在數(shù)學(xué)解答問(wèn)題中，常常會(huì)遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，然而通過(guò)觀察、分析等思維過(guò)程，可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題，通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”.

暢想一：陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化

例1已知m1=a+ba-b，m2=c+dc-d，m3=ac-bdad+bc，求證：m1+m2+m3=m1m2m3.

分析：由求證式聯(lián)想到△ABC中有一個(gè)熟知結(jié)論：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故可進(jìn)行三角代換來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

解：原條件可化為m1=1+ba1-ba，m2=1+dc1-dc，m3=1-bdacdc+ba，

令ba=tanα，dc=tanβ，則

m1=tan（π4+α），m2=tan（π4+β），

m3=1-tanαtanβtanα+tanβ=1tan（α+β）=tan（π2-α-β）.

因?yàn)椋é?+α）+（π4+β）+（π2-α-β）=π，

所以tan（π4+α）+tan（π4+β）+tan（π2-α-β）=

tan（π4+α）tan（π4+β）tan（π2-α-β）

，即m1+m2+m3=m1m2m3.

點(diǎn)評(píng)：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.本題巧妙地將陌生的分式經(jīng)過(guò)整理變形轉(zhuǎn)化為熟悉的兩角和的正切公式來(lái)解決.

暢想二：復(fù)雜與簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化

例2已知函數(shù)y=1+1-x2-1+x，求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)的值域.

分析：本題觀察上去很復(fù)雜，則我們不妨嘗試用代換法把函數(shù)式變的簡(jiǎn)單些.

解：由1-x2≥01+x≥0，則可得到-1≤x≤1，所以函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，由此可作三角代換.

設(shè)x=cosθ，θ∈[0，π]，x（θ）是單調(diào)遞減函數(shù).則y=1+sinθ-1+cosθ

=sinθ2+（1-2）cosθ2，由于sinθ2，（1-2）cosθ2在θ∈[0，π]上均為單調(diào)增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可以知道：函數(shù)y=1+1-x2-1+x在[-1，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，將x=-1，x=1分別代入得到函數(shù)的值域是[1-2，1].

點(diǎn)評(píng)：本題函數(shù)形式比較復(fù)雜，直接化簡(jiǎn)比較難，通過(guò)引入三角進(jìn)行換元，將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的三角函數(shù)形式，但在引入?yún)?shù)角時(shí)，還需要跟上合適的范圍以便于求解決.

暢想三：抽象與具體的轉(zhuǎn)化

例3設(shè)f（x）定義在實(shí)數(shù)集R上，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，都有f（x+y）=f（x）f（y），同時(shí)f（1）=2，解不等式f（3x-x2）>4.

分析：由題設(shè)條件指數(shù)函數(shù)f（x）=2x符合題題意，而該函數(shù)具有性質(zhì)f（x）>0，f（x）是增函數(shù).（這就是證明方向）又4=2×2=f（1）f（1）=f（1+1）=f（2），原不等式化為f（3x-x2）>f（2）.（這就是變形方向）

解：由f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），f（1）=2得到f（0）=1.

當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1>0；當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，f（-x）>1>0，

而f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，所以x<0時(shí)f（x）>0.

又因?yàn)閒（0）=1>0，所以x∈R，f（x）>0.

設(shè)x1，x2∈R，且x10，f（x2-x1）>1.

而f（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]-f（x1）

=f（x1）f（x2-x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，

所以f（x2）>f（x1），

y=f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù).

又f（1）=2，所以不等式化為f（3x-x2）>f（1）f（1）=f（1+1）=f（2）.則由f（x）單調(diào)性則可以得到

3x-x2>2，解得1

點(diǎn)評(píng)：由于指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a>0，a≠1）有類似f（x+y）=f（x）f（y）的性質(zhì)，那么由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，則可推測(cè)抽象函數(shù)的性質(zhì)，這就為解題探明思路.

暢想四：數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

例4求函數(shù)f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.

分析：直接求解本題有一定的難度，但是如果將x2-4x+13寫成（x-2）2+（0+3）2，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離，則問(wèn)題即可迎刃而解.

解：f（x）=x2-4x+13+x2-12x+37

=（x-2）2+（0+3）2+（x-6）2+（0-1）2，

則設(shè)A（2，-3）、B（6，1），P（x，0），則上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化求|PA|+|PB|的最小值.

如圖，當(dāng)點(diǎn)P位于AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PB|取得最小值|AB|，則可以得到|AB|=42，所以f（x）的最小值為42.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)轉(zhuǎn)化為這種點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式之后，它的幾何意義就凸顯出來(lái)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，把代數(shù)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.

數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，但實(shí)質(zhì)都是揭示內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，除極其簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的，從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程.當(dāng)然，還應(yīng)該注意轉(zhuǎn)化中的等價(jià)性，即轉(zhuǎn)化前后必須是等價(jià)的，合理的.

（作者：李秀蘭，張家港市第二中學(xué)）