18.（本小題滿分16分）

已知兩個(gè)不共線的向量a，b的夾角為θ，且|a|=3，|b|=1，x為正實(shí)數(shù).

（1）若a+2b與a-4b垂直，求tanθ；

（2）若θ=π16，求|xa-b|的最小值及對(duì)應(yīng)x的值，并指出向量a與xa-b的位置關(guān)系；

（3）若θ為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程|xa-b|=|ma|有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，且x≠m，求m的取值范圍.

19.（本小題滿分16分）

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小船沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.

（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說(shuō)明理由.

20.（本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=sin2x+23sinxcosx+sin（x+π14）sin（x-π14），x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期和值域；

（2）若x=x0（0≤x≤π12）為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x0的值.

參考答案

1. 2π2. 13. 5

6. 1

10. a<-2-6或a>211. 212. 313. {1}

14. 2

15.解：（1）依題意得：T12=11π112-5π112=π12，∴2π1ω=π，∴ω=2，

又sin（2×5π112+φ）=1，∴φ=-π13，

∴f（x）的解析式為f（x）=sin（2x-π13）.

（2）將y=f（x）的圖象先向右平移π16個(gè)單位，得sin（2x-2π13），再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的112倍（縱坐標(biāo)不變），得sin（4x-213π），

∴g（x）=sin（4x-2π13），而x∈[π18，3π18]，

∴-π16≤4x-2π13≤5π16，

∴函數(shù)g（x）在[π18，3π18]上的最大值為1，最小值為-112.

16.解：（1）b-2c=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），

∵a與b-2c垂直，

∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，

∴sin（α+β）=2cos（α+β），即tan（α+β）=2.

（2）b+c=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），

|b+c|=（sinβ+cosβ）2+16（cosβ-sinβ）2

=17-15sin2β≤17+15=42，

則|b+c|的最大值為42.

（3）證明：由tanαtanβ=16，

得sinαsinβ=16cosαcosβ，

即4cosα4cosβ-sinαsinβ=0，所以a∥b.

17.解：（1）依題意得：T=2π13.

（2）∵f（x）最大值是4，∴A=4，

f（x）max=f（π112）=4sin（3π112+φ）=4，

即sin（π14+φ）=1，

∵0<φ<π，∴π14<π14+φ<5π14，∴π14+φ=π12，

∴φ=π14，∴f（x）=4sin（3x+π14）.

（3）f（213α+π112）=4sin[3（213α+π112）+π14]=1215，

即sin[3（213α+π112）+π14]=315，

sin（2α+π12）=315，cos2α=315，1-2sin2α=315，

sin2α=115，∵0<α<π，∴sinα=515.

18.解：（1）由題意得，（a+2b）（a-4b）=0，即a2-2a·b-8b2=0，

得32-2×3×1×cosθ-8×12=0，得cosθ=116，

又θ∈（0，π），故θ∈（0，π12），因此，sinθ=1-cos2θ=1-（116）2=3516，

tanθ=sinθ1cosθ=35.

（2）|xa-b|=（xa-b）2=x2a2-2xa·b+b2=9x2-2x×3×1×cosπ16+1

=9（x-316）2+114，

故當(dāng)x=316時(shí)，|xa-b|取得最小值為112，

此時(shí)，a·（xa-b）=xa2-a·b=316×9-3×1×cosπ16=0，

故向量a與xa-b垂直.10分

（3）對(duì)方程|xa-b|=|ma|兩邊平方整理，得9x2-（6cosθ）x+1-9m2=0，①

設(shè)方程①的兩個(gè)不同正實(shí)數(shù)解為x1，x2，

則由題意得，

Δ=（6cosθ）2-4×9×（1-9m2）>0，

x1+x2=6cosθ19>0，

x1x2=1-9m219>0.

解之得，113sinθ

若x=m，則方程①可以化為-（6cosθ）x+1=0，

則x=116cosθ，即m=116cosθ.

而x≠m，故得m≠116cosθ.

令113sinθ<116cosθ<113，

得sin2θ<1，

cosθ>112，得0°<θ<60°，且θ≠45°，

當(dāng)0°<θ<60°，且θ≠45°時(shí)，m的取值范圍為{m|113sinθ

當(dāng)60°≤θ<90°，或θ=45°時(shí)，

m的取值范圍為{m|113sinθ

19.解：（1）要小艇到港口O的正北與輪船在點(diǎn)C相遇距離最小此時(shí)OC=103，AC=10，航行時(shí)間t=10130=113（小時(shí)），

航速v=1031t=1031113=303（海里/小時(shí)）

（2）由（1）得

OC=103，AC=10，故OC>AC，且對(duì)于線段AC上任意點(diǎn)P，有OP≥OC>AC，而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)∠COD=θ（0°<θ<90°），則在Rt△COD中，CD=103tanθ，OD=1031cosθ，

由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為t=10+103tanθ130和t=1031vcosθ，

所以10+103tanθ130=1031vcosθ，解得v=1531sin（θ+30°），又v≤30，故sin（θ+30°）≥312，

從而30°≤θ≤90°，由于θ=30°時(shí)，tanθ取得最小值，且最小值為313，于是

當(dāng)θ=30°時(shí)，t=10+103tanθ130取得最小值，且最小值為213.

此時(shí)，在△OAB中，OA=OB=AB=20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：

航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.

20.解：（1）依題意得：

f（x）=sin2x+3sin2x+112（sin2x-cos2x）

=1-cos2x12+3sin2x-112cos2x

=3sin2x-cos2x+112=2sin（2x-π16）+112，

∴f（x）周期π，值域?yàn)閇-312，512]；

（2）由f（x0）=2sin（2x0-π16）+112=0，

得sin（2x0-π16）=-114<0.

又∵0≤x0≤π12得-π16≤2x0-π16≤5π16，

故∴cos（2x0-π16）=1514，

此時(shí)，sin2x0=sin[（2x0-π16）+π16]

=sin（2x0-π16）cosπ16+cos（2x0-π16）sinπ16