朱占奎　陸賢彬

【設(shè)計理念】

1.情境鏈簡潔些

梳理反比例函數(shù)應(yīng)用的基本知識與技能，合理合情地創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的、源于生活的簡潔情境，再將各個情境按照學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)編排成一條情境鏈。旨在通過情境鏈的輔佐達(dá)成課堂教學(xué)的“簡中求道”——知識掌握簡單些，技能訓(xùn)練簡易些，數(shù)學(xué)思考自然些，問題解決順暢些，課堂學(xué)習(xí)愉悅些……

2.知識掌握簡單些

知識是學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，因此應(yīng)圍繞核心知識進(jìn)行設(shè)計，讓陳述性知識的表述簡潔些；讓程序性知識的脈絡(luò)清晰些；讓知識間的聯(lián)系自然些；讓知識的再現(xiàn)容易些；讓知識的保持長久些。

3.技能訓(xùn)練簡易些

技能是學(xué)習(xí)的一個目標(biāo)，因此應(yīng)圍繞基本技能進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，讓知識學(xué)習(xí)的同時提高技能，由于本節(jié)課是反比例函數(shù)的應(yīng)用，因此盡可能訓(xùn)練學(xué)生的“建模與用?！奔寄?，同時由于八年級學(xué)生的抽象思維能力還很弱，因此盡可能訓(xùn)練學(xué)生的“由數(shù)思形，由形想數(shù)”的技能。

4.數(shù)學(xué)思考自然些

“數(shù)學(xué)思考”越來越引起專家和教師的重視，這是數(shù)學(xué)課程改革的必然結(jié)果。然而，由于八年級學(xué)生自身具有的“數(shù)學(xué)載體”“數(shù)學(xué)經(jīng)驗”有限，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考可能會磕磕絆絆。但是教師可以設(shè)計出一些方案，讓學(xué)生在磕磕絆絆地“數(shù)學(xué)思考”中學(xué)會數(shù)學(xué)反思，教師留一些時間，讓學(xué)生反思，爭取做到在習(xí)得知識的同時，通過反思覺得：數(shù)學(xué)味很濃，從數(shù)學(xué)角度看也“合情合理”，同時既有數(shù)學(xué)的邏輯成分，又有數(shù)學(xué)的直覺成分，從心底里覺得其比較自然，逐步步入到數(shù)學(xué)思考的軌道上。

5.問題解決順暢些

問題解決是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體，情境設(shè)置時，各個情境之間要有緊密聯(lián)系，形成一組或幾組問題串，解決前一個問題后，立即生成下一個問題，這就是我課上最常用的“源問題—解決問題—生成新問題—解決問題”問題循環(huán)教學(xué)模式，能確保問題間聯(lián)系緊密，問題解決就順暢些。

6.課堂學(xué)習(xí)愉悅些

關(guān)注學(xué)生的情感、態(tài)度、價值觀是教育的理性回歸，教學(xué)時設(shè)置學(xué)生身邊的、熟悉的、源于生活的情境，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中就會樂意參與，主動探索，在參與和探索中體驗失敗的艱辛、成功的喜悅。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能：

（1）能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中反比例函數(shù)的模型；

（2）能用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分析和解決一些簡單的實(shí)際問題。

2.過程與方法：

（1）在情境鏈的輔佐下，經(jīng)歷“實(shí)際問題—反比例函數(shù)模型—解決問題”的過程，提高建模和用模能力；

（2）在情境鏈的輔佐下，體悟反比例函數(shù)中的“數(shù)與形”“等與不等”等基本數(shù)學(xué)哲學(xué)雛形。

3.情感、態(tài)度、價值觀：

（1）在解決身邊的、有聯(lián)系的實(shí)際問題的過程中，進(jìn)一步體會反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，激發(fā)用數(shù)學(xué)的熱情；

（2）體會情境的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體悟到將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單熟悉問題是解決問題的基本方法和路徑；

（3）隨著問題解決的深入，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)可以解決身邊的很多問題，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)過程及設(shè)計意圖】

一、情境引入

今天早上，我早早來到美麗的清江中學(xué)，站在校門口，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們來學(xué)校的方式不盡相同，如步行、騎自行車和乘公交車，出于好奇也為了上好本節(jié)課，我打聽來一些情況，下面請大家?guī)臀医鉀Q一些問題。

【用比較隨意的生活問題情境引入，可以營造一個寬松的氛圍，有利于學(xué)生的思維自由放飛，快速進(jìn)入數(shù)學(xué)思維空間，為逐步體悟“生活處處皆數(shù)學(xué)”打下伏筆?！?/p>

二、解決問題

問題一 上學(xué)路上

小省、小清和小中是你們的同學(xué)，三位同學(xué)距學(xué)校分別為2公里、4公里和6公里，他們分別步行、騎自行車和乘公交車來學(xué)校，如果他們同時到校，探索速度與時間的關(guān)系。

子問題1（小省步行）

（1）如果小省步行的速度是每分鐘100米，小省上學(xué)路上要花多長時間？

（2）如果小省步行的速度是每分鐘v米，小省上學(xué)路上要花多長時間？

【1.第（1）問實(shí)際上是小學(xué)中給定具體數(shù)據(jù)的“行程計算”問題，第（2）問實(shí)際上是一類數(shù)據(jù)中的行程問題，也可看成是一個公式，其本質(zhì)是用字母表示數(shù)。

2.該問題的教學(xué)活動可以是：采用“師生問答”形式，但要注意充分利用情境。設(shè)想一下，如果本課采用提問形式復(fù)習(xí)行程問題公式：“v=”或“t=”，學(xué)生會感到枯燥無味。兩問是反比例函數(shù)的基本問題，條件與結(jié)論簡單明了，利于學(xué)生快速融入課堂；而該設(shè)計配上小省上學(xué)路上的動畫，熟悉、生動的情境，學(xué)生倍感親近、真切，學(xué)習(xí)興趣就上來了。

3.總結(jié)歸納提升時，結(jié)合反比例函數(shù)的表達(dá)式，并畫出反比例函數(shù)的圖象，從“數(shù)”與“形”兩個視角認(rèn)識具體實(shí)際問題中的反比例函數(shù)，并從這兩個視角歸納出（1）和（2）兩問實(shí)際上是特殊與一般的關(guān)系。】

子問題2（小清騎自行車）

（3）小清騎自行車與小省同時來學(xué)校，求小清騎車的速度；

（4）如果小清某天上學(xué)的速度為每分鐘v1米，放學(xué)回家的速度為每分鐘v2米，小清上學(xué)和放學(xué)回家花費(fèi)的時間之比是多少？

【1.第（3）問要利用第（1）問的結(jié)論，抓住“同時到?！边@一條件；第（4）問實(shí)際上是兩個反比例函數(shù)問題，列出關(guān)系式：v1t1=6000，v2t2=6000，進(jìn)而得出=。

2.該問題的教學(xué)活動可以是：師生共同分析、解答和板書，規(guī)范學(xué)生的書面表達(dá)。有些學(xué)生探索第（3）問時，會有少條件的感覺，此時教師要做的是，留足時空，讓學(xué)生認(rèn)真審題，必要時可以合作交流，希望出現(xiàn)不同的呈現(xiàn)。第（4）問中，由于距離一定，有些學(xué)生會有這樣的直覺：時間之比等于對應(yīng)速度之比的倒數(shù)。這是很好的狀態(tài)！實(shí)際上，確定問題解決的方向，體現(xiàn)在解決問題的各個環(huán)節(jié)，直覺能定下解題方向，而解題方向的確定是解答的第一步，這在教學(xué)中非常重要，所以，教學(xué)時可以先讓學(xué)生進(jìn)行不動筆的獨(dú)立思考，做整體解題方向的謀劃，經(jīng)常在這一方向上嘗試，學(xué)生容易找到解答思路。

3.總結(jié)歸納提升時，結(jié)合反比例函數(shù)及其圖象，比較子問題1中的特殊與一般的關(guān)系，學(xué)生體悟到當(dāng)特殊有序數(shù)對（點(diǎn)）動起來，一系列的特殊有序數(shù)對（點(diǎn)）就是一般情況的反比例函數(shù)（圖象），這有助于整體理解反比例函數(shù)，也為高中學(xué)習(xí)函數(shù)和解析幾何打下基礎(chǔ)?！?/p>

子問題3（小中乘公交車，帶出環(huán)境污染）

（5）小中等待公交車約3分鐘，如果公交車速度為每分鐘300米，小中來學(xué)校大約要多長時間？

（6）一次遇上霧霾天氣，公交車的平均速度不超過每分鐘100米，小中要在7：30之前到校，并要留足等車的時間至少為5分鐘，問小中最遲在什么時刻就要到達(dá)候車點(diǎn)？

【1.第（1）問仍是問題1第（1）問的變式，第（2）問是前兩小問題的綜合，要求略高一些。

2.該問題的教學(xué)活動可以是：學(xué)生口頭表述，教師適當(dāng)板書，在理解問題1和2的基礎(chǔ)上，總結(jié)解決兩個問題的方法，自主探索解決“反比例函數(shù)應(yīng)用”問題的通法，并力求通法的書面表達(dá)簡潔、完整和規(guī)范。本題設(shè)計一些較接近真實(shí)的實(shí)際情境，有一些干擾的情境，因此應(yīng)分清主次，抓住重點(diǎn)——反比例函數(shù)的應(yīng)用，其他的只是一些簡單的調(diào)整或補(bǔ)充。

3.總結(jié)歸納提升時，要結(jié)合前面4個問題，明確（5）（6）兩個問題主要內(nèi)容仍是反比例函數(shù)，只是適當(dāng)改變次要的情境，從而說明“從問題的主要部分入手”是解決問題的常規(guī)方法。并提出環(huán)境問題已成為全社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題，從而帶出問題二。】

問題二 環(huán)境整治

子問題1（環(huán)境治理）

污水處理廠計劃新建一個長方體污水處理池。處理池的底面積S（m2）與其深度h（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖。

（1）求處理池的體積，請寫出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）由于綠化以及輔助用地的需要，經(jīng)過實(shí)地測量，處理池的長和寬最多只能分別設(shè)計為40m和30m，那么處理池的深度至少達(dá)到多少時才能滿足要求（保留兩位小數(shù)）？

【1.第（1）問，以反比例函數(shù)的圖象作為已知條件，待定解析式；第（2）問，給出長方體兩個量的范圍，求第三個量的范圍。

2.該問題的教學(xué)活動可以是：讓學(xué)生到講臺上結(jié)合圖象，邊演示邊與其他學(xué)生交流，教師適當(dāng)點(diǎn)評。第（1）問，是面對圖象情境，培養(yǎng)學(xué)生讀圖、識圖和用圖能力；第（2）問，讓學(xué)生建立等與不等之間的聯(lián)系，逐步認(rèn)識到等與不等是相對的，即它們既有聯(lián)系，又有區(qū)別，逐步滲透辯證的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，并體驗如何將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題的思維路徑，這里比較陌生的“不等問題”就有兩種轉(zhuǎn)化的路徑：借助函數(shù)的圖象直觀和運(yùn)用熟悉函數(shù)的等式形式。

3.總結(jié)歸納提升時，從“數(shù)”與“形”兩個方面分別歸納總結(jié)與提升，重點(diǎn)和學(xué)生一起體悟“面積S隨高度h的增大而減少”的真實(shí)情境，同時順便指出應(yīng)有“防重于治”的理念，帶出環(huán)保問題。】

子問題2（環(huán)境保護(hù)）

學(xué)校準(zhǔn)備綠化校園，利用圍墻的一個直角，（∠ABC=90°）圍成一個面積為600m2的綠化帶，由于場地限制，要求墻面AB的長不長于60m，且不短于35m。

（1）求墻面BC的長度范圍；

（2）探索斜邊AC的長是否可能為50米，說明理由。

【1.第（1）問利用反比例函數(shù)圖象，結(jié)合圖象直觀求出BC的長度范圍，也可以利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，確定墻面BC的長度范圍；第（2）問利用反比例函數(shù)的兩個變量之間的關(guān)系，設(shè)AB=x（x>0），則BC=，由勾股定理可得x=40或x=30，結(jié)合條件，可得AB=40m，BC=30m。

2.該問題比較開放，教學(xué)活動可以是：學(xué)生先自主探索，再合作交流。第（1）問條件中墻面AB的范圍反映到圖象上，其圖象只是反比例函數(shù)圖象的一部分，教學(xué)時從代數(shù)式和圖象兩個角度，領(lǐng)會范圍的含義；由于第（2）問是探索型的問題，教學(xué)時，要騰出時空，讓學(xué)生自己充分思考、探究和交流。

3.總結(jié)歸納提升時，結(jié)合上面的問題，歸納出反比例函數(shù)模型的特征：兩個量的積為定值；結(jié)合問題二中的子問題1，重點(diǎn)體悟反比例函數(shù)中的等與不等的關(guān)系，進(jìn)一步體悟“萬事皆有聯(lián)系”，從而產(chǎn)生環(huán)境綜合防治的念頭，進(jìn)而帶出問題三“調(diào)研報告”?！?/p>

問題三 調(diào)研報告

小省、小清和小中根據(jù)上述一些環(huán)境問題，作了大量的調(diào)查研究，完成了紙質(zhì)的調(diào)查報告，字?jǐn)?shù)為2400個。老師看了調(diào)查報告，覺得很好，就準(zhǔn)備錄入電腦，轉(zhuǎn)郵淮安環(huán)保局。

（1）若老師邊錄邊校對打字速度為每分鐘60個字，則錄完調(diào)查報告需多少時間？

（2）若老師先錄再校，每分鐘錄入字?jǐn)?shù)為120個，每分鐘校對字?jǐn)?shù)為80個，請問老師采用哪種方式完成較省時？

【1.第（1）問利用反比例函數(shù)；第（2）問兩次應(yīng)用反比例函數(shù)，再比較兩種方法所需時間，進(jìn)而比較兩種方法的優(yōu)劣。

2.該問題的教學(xué)活動可以是：課堂練習(xí)，用于學(xué)生獨(dú)立探索和小結(jié)，同時獲悉教學(xué)反饋信息。作為課堂結(jié)束，盡可能讓學(xué)生回歸到簡單的、本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題中，因此問題不宜繁難，同時課堂上獨(dú)立練習(xí)，有助于學(xué)生積極思考，從而形成個性化的思考，教師同時根據(jù)教學(xué)反饋布置作業(yè)和后續(xù)教學(xué)。

3.總結(jié)歸納提升時，結(jié)合學(xué)生的板書情況，總結(jié)反比例函數(shù)模型的應(yīng)用的基本思路，提出要求：找出生活中有關(guān)反比例函數(shù)運(yùn)用的實(shí)際問題，并試著解決。同時布置與本節(jié)課相關(guān)的作業(yè)。】

（作者單位：江蘇省靖江高級中學(xué)）