王應(yīng)標(biāo)

在2013年“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評活動中，南京外國語學(xué)校郭佩華老師獲得淮安賽區(qū)高中數(shù)學(xué)組一等獎。郭老師在課堂教學(xué)中，堅持“以學(xué)定教，學(xué)教相長”的理念，一切從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實與生活現(xiàn)實出發(fā)，精心設(shè)計學(xué)生活動，問題創(chuàng)設(shè)獨具匠心，觀念滲透浸濡無痕，給我們展現(xiàn)了一堂融知識、觀念、文化于一體的唯真唯美的課堂。

一、追求數(shù)學(xué)“真”的教學(xué)

1.課題引入“真情境”，給課題引入一個理由。

課題引入，即在教學(xué)的初始階段，提出本節(jié)課要研究的問題。教材的簡明性決定了教材一般不給出引入課題的理由，但是若學(xué)生學(xué)習(xí)一個課題時，不知道“為什么和為了什么”要研究某個課題，就難以促進(jìn)學(xué)生形成有目的地、主動地學(xué)習(xí)當(dāng)下內(nèi)容的心向。教材中的問題情境是用不精確的天平稱一個物體的質(zhì)量，郭老師在課堂開始時，對教材設(shè)置的情境稍稍進(jìn)行了修飾，設(shè)置了一張讓人垂涎欲滴的草莓的照片，希望能以此吸引學(xué)生的眼球，在“味蕾”的激發(fā)下共同探討出兩個平均數(shù)的存在，一個是生活中較容易想到的估計值，另一個是由物理學(xué)知識推得的精確值，前者基于學(xué)生的生活現(xiàn)實，后者基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，十分自然、真實地引出了本節(jié)課的兩個重要數(shù)學(xué)對象——算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)。這種引入方式樸實自然，突出了學(xué)生生活現(xiàn)實中常常碰到的問題，更容易激活、喚起學(xué)生學(xué)習(xí)當(dāng)下內(nèi)容的興趣與信心，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)不再是枯燥無味的一些推理與計算，不是一群坐在書齋中的“怪物”想出來的一堆無聊的符號。這樣的引入，正是蘇霍姆林斯基所極力倡導(dǎo)的“領(lǐng)著孩子到思維的源地去旅行是具有重大意義的，這些地方，形象地說，就有滋養(yǎng)渴望知識的細(xì)根，這些地方就會使孩子萌發(fā)出一種愿望”。這樣的引入，易于讓學(xué)生擺脫功利之心的束縛而沉浸在探究學(xué)習(xí)的快樂中，走進(jìn)身心自由、靈智釋放之境。

2.公式探究“真思維”，思路從學(xué)生思維深處自然流淌而來。

在前面的問題情境鋪設(shè)的基礎(chǔ)上，學(xué)生開始探究草莓的精確質(zhì)量。由學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，學(xué)生不難得出如下結(jié)論：由杠桿原理得：l1a=xl2l1x=bl2，兩式相除得：=，由x>0，得到x=。在上課伊始，學(xué)生直覺地猜想草莓的質(zhì)量為，教學(xué)到這兒，學(xué)生很自然地要問與到底誰大誰??？

學(xué)生的觀點：用幾個特殊值代入試一試。

教師的觀點：首先肯定學(xué)生的做法，讓學(xué)生明白，碰到一般問題，用特值探路事實上是科學(xué)研究中最常用的方法。但教師還要讓學(xué)生明白，我們的探究決不能止于特值探路，因為數(shù)學(xué)上的“真”不依賴于人們的直覺。數(shù)學(xué)是形式化的邏輯推理的結(jié)果，不是經(jīng)驗結(jié)論，所有的數(shù)學(xué)對象必須進(jìn)行演繹證明，結(jié)論才具有可靠性。為什么數(shù)學(xué)中作為結(jié)論性的東西必須進(jìn)行演繹證明，對于這一點，章建躍先生曾有過一段精彩的比喻：數(shù)學(xué)家這樣“吹毛求疵”是“杞人憂天”嗎？不是！應(yīng)該有人來思考這些問題！試想，橋梁設(shè)計師是用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)方法設(shè)計了一座橋梁，當(dāng)你駕車行駛在橋上時，如果你被告知“設(shè)計師使用的數(shù)學(xué)方法是否成立還沒有得到證明”，你有什么感覺？如果是乘坐飛機(jī)又怎樣？……這正是愛因斯坦所說的：為什么數(shù)學(xué)比其它一切科學(xué)受到特殊的尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠和無可爭辯性……教師在這個環(huán)節(jié)教學(xué)中，采取了說者有心，聽者無意的方式，對學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)觀念的濡染。

當(dāng)學(xué)生明白了必須要證明≤（a≥0，b≥0）時，教師再發(fā)問：如何證明≤（a≥0，b≥0）？教師了解學(xué)生的知識儲備，讓學(xué)生運用已有的知識證明不等式。課堂教學(xué)中，教師給予學(xué)生充分的時間自主探究，在整個過程中，學(xué)生的思維樸實無華，證題方法從學(xué)生的思維深處自然流淌，這點堪稱是本節(jié)課最大的亮點。雖然書本上給出了3種不同的標(biāo)準(zhǔn)證法，但學(xué)生的證法更開放，更自然，即便有些學(xué)生證明的書寫顯得不夠規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)。不少學(xué)生會首先把和進(jìn)行平方，然后再比較，這是基于學(xué)生知識儲備中“化無理為有理”的思想。此時，教師在肯定這種方法的基礎(chǔ)上，因勢利導(dǎo)，歸納得出“作差比較法”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生直接作差，就得到了教材上的證法一。也有學(xué)生嘗試用“分析法”去完成，這也是基于學(xué)生知識儲備中“由果索因”“化未知為已知”的想法，但在書寫時不能規(guī)范表述，因為學(xué)生的知識儲備中沒有分析法規(guī)范性的書寫，這要在“選修2—2”中才進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，因此教師沒有過度提出“規(guī)范性要求”，只是根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識略加點評。

在整個教學(xué)過程中，教師始終把學(xué)生推向思維活動的前臺，教師僅僅扮演一個“未知者”角色和學(xué)生一起探究，正是“善游者忘水，善擊者忘劍”，學(xué)生沉浸在問題解決的思維活動中，忘記了時間，忘記了學(xué)習(xí)的壓力，這不僅激發(fā)了他們的興趣，而且增強(qiáng)了師生互動，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中直接向?qū)W生提供定義、解釋概念、給出結(jié)論和陳述要點的單向、枯燥的知識傳遞方式。

讓學(xué)生更本質(zhì)地理解數(shù)學(xué)的一個有效方法是用多種方式表征同一個數(shù)學(xué)對象。為了讓學(xué)生更透徹地掌握、理解基本不等式，書本上還給出了一個幾何的構(gòu)造法證明，但書本上是直接給出了圖形和證明方法，顯得突兀，郭佩華老師在這個環(huán)節(jié)的引導(dǎo)語可圈可點。

教師：既然稱為幾何平均數(shù)，那么它的幾何意義是什么？的幾何意義又是什么？在學(xué)生很快表示出了的幾何意義后，教師再問：你能在該圖的基礎(chǔ)上得出多條，甚至無數(shù)條長度為的線段嗎？此時教師應(yīng)用幾何畫板帶領(lǐng)學(xué)生一起參與圖形的構(gòu)建，尋找圖形中的“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”，對于，從比較容易想到的兩線段和的一半，然后推廣到以中點為圓心、以為半徑的圓上的任意一個半徑；對于，借助于之前求精確值的過程中出現(xiàn)的=（這個比例關(guān)系式，教師一直留在黑板上，為學(xué)生進(jìn)一步聯(lián)想搭好“腳手架”，這也充分體現(xiàn)了教師的良好的板書藝術(shù)），利用相似三角形構(gòu)造出長度為的線段（此處有學(xué)生也想到了射影定理），讓這個圖形動態(tài)地展示出來。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)過程是學(xué)生一起參與的過程，探索發(fā)現(xiàn)過程中的每一步推進(jìn)，都是學(xué)生個人或集體智慧的結(jié)晶，相比許多教師在這一部分的教材處理，讓學(xué)生被動地接受一個靜態(tài)的圖形，教師要求學(xué)生完成一個預(yù)先構(gòu)造好的模型的圖形驗證，郭老師這一段教學(xué)始終在與學(xué)生對話、協(xié)商，堅持只在學(xué)生處于“憤悱”之態(tài)時才稍加點撥，這樣的教學(xué)，是真正充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，充分暴露學(xué)生的真想法、真思維，教師真正做到了“以學(xué)定教”。

二、追求數(shù)學(xué)“美”的教學(xué)

1.教師語言美，教態(tài)美，給學(xué)生以美的享受。

在課堂教學(xué)中，無論是向?qū)W生傳授科學(xué)知識還是發(fā)展學(xué)生的能力、智力，都是通過教師與學(xué)生的語言來實現(xiàn)的，因此教師課堂話語與學(xué)生思維發(fā)展有著密切的關(guān)系。郭佩華老師向我們展示了一個高水平的數(shù)學(xué)教師的語言功力，課堂上對數(shù)學(xué)知識的闡述語言呈現(xiàn)出準(zhǔn)確性、規(guī)范性、簡潔性、邏輯性，既體現(xiàn)出“淺入深出”的特點——通過具體問題特例的大小比較，提煉出當(dāng)堂課的課題“基本不等式”，又以具體知識的教學(xué)為載體，讓學(xué)生體會研究數(shù)學(xué)的一般化方法（特殊問題一般化），體會數(shù)學(xué)的理性精神（直覺不可靠，數(shù)學(xué)結(jié)論必須接受演繹證明的檢驗），等等，達(dá)到小中見大、管中窺豹之效。

2.數(shù)學(xué)知識本身思維美，方法美，給學(xué)生以美的熏陶。

數(shù)學(xué)求真，數(shù)學(xué)中真的標(biāo)準(zhǔn)是客觀的，統(tǒng)一的，數(shù)學(xué)美首先在于數(shù)學(xué)的“真”，數(shù)學(xué)的形式化與抽象性使得數(shù)學(xué)表現(xiàn)出極度的簡單性、嚴(yán)密性、深刻性、廣泛應(yīng)用性，數(shù)學(xué)的這些特性無不給人以數(shù)學(xué)美感，學(xué)生在學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)美感，主要指理解、認(rèn)識、領(lǐng)悟某種數(shù)學(xué)對象內(nèi)在本質(zhì)、某種數(shù)學(xué)關(guān)系與結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生的滿足感、興奮感。本節(jié)課從公式的引入到公式的證明，自始至終不時給學(xué)生以數(shù)學(xué)美感。

著名教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“假如讓我把全部教育心理僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么我將一言以蔽之：影響學(xué)生的唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。”郭老師這節(jié)數(shù)學(xué)課真正做到了這一點——以學(xué)定教。

（作者系江蘇省特級教師、江蘇省清江中學(xué)副校長）