蔡世陽

在九年級下冊第27章第三節(jié)《用推理的方法研究四邊形》中，例舉了有關平行四邊形判定的各類方法。在課后作業(yè)中，筆者布置了一道題目：“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是否為平行四邊形，如果是，請加以證明，如果不是，請舉反例說明?！辈贾眠@道作業(yè)題的背景是有關舉反例的題目是近幾年廈門市中考的熱點。

本題可以用特殊的三角形進行舉例說明：

①畫△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°；

②在BA上取BE=AC；

③以E為圓心，EB為半徑，作弧，交AB于點D；

④連結DE。

在四邊形AEDC中，易證∠A=∠EDC，DE=AC，但四邊形AEDC并非平行四邊形。

點評：本例用了特殊的三角形，具體的角度為學生所常見的，在具體操作中，以三角形為基礎，所構建的四邊形非平行四邊形是易見的，操作過程并不困難。

引申與回味：本方法中限定的特殊角度，可以一般化，只需有∠A=2∠B，對∠C只需大于60°即可。

在2005～2006年市質檢中，曾出過如下題目：

在△ABC的邊AB和BC上，分別找點P和Q，使PQ=AC，∠PQC=∠A。

在當中的作答情況中，本題的得分率是全卷最低的一題，說明了學生在“舉反例”這一類型的題目里思維容量是極大的，也是學生難以突破的一類題目。

以下將通過學生的幾種解答方法，對本題“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是否為平行四邊形，如果是，請加以證明，如果不是，請舉反例說明?！弊龀鼋獯穑?/p>

方法一：

①畫等腰三角形AEB，使AE=AB，如圖1；

②在EB上取一點C（C不是EB中點），連結AC，如圖2；

③以AC的垂直平分線為對稱軸，作點E的對稱點D，連結AD，如圖3、4；

四邊形ABCD即為所舉反例。

由對稱性可有：AE=CD，∠ADC=∠AEB，又∵AE=AB，∠AEB=∠B

∴CD=AB，∠ADC=∠B。

滿足條件一組對邊相等，一組對角相等，四邊形ABCD并非平行四邊形。

點評：本例中，利用等腰三角形固有的等邊與等角，利用對稱的形式確保邊與角的不變性。順利完成反例的列舉，讓人不由耳目一新。

引申與回味：①點C若為中點，則本解中四邊形ABCD為平行四邊形。

②對于對稱邊可表述為翻轉△AEC，使點A、C位置互換，同樣可以達到舉例的效果。

③若等腰三角形的底角太小，則四邊形ABCD可能作為凹四邊形，只需改變等腰三角形的底角大小即可。

方法二：

①作鈍角△ACE和其外接圓O；如圖5；

②作AD//CE，CD//AE，相交于點D；如圖6；

③以直徑AO為對稱軸，作AE的對稱弦AB；如圖7；

④連結BC，四邊形ABCD為所舉反例；如圖8。

四邊形AECD為平行四邊形。

故有AE=CD，則CD=AB，∠D=∠E=∠B，滿足條件。

點評：本例在已建立的平行四邊形的基礎上，利用圖保證邊與角的不變，同時也運用了圖的對稱性，足以使人眼界大開。

以上的幾種作答方法，是學生在考試中給出的，說明學生的思維形式并不僅僅局限于課堂所學、教師所教，教師應當在日常教學中，善于挖掘學生提供的優(yōu)質素材，鼓勵學生有自己獨立的思考方式，千萬不能低估了我們的學生，看，我們的學生多聰明！

（作者單位 福建省廈門市海滄區(qū)東孚學校）