王中華

三角函數(shù)一直是高考的重要內容，在一份高考試卷中通常出現(xiàn)1～2個填空題，一個解答題.填空題主要考查三角函數(shù)的基本概念、圖象性質、誘導公式及“和、差、倍”角公式的運用.解答題側重考查正余弦定理及函數(shù)y=Asin（ωx+）的圖象性質等.考題大多是課本例、習題的變形，因此復習時應“立足于課本，著眼于提高”，這也與當前高考命題特色相吻合.

考點一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)【考點解讀】 三角函數(shù)的概念在高考中單獨命題較少，但幾乎所有三角函數(shù)試題都離不開這部分內容，同時該內容也是研究三角函數(shù)的性質，解決三角問題的基礎.理解任意角、終邊相同的角及弧度制等概念，能夠根據(jù)條件利用三角函數(shù)的定義求某些三角函數(shù).在解三角不等式時，數(shù)形結合利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧.

例1已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧長l及該弧所在的弓形面積.

（2）若扇形周長為20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？

（3）若將該扇形的圓心放在坐標原點，使角α的始邊與x軸重合，已知角α的終邊上一點P的坐標為（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ與α的終邊相同，且-720°≤θ<0°.

【思路點撥】 （1）可直接使用弧長公式計算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧長或半徑來表達出扇形的面積，弓形面積由扇形面積與三角形面積的差組成，然后確定其最大值.（3）利用三角函數(shù)的定義求解，注意對y的討論.（4）利用終邊相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）∵α=60°=π13rad，R=30，∴l(xiāng)=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由題意得l+2R=20，∴l(xiāng)=20-2R（0

∴S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

∴當且僅當R=5時，S有最大值25（cm）2.

此時l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

∴當α=2rad時，扇形面積取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以當y=5時，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

當y=-5時，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到適合-720°≤θ<0°的角：

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【歸納總結】 扇形的面積與弧長的計算在幾何中應用較多，都可以用角度制與弧度制兩種方式給出，應注意角度制與弧度制不能混用.合理利用圓心角所在的三角形，合理選擇參數(shù)，運用函數(shù)思想、轉化思想，解決扇形中的有關最值問題.利用定義法求三角函數(shù)值需要已知或設角α終邊上一異于原點的點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.

【變式訓練1】

（1）已知角α的終邊在直線y=-3x上，則10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助計算器的情況下，證明：sin20°<7120.（1996年第12屆全俄數(shù)學競賽題）

考點二、三角函數(shù)的同角公式及誘導公式

【考點解讀】 求值題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式的應用，利用三角公式進行恒等變形的技能.題型多為選擇題或填空題.六組誘導公式可統(tǒng)一記為“奇變偶不變，符號看象限”.利用誘導公式進行化簡求值時，先利用公式化任意角三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其原則：負化正、大化小、化到銳角為終了.切弦互化的技巧必須靈活掌握.

例2（1）設θ為第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，則sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同時成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請說明理由.

【思路點撥】 （1）利用兩角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再聯(lián)想平方關系式，解題突破口就是求解關于“sinθ，cosθ”的方程組.（2）要想求出α，β的值，必須知道α，β的某一個三角函數(shù)值，解決本題的關鍵是由兩個等式，消去α或β得出關于β或α的同名三角函數(shù)值.

【解析】 （1）∵tan（θ+π14）=112，∴tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

∴sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假設存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由誘導公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，∴cos2α=112，

又∵α∈（-π12，π12），∴α=π14或α=-π14，

將α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），∴β=π16代入③可知符合.

將α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），∴β=π16代入③可知不符合.

綜上可知，存在α=π14，β=π16滿足條件.

【歸納總結】 （1）對于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求.轉化的公式為（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）關于sinθ，cosθ的齊次式，往往化為關于tanθ的式子.已知角α的三角函數(shù)值求角α的一般步驟是：①由三角函數(shù)值的符號確定角α所在的象限；②據(jù)角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用終邊相同的角寫出角α的一般表達式.

【變式訓練2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考點三、三角函數(shù)的圖象和性質

【考點解讀】 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖象，理解這三種函數(shù)的性質（如周期性、單調性、奇偶性、最大值和最小值、對稱中心和對稱軸等），函數(shù)的單調性是相對于某一區(qū)間而言的，研究其單調性必須在定義域內進行.

例3（1）求函數(shù)y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定義域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及單調區(qū)間；

（3）求函數(shù)y=3cosx-3sinx的值域.

【思路點撥】 （1）求三角函數(shù)的定義域實際上是解簡單的三角不等式（組），常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解.（2）先化為：y=-3tan（x14-π16），再求單調區(qū)間.（3）先將原函數(shù)式進行等價變形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自變量的取值變化.

【解析】 （1）要使函數(shù)有意義，則

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如圖利用單位圓得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

∴函數(shù)的定義域為：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

∴T=π1|ω|=4π，∴y=3tan（π16-x14）的周期為4π.

由kπ-π12

∴3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞增，

∴y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）內單調遞減.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

∵|cos（x+π16）|≤1，∴該函數(shù)值域為[-23，23].

【歸納總結】 （1）求三角函數(shù)的定義域，既要注意一般函數(shù)定義域的規(guī)律，又要注意三角函數(shù)的特性，如題中出現(xiàn)tanx，則一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖象和數(shù)軸.（2）對于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)），其周期T=π1|ω|，單調區(qū)間利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范圍，即為其單調區(qū)間.（3）將原函數(shù)式化為一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化為關于sinx（或cosx）的二次函數(shù)式，切忌忽視函數(shù)的定義域.

【變式訓練3】

已知函數(shù)f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間.

考點四、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應用【考點解讀】 該考點是高考的必考點.理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意義及其對函數(shù)圖象變化的影響.能根據(jù)所給三角函數(shù)的圖象和性質確定其中的參數(shù)，并能由一個三角函數(shù)的圖象通過平移變換、伸縮變換、振幅變換和對稱變換得到另一個三角函數(shù)的圖象.利用三角函數(shù)的解析式可研究三角函數(shù)的性質和圖象.會用三角函數(shù)解決一些簡單實際的問題.

例4已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（π14，0），將函數(shù)f（x）圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向右平移π12個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象.

（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定x0的個數(shù)；若不存在，說明理由.

【思路點撥】 （1）根據(jù)題目給出的周期和對稱中心求得函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)圖象的平移和伸縮的變換規(guī)律逐步得到g（x）；（2）將等差數(shù)列問題轉化為方程在指定區(qū)間內是否有解的問題，再構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性確定零點的個數(shù).

【解析】 （1）由函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω>0，得ω=2，

又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，再將y=cosx的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數(shù)g（x）=sinx.

（2）當x∈（π16，π14）時，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

問題轉化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）內是否有解.

設G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

則G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因為x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）內單調遞增，

又G（π16）=-114<0，G（π14）=212>0，

且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷，故可知函數(shù)G（x）在（π16，π14）內存在唯一零點x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）滿足題意.

【歸納總結】 探討三角函數(shù)的性質，難點在于三角函數(shù)解析式的化簡與整理，熟練掌握三角恒等變換的有關公式，靈活運用角之間的關系對角進行變換，將解析式轉化為一角一函數(shù)的形式，然后通過換元法求解有關性質即可.根據(jù)y=Asin（ωx+φ）+k的圖象求其解析式的問題，主要從A、k、ω及φ等四個方面來考慮.

【變式訓練4】

（1）函數(shù)y=2sin（ωx+φ）在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是.

（2）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學在圖中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同學在Rt△ACH中解得AC=11cos72°，據(jù)此可得cos72°的值所在區(qū)間為.

考點五、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及簡單的三角恒等變換【考點解讀】 該考點是高考的必考點.研究不同三角函數(shù)值之間的關系時，常以角為切入點，并以此為依據(jù)進行公式的選擇，同時還要關注式子的結構特征，通過對式子進行恒等變形，使問題得到簡化.在進行三角運算時必知的幾個技巧：“1”的代換，正切化弦，異角化同角，異次化同次，變角，變名，變結構等化簡技巧.

例5已知函數(shù)f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路點撥】 （1）直接代入，根據(jù)誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值得出結果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角變換公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因為cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【歸納總結】 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：（1）一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，從而正確使用公式；（2）二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；（3）三看“結構特征”，分析結構特征，找到變形的方向.公式的逆用，變形十分重要，常通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù).

【變式訓練5】

31cos10°-11sin170°=.

【變式訓練答案】

1.解析：（1）設α終邊上任一點為P（k，-3k）.則r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

當k>0時，r=10k，∴sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

∴10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

當k<0時，r=-10k，

∴sinα=-3k1-10k=3110，11cosα=-10k1k=-10.

∴10sinα+3×11cosα=310-310=0.