王德華

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”可見，數(shù)學(xué)教學(xué)既要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象化的一面，又要重視數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的具體化的一面。在實(shí)施新課程改革的今天，我們更應(yīng)該關(guān)注后者。讓實(shí)驗(yàn)走進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。

一、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式

數(shù)學(xué)課上，向?qū)W生展示幾種裝飾物結(jié)晶體、觀察這些多面體的形狀，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活的應(yīng)用。

請學(xué)生在硬紙片上畫出下列平面圖形，并用剪刀裁下這些圖形，折一折，你能得到什么樣的立體圖形？它們有什么特點(diǎn)？（面相等，棱長相等）

學(xué)生折成以下五個(gè)圖形都是正多面體。分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

數(shù)一數(shù)這五個(gè)圖形的頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E），并將V+F與同一圖形的E進(jìn)行比較，填入下表，

從表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？學(xué)生討論交流后很快就發(fā)現(xiàn)公式：V+F-E=2.

感悟：學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換，發(fā)展了空間觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了歐拉公式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、實(shí)驗(yàn)是歸納的起點(diǎn)

有些題目僅通過實(shí)驗(yàn)一、二步，不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律或只能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的規(guī)律，必須進(jìn)行三、四步實(shí)驗(yàn)或更多步實(shí)驗(yàn)，然后通過觀察、分析、歸納，才能找到真正的規(guī)律。實(shí)驗(yàn)是歸納的起點(diǎn)。

如：將一根繩子對折1次，從中間剪斷，繩子變成3段；將一根繩子對折2次，從中間剪斷，繩子變成5段；依次類推，將一根繩子對折n次，從中間剪斷，繩子變成多少段？

一位同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)第一、二步后，認(rèn)為最后的答案是2n+1（n為正整數(shù)）。老師問：對于此答案，同學(xué)們有不同的看法嗎？大家議論開了，有的認(rèn)為正確，有的認(rèn)為錯(cuò)誤。我把預(yù)先裁好的紙帶和剪刀分發(fā)到各小組，請同學(xué)們進(jìn)行第三、四、五步實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)規(guī)律2n+1的正確性。五步實(shí)驗(yàn)得到段數(shù)分別如下：

3 ， 5 ， 9， 17， 33

啟發(fā)從以上一列數(shù)，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律。每位同學(xué)開動(dòng)腦筋，試驗(yàn)，糾錯(cuò)，歸納得出第n次的結(jié)果為 2n +1.

感悟： 將一根繩子對折n次，從中間剪斷繩子變成多少段？回答此問題，要實(shí)驗(yàn)太多的次數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的，如何從有限次的實(shí)驗(yàn)中尋找規(guī)律呢？但有些規(guī)律的獲得，并非一蹴而就，需要觀察、猜想、驗(yàn)證，這正是新課程標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的理念。

三、用實(shí)驗(yàn)來證明定理

人教版八年級下勾股定理這一課的教學(xué)，先從畢達(dá)哥拉斯的傳說故事引入課題，然后讓學(xué)生觀察圖形，思考：以等腰直角三角形兩直角邊為邊的小正方形的面積的和，與以斜邊為邊長的正方形的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？借助面積之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。

接下來，探究一般的直角三角形三邊之間是否存在這樣的數(shù)量關(guān)系呢？讓學(xué)生觀察書上的格圖，并計(jì)算，也得到同樣的結(jié)論。

下面用拼圖實(shí)驗(yàn)的方法證明勾股定理。課前各學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備4張全等的直角三角形硬紙板放成如圖形狀。首先，把邊長為a，b的兩個(gè)正方形連在一起，它的面積是a2 + b2 ，另一方面，這個(gè)圖形可由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形組成。

接下來在小組內(nèi)實(shí)驗(yàn)，把左下方的直角三角形旋轉(zhuǎn)到左上方，把右下方的直角三角形旋轉(zhuǎn)到右上方變成最后的圖形。從圖中容易理解新正方形的邊長是原直角三角形的斜邊c ， 中間正方形的邊長是（b-a）。此時(shí)根據(jù)面積關(guān)系式c2-（b- a）2 =4× ab ，化簡得到：a2+b2=c2 。

感悟：通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生探索勾股定理的發(fā)現(xiàn)、證明，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們探索定理的過程。讓學(xué)生從中感悟認(rèn)識客觀世界的一般規(guī)律。

四、用實(shí)驗(yàn)來訓(xùn)練思維

變式實(shí)驗(yàn)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要教學(xué)策略，在提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)解題能力方面有著不可忽視的作用。通過變式實(shí)驗(yàn)可以使教學(xué)內(nèi)容變得更加豐富多彩，使學(xué)生的思路更加寬廣。上海市青浦縣“顧泠沅小組”進(jìn)行的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)甚至認(rèn)為“變式實(shí)驗(yàn)是中國數(shù)學(xué)教育的主要特征之一”。

題基：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD于D，求證：BE=2CD。

圖1

變式1：如圖2，等腰Rt△ABC，BE是∠ABC的平分線，過E作ED⊥BC于D點(diǎn)，求證：△EDC的周長等于BC的長。

變式2：如圖3，連接AD，求證：∠ADB=45°；

變式3：如圖4，若點(diǎn)P為△ABC外一點(diǎn)，且∠APC=135°，判斷BP、PC的位置關(guān)系； PB、PC、PA之間的數(shù)量關(guān)系。

變式4：如圖5，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，BD⊥CD于D，DM⊥AB交BA的延長線于M.連接AD ，求的值。

變式5：如圖6，延長BA、CD交于F點(diǎn)，求證：AF+CE=AB；

變式6：如圖7，過A作AT⊥BD于T點(diǎn)，寫出AT、TE、BE之間的數(shù)量關(guān)系；（key：AT+TE= ）。（附加：AT+TE=CD）

感悟：通過對圖形作一系列的變換，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握共性，感受個(gè)性，拓展學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力。

五、用實(shí)驗(yàn)來探索最值

人教版教材八年級數(shù)學(xué)上探究：如圖，要在燃?xì)夤艿郎闲藿ㄒ粋€(gè)泵站，分別向A， B兩鎮(zhèn)供氣。泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在直線l上找?guī)讉€(gè)點(diǎn)試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

這道探究題，我沒有匆忙講如何作圖，而是作了如下探索：

1.轉(zhuǎn)化建模

燃?xì)夤艿擂D(zhuǎn)化成一條直線，A，B兩鎮(zhèn)可視作兩點(diǎn)。

2. 實(shí)驗(yàn)探究

A，B兩鎮(zhèn)位于燃?xì)夤艿赖耐瑐?cè)

在點(diǎn)A，B兩處分別插一根大頭針將皮尺的始端的零刻度線固定在點(diǎn)A.

再取一根大頭針C，用針輕輕拉緊皮尺，并在直線上由左而右緩慢移動(dòng)，且始終保持皮尺過點(diǎn)B.

多次讀出皮尺在點(diǎn)B處的刻度值，并做好記錄。

比較其刻度值，找出CA+CB最小值，標(biāo)出此時(shí)大頭針C在直線上的位置點(diǎn)C.

分學(xué)習(xí)小組讓學(xué)生自己動(dòng)手操作。

3.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在直線l上C點(diǎn)處放置一塊矩形平面鏡（鏡面向上），讓小激光手電筒的光線從點(diǎn)B射向點(diǎn)C（BC為入射光線），觀察反射光線是否經(jīng)過點(diǎn)A。

4.探索作圖

由光的反射定律易推出，直線l可以作為對稱軸， B點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B一定在AC 的延長線上。由以上分析可知：先作出B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B，再連接AB交直線l于C， C點(diǎn)即為所建泵站位置。

5.理論論證

只要在直線上取除C點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，用定理“三角形的兩邊之和大于第三邊”就能證明AC+BC最短。

感悟：讓學(xué)生感悟從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，同學(xué)們積極參與探索活動(dòng)，在動(dòng)手操作過程中，學(xué)會(huì)了觀察、思考、交流，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)經(jīng)典題的再發(fā)現(xiàn)和再認(rèn)識，這才是最有效的學(xué)習(xí)。

學(xué)生在實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中學(xué)數(shù)學(xué)，對知識的形成過程，對問題發(fā)現(xiàn)，解決、引申等過程的實(shí)驗(yàn)探索，可激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，有助于深刻理解知識，有助于形成證明的基礎(chǔ)平臺和對邏輯演繹證明的本質(zhì)把握。這種實(shí)驗(yàn)式活動(dòng)的教學(xué)拓寬了學(xué)生的思維活動(dòng)空間，使他們的思維更有深刻性和批判性。它不僅僅關(guān)心學(xué)習(xí)者“知道了多少”，更關(guān)心學(xué)習(xí)者“知道了什么”，“怎樣知道的”。它所追求的不僅僅是證明，更重要的是理解，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，是解決問題的數(shù)學(xué)精神和樂趣，這是一種新的求實(shí)精神，因而它更多的是對傳統(tǒng)教學(xué)的矯正，至少也是一種有益補(bǔ)充。

（作者單位：江蘇省如皋市九華初中）