郭佩華

2013年4月，筆者參加了江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學(xué)展評活動，對于“以學(xué)定教，學(xué)教相長”有了更深刻的認(rèn)識和感悟。下面，結(jié)合這堂展評課的教學(xué)設(shè)計(jì)，來談?wù)勎胰绾卧趯?shí)踐中進(jìn)行探究摸索，以處理好“學(xué)”與“教”的矛盾的。

一、教學(xué)內(nèi)容的分析

1.教材的內(nèi)容和作用。

本節(jié)是必修五第三章“不等式”的重要內(nèi)容之一，基本不等式的提出來源于實(shí)際生活，因此創(chuàng)設(shè)的問題情境應(yīng)貼近學(xué)生的生活，以激發(fā)他們探索問題和解決問題的欲望?；静坏仁降淖C明是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，在學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)、觀察、歸納、抽象、概括，數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問題。本節(jié)的最后是對基本不等式的簡單應(yīng)用，為下一節(jié)的教學(xué)做好鋪墊工作。

2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

學(xué)生在“實(shí)際背景”的激發(fā)下探討出兩個(gè)平均數(shù)的存在，一個(gè)是生活中較容易想到的估計(jì)值，另一個(gè)是由物理知識推得的精確值，從而自然地引出“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并提出這兩個(gè)“平均數(shù)”孰大孰小的問題。書本上給出了3種不同的證明方法，而學(xué)生的證法可能會更開放。除了從“數(shù)”的角度給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，我們也可以給出合理的“幾何解釋”，以體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”之美。因此本節(jié)課的重、難點(diǎn)確定為：

重點(diǎn)：基本不等式的證明，理解基本不等式等號成立條件及“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

難點(diǎn)：基本不等式的“幾何解釋”。

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

1.知識與技能：探索并了解基本不等式的證明過程，會利用基本不等式證明其它的不等式，解決簡單的最大（?。┲祮栴}。

2.過程與方法：通過一張讓人垂涎欲滴的大草莓照片，在“味蕾”的激發(fā)下，讓學(xué)生帶著問題去思考，猜測并證明出“基本不等式”。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生理性、嚴(yán)謹(jǐn)、全面的思維，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力。

三、教學(xué)方法的選擇

先讓學(xué)生通過實(shí)際問題抽象出基本不等式，定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，借助“幾何畫板”多媒體教學(xué)，動態(tài)地展示“半徑不小于半弦”的幾何解釋。

四、教學(xué)過程

1.問題情境。

師：最近的一個(gè)周末我和朋友一起去農(nóng)場采草莓，采草莓的時(shí)候我發(fā)現(xiàn)一個(gè)特別大的草莓，我的好奇心就上來了，我特別想知道這個(gè)草莓到底有多重？于是找來一架天平。我把這個(gè)草莓放在天平的左盤上，在右盤放上砝碼使天平平衡，砝碼的質(zhì)量為a，那草莓的質(zhì)量為多少呢？

生：a。

師：可惜的是這架天平制造得并不精確，天平的兩臂長略有不同，顯然a并非草莓的實(shí)際質(zhì)量。于是我把草莓放在右盤又重新稱了一次，稱得質(zhì)量為b，這個(gè)質(zhì)量也不是草莓的實(shí)際質(zhì)量。兩次測量得到兩個(gè)不同的結(jié)果，你覺得該如何合理地表示草莓的質(zhì)量呢？

生：。

師：a和b一個(gè)偏大，一個(gè)偏小，我們用來表示可以減小誤差，但這個(gè)數(shù)還是一個(gè)估計(jì)值啊。你能用所學(xué)的物理知識來探求一下草莓質(zhì)量的精確值嗎？

生：假設(shè)左臂長為l1，右臂長為l2，利用杠桿原理可得l1a=xl2l1x=bl2，兩式相除得：=，因?yàn)閤>0，所以得到草莓質(zhì)量的精確值為。

【課堂教學(xué)中設(shè)置的問題情境越貼近學(xué)生的生活，就越能引起他們的興趣，激發(fā)他們探索問題和解決問題的欲望。如何設(shè)置課堂教學(xué)的問題情境，使得提出的問題既能引起他們的興趣，又能直奔主題呢？

本節(jié)課一開始根據(jù)教材重新設(shè)計(jì)了問題情境，設(shè)置了一張讓人垂涎欲滴的大草莓照片，提出了略有挑戰(zhàn)性的問題，希望能以此吸引他們的眼球，在“味蕾”的激發(fā)下共同探討出“基本不等式”，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)不再是枯燥無味的推理計(jì)算，而是來源于生活，并能解決生活中實(shí)際問題的有效工具?！?/p>

2.學(xué)生活動。

師：相對于草莓的實(shí)際質(zhì)量而言，a和b一個(gè)偏大，一個(gè)偏小，而和分別是對a和b實(shí)施某種“平均”處理，我們把稱為a和b的算術(shù)平均數(shù)，把稱為a和b的幾何平均數(shù)。

（幻燈片顯示）問題1：對于正數(shù)a和b，它們的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系？

此時(shí)，學(xué)生中會出現(xiàn)兩種不同的聲音，一是取一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)，作出合理的猜想，二是在理論上給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的思維，對上課流程進(jìn)行靈活的變通。

3.建構(gòu)教學(xué)。

1.學(xué)生通過取一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，并由此作出合理的猜想。

2.學(xué)生作出猜想≤（a>0，b>0）。

3.引導(dǎo)學(xué)生分析思考，給出結(jié)論的證明，并點(diǎn)評。

（幻燈片顯示）問題2：如何證明≤（a>0，b>0）？

【本課中，基本不等式的證明是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，這是引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的過程。在這一過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索用不同的方法去證明。除了學(xué)生獨(dú)立思考外，還應(yīng)重視“生生激勵(lì)”，努力營造平等和諧的課堂氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生展開討論，發(fā)表各自不同的見解，促進(jìn)共同發(fā)展。而越動態(tài)的過程越能考驗(yàn)教師駕馭課堂的能力，要想做到在課堂上游刃有余，教師就應(yīng)做到充分“備學(xué)生”，了解學(xué)生的知識儲備。

不等式的證明，書本上給出了3種不同的做法，而學(xué)生的證法可能會更開放，證明的書寫也可能不夠規(guī)范和嚴(yán)謹(jǐn)。不少學(xué)生會首先把和進(jìn)行平方，然后再比較，這是基于學(xué)生知識儲備中“化無理為有理”的思維習(xí)慣。此時(shí)教師應(yīng)在充分肯定這種方法的基礎(chǔ)上，因勢利導(dǎo)，歸納得出“作差比較法”，再根據(jù)上述平方作差后的關(guān)鍵步驟——配方，引導(dǎo)學(xué)生不平方直接作差后再配方，就可以得到教材上的證法一。也有學(xué)生嘗試用“分析法”去完成，這也是基于學(xué)生知識儲備中“由果索因”“化未知為已知”的想法，但在書寫時(shí)不會規(guī)范表述，因?yàn)閷W(xué)生的知識儲備中沒有分析法規(guī)范性的書寫，這要在選修2—2中才進(jìn)行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，因此教師就不必過度提出“規(guī)范性要求”，只需略加點(diǎn)評即可。

教師把探索證明方法的主動權(quán)交給了學(xué)生，就要對學(xué)生的想法給予充分的肯定和鼓勵(lì)，但無論過程如何完成，教師都應(yīng)積極地參與其中，適時(shí)點(diǎn)撥啟發(fā)，并給予必要的指導(dǎo)，形成師生間雙向的、能動的交流，從而保證學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效果，完善學(xué)生的知識體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力?！?/p>

4.幾何解釋。

師：以上的幾種證法都是從“數(shù)”的角度對基本不等式加以證明，既然被稱為“幾何平均數(shù)”，那么能否給出基本不等式的幾何解釋？

（幻燈片顯示）問題3：你能給出基本不等式≤（a≥0，b≥0）的幾何解釋嗎？

師：你能在圖中找出一條長度為的線段嗎？

生：兩條線段長度和的一半，即線段OA或OC。

師：你能在圖中找出更多的，甚至無數(shù)條長度為的線段嗎？

生：以AC中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上的任意一條半徑。

師：你能在圖中找出一條長度為的線段嗎？

學(xué)生此處略有遲疑，但可以由之前的板書=想到構(gòu)造相似三角形，部分基礎(chǔ)好的學(xué)生會聯(lián)想到射影定理。

師：在圖中我們找到長度為的線段BD，那么在剛才無數(shù)條長度為的線段中，你選擇哪一條線段與BD比較呢？

生：線段OD。

師：很明顯，因?yàn)橹苯侨切蔚闹苯沁呅∮谛边?，我們可以得?（a≥0，b≥0），特別地，當(dāng)a=b時(shí)，BD和OD重合，此時(shí)=（用幾何畫板動態(tài)演示變化過程）。

【在計(jì)算機(jī)時(shí)代，學(xué)生對電腦的興趣也大大提升。電腦在數(shù)學(xué)教學(xué)中起的作用不僅僅局限于幻燈片的放映， 隨著幾何畫板的引入，一些圖形問題如果能借用軟件動態(tài)地展現(xiàn)在學(xué)生面前，就更能體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的價(jià)值。教材中出現(xiàn)的“半徑不小于半弦”是對基本不等式<（a≥0，b≥0）最經(jīng)典的幾何解釋，學(xué)生容易看懂，但不容易想到。教師應(yīng)用幾何畫板帶領(lǐng)學(xué)生一起參與圖形的構(gòu)建，尋找“算術(shù)平均”和“幾何平均”，強(qiáng)化對基本不等式的認(rèn)識。在備課的過程中，除了備“教材”外，更要努力備“學(xué)情”，包括學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，也包括學(xué)生的“興趣”和“好奇”，讓這個(gè)圖形動態(tài)地展示出來，這個(gè)過程是學(xué)生一起參與的過程，也是探索發(fā)現(xiàn)的過程，而被動地接受一個(gè)靜態(tài)的圖形，只是完成簡單的驗(yàn)證，不利于學(xué)生“創(chuàng)新意識”的培養(yǎng)?！?/p>

5.例題講解。

例1：設(shè)x為正數(shù)，試證明下列不等式成立：x+≥2。

練習(xí)：（1）設(shè)a，b為正數(shù)，證明：+≥2；

（2）設(shè)a，b為正數(shù)，證明：a2+b2≥2ab。

學(xué)生板演后教師作如下點(diǎn)評：

①對于這兩個(gè)不等式，我們也可以把范圍適當(dāng)放開，對于第（1）小題，只需要a，b同號；對于第（2）小題，a，b可以取任何實(shí)數(shù)。

②換一個(gè)角度看不等式x+≥2，如果把x+看成一個(gè)函數(shù)，這個(gè)不等式意味著函數(shù)具備什么樣的性質(zhì)？——意味著函數(shù)f（x）=x+在（0，+∞）上有最小值2，因此我們也可以利用基本不等式來求函數(shù)的最值。

例2：已知函數(shù)y=x+，x∈（1，+∞），求此函數(shù)的最小值。

師：在利用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)要注意：一正、二定、三相等。對于不滿足的條件，可根據(jù)需要適當(dāng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

【人們在接受新的知識后，往往并不會直接運(yùn)用，而是需要一段時(shí)間的沉淀，然后再加以運(yùn)用。這樣的思維習(xí)慣在學(xué)生中尤為明顯。同時(shí)，學(xué)生在做題時(shí)，往往只會孤立地看待例題，并不善于研究題目與知識點(diǎn)之間，題目與題目之間的深層次關(guān)系。不少學(xué)生經(jīng)常會忽略教材中例題的作用，認(rèn)為它過于簡單。殊不知例題中蘊(yùn)含著大量的信息，滲透了重要的數(shù)學(xué)思想和方法，起到鞏固新知、提高能力的作用，而且例題往往是難題、高考題的命題根源所在。

教材中安排了兩個(gè)例題，一是證明不等式，另一個(gè)是求函數(shù)的最值，分別展示了基本不等式的兩大運(yùn)用。在處理例一時(shí)，學(xué)生仍然會沿用以前的老方法，即比較法、分析法或綜合法，而不會“現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用”，直接用基本不等式加以論證。講解過程采用學(xué)生回答、教師板書的形式，既滿足學(xué)生的思維習(xí)慣的要求，允許他們用熟悉的比較法、分析法或綜合法解題，同時(shí)展示基本不等式法證明的效果，讓學(xué)生感受到基本不等式的魅力所在，通過比較，讓學(xué)生在思維上接受基本不等式，并將其作為一個(gè)證明工具。同時(shí)增加若干練習(xí)以達(dá)到鞏固的目的。

例1除了體現(xiàn)“基本不等式”是證明不等式的工具之外，也為例2——求函數(shù)的最值作鋪墊。引導(dǎo)學(xué)生對于同一個(gè)問題，從不同的角度來分析研究，是培養(yǎng)學(xué)生能力的途徑之一?！?/p>

五、課后反思

“學(xué)”是“教”的目的，教師的“教”是為了讓學(xué)生“想學(xué)”、“會學(xué)”和“學(xué)會”。學(xué)生真正意義上的學(xué)習(xí)不應(yīng)是被動地接受現(xiàn)成的書本知識，而應(yīng)是一種積極的心態(tài)。如何發(fā)現(xiàn)問題、探索問題，如何充分利用所學(xué)知識解決問題，如何在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的自主意識、探索精神，這才是教師真正的任務(wù)所在?！耙詫W(xué)定教”需要我們在每一堂課中認(rèn)真地研究摸索，“學(xué)教相長”是教師和學(xué)生共贏的一種和諧狀態(tài)。

（作者單位：南京外國語學(xué)校）