徐彩娥

三角函數(shù)內(nèi)容看似簡單，卻暗藏殺機，稍不留意，就會犯這樣或那樣的錯誤.那么，有關(guān)三角函數(shù)問題有哪些誤區(qū)需重點防范呢？本文給同學(xué)們“曬一曬”！

誤區(qū)一、忽視角的范圍

例1已知sinθ·cosθ=118且π14<θ<π12，則cosθ-sinθ的值為.

錯解：∵（cosθ-sinθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×118=314，

∴cosθ-sinθ=±312，故填“±312”.

剖析：聯(lián)想cosθ±sinθ與sinθcosθ的關(guān)系式：（cosθ±sinθ）2=1±2sinθcosθ可知，欲求cosθ-sinθ的值，不妨先求（cosθ-sinθ）2的值，思路沒錯，但應(yīng)注意到當(dāng)π14<θ<π12時，sinθ>cosθ，故cosθ-sinθ<0.

正解：（cosθ-sinθ）2=1-2sinθcosθ=1-2×118=314，

而π14<θ<π12，∴cosθ-sinθ<0，

∴cosθ-sinθ=-314=-312，故應(yīng)填“-312”.

誤區(qū)警示：當(dāng)三角函數(shù)求值問題出現(xiàn)多解時，必須注意檢驗！審視角的取值范圍，謹(jǐn)防出現(xiàn)“增解”.

誤區(qū)二、忽視三角函數(shù)的定義域

例2求函數(shù)f（x）=sinxcosx11+sinx+cosx的遞增區(qū)間.

錯解：設(shè)t=sinx+cosx，t∈[-2，2]，則sinxcosx=t2-112，于是

f（x）=t2-112（1+t）=t-112=sinx+cosx-112

=212sin（x+π14）-112.

由2kπ-π12≤x+π14≤2kπ+π12，解得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[2kπ-3π14，2kπ+π14]（k∈Z）.

剖析：上述解法忽略了函數(shù)的定義域，題目中分母不能為零.

正解：設(shè)t=sinx+cosx，t∈[-2，1）∪（-1，2]，則sinxcosx=t2-112，于是

f（x）=t2-112（1+t）=t-112=sinx+cosx-112

=212sin（x+π14）-112.

由2kπ-π12≤x+π14≤2kπ+π12（k∈Z）解得2kπ-3π14≤x≤2kπ+π14（k∈Z），

又1+sinx+cosx≠02sin（x+π14）≠-1x≠2kπ-π12且x≠2kπ-π.

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[2kπ-3π14，2kπ-π12）和（2kπ-π12，2kπ+π14]（k∈Z）.

誤區(qū)警示：“函數(shù)問題，定義域優(yōu)先考慮”.有些三角函數(shù)的定義域，因其相對隱蔽，解題時往往被我們忽略考慮而造成錯解，為了防止錯解，在對三角函數(shù)式實施三角恒等變化前，我們必須先確定定義域.

誤區(qū)三、忽視三角函數(shù)的有界性

例3若關(guān)于x的方程2cos2（π+x）-sinx+a=0有實根，求實數(shù)a的取值范圍.

錯解：原方程變形為：2cos2x-sinx+a=0，

即2-2sin2x-sinx+a=0，

令sinx=t，則原等式即為2-2t2-t+a=0，

a=2t2+t-2=2（t+114）2-1718≥-1718，

所以a的取值范圍是[-1718，+∞）.

剖析：利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，沒錯！但必須注意換元后自變量的取值范圍.令sinx=t后，t的取值范圍取決于sinx的值域，即[-1，1]，不能默認(rèn)為是實數(shù)R.

正解：原方程變形為：2cos2x-sinx+a=0，

即2-2sin2x-sinx+a=0，

令sinx=t，則原等式即為2-2t2-t+a=0（-1≤t≤1），

∴當(dāng)t=-114時，amin=-1718；當(dāng)sinx=1時，amax=1.

∴a的取值范圍是[-1718，1].

誤區(qū)警示：當(dāng)三角換元時，必須注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的“有界性”！

誤區(qū)四、忽視三角函數(shù)的單調(diào)性

例4已知α、β∈（0，π12），且cosα=515，cosβ=+10110，求α+β.

錯解：∵α、β∈（0，π12），且cosα=515，cosβ=+10110，故sinα=2515，sinβ=310110，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=2515·10110+515·310110=212.

由α、β∈（0，π12）知α+β∈（0，π），∴α+β=π14或α+β=3π14.

剖析：由于正弦值為212的角在（0，π）上不唯一，才造成兩解.正確解法應(yīng)是取余弦，因余弦函數(shù)在（0，π）中是單調(diào)的，這樣才不會擴大解集.

正解：∵α、β∈（0，π12），且cosα=515，cosβ=+10110，故sinα=2515，sinβ=310110，

又∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=515·10110-2515·310110=-212，

由α+β∈（0，π），且余弦函數(shù)在區(qū)間（0，π）遞減知α+β=3π14.

誤區(qū)警示：當(dāng)三角函數(shù)中的未知數(shù)前面的系數(shù)是負數(shù)時，應(yīng)先“化負為正”后再確定單調(diào)區(qū)間；而依據(jù)三角函數(shù)值求角，必須注意三角函數(shù)的單調(diào)性，否則往往出現(xiàn)給人以答案不唯一的錯覺.

誤區(qū)五、忽視隱含條件

例5若sinα=515，sinβ=10110，且α，β均為銳角，求α+β的值.

錯解：∵α為銳角，∴cosα=1-sin2α=2515.

又β為銳角，∴cosβ=1-sin2β=310110.

且sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=212，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α+β<180°，故α+β=45°或135°.

剖析：錯解沒有注意挖掘題目中的隱含條件，忽視了對角的范圍的限制.事實上，僅由sin（α+β）=212，0°<α+β<180°而得到α+β=45°或135°是正確的，但題設(shè)中sinα=515<112，sinβ=10110<112，使得0°<α<30°，0°<β<30°從而0°<α+β<60°，故上述結(jié)論是錯誤的，為了避免這個錯誤，可選擇求α+β的余弦值.

正解：∵α為銳角，∴cosα=1-sin2α=2515.

又β為銳角，∴cosβ=1-sin2β=310110.

且cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=212，

由于0°<α<90°，0°<β<90°，∴0°<α+β<180°，故α+β=45°.

誤區(qū)警示：當(dāng)題中給出角的范圍時，我們根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，將所給角的范圍進一步縮小，這樣可以防止“增解”的出現(xiàn).

誤區(qū)六、忽視三角形的有關(guān)性質(zhì)

例6在△ABC中，已知∠C=15°，b=22，a=2，求∠A.

錯解：由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos15°，

即c2=4+8-2×2×22×6+214=8-43.

∴c=6-2.

又由正弦定理，得sinA=asinC1c=112.而0°<∠A<180°，∴∠A=30°或∠A=150°.