何繼剛

【設(shè)計(jì)理念】

蘇教版必修5第三章《不等式》的章頭語是數(shù)學(xué)家陳省身的語錄：“我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué)。”這寓意深長的話語，非常恰當(dāng)?shù)孛枋隽恕安坏汝P(guān)系”這一課的教學(xué)定位：“我們欣賞不等關(guān)系，我們更需要不等關(guān)系?！?/p>

本節(jié)課是本章的起始課，也是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)。通過學(xué)習(xí)“不等關(guān)系”有助于學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)不等關(guān)系及不等式的必要性和重要性，通過感受具體情境中的不等關(guān)系，可以激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，并且為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容奠定良好的基礎(chǔ)。

不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，不等式與方程、函數(shù)、三角等內(nèi)容有著密切的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容。建立不等觀念，處理不等關(guān)系與處理等量問題同樣地重要。

按照為學(xué)生學(xué)習(xí)而設(shè)計(jì)教學(xué)的理念，“不等關(guān)系”要以“學(xué)的組織方式”為中心來進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，我覺得在“不等關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要考慮三條線索。

第一條是“不等關(guān)系”的思想、觀念、方法與知識線索。根據(jù)現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)，本課我們要學(xué)習(xí)如下三類數(shù)學(xué)知識。第一類是陳述性知識：什么是不等關(guān)系、不等式模型；第二類是程序性知識：如何尋找不等關(guān)系，處理不等關(guān)系的流程（設(shè)、列、解、驗(yàn)、答）；第三類是策略性知識：這隱含在整個(gè)不等關(guān)系知識的學(xué)習(xí)過程之中，是一些認(rèn)知策略和對不等關(guān)系思維過程的自我反思以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用策略等，如對數(shù)學(xué)建模思想（一元一次不等式模型、一元二次不等式模型、不等式組模型等）的應(yīng)用。

本課“不等關(guān)系”教學(xué)設(shè)計(jì)的本質(zhì)，就是要在數(shù)學(xué)的自然形態(tài)和數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)兩極的中間，構(gòu)建一種既反映數(shù)學(xué)本質(zhì)又適合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教育形式。

第二條是學(xué)生對不等關(guān)系的認(rèn)知線索。因?yàn)閷W(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，我們要關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)：初中（八年級）已學(xué)習(xí)了簡單的不等式知識，已經(jīng)知曉“大于”“小于”等符號的用法和意義，已經(jīng)能比較兩數(shù)的大小，并能用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)有了將生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象抽象為數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型形式的體驗(yàn)，獲得并積累了一定的解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，已具有一定的抽象概括能力、數(shù)學(xué)建模能力和合情推理能力，同時(shí)在以前的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)有了很多合作的過程，具備了一定的活動經(jīng)驗(yàn)和合作交流能力，這些都為本章的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

第三條是教師的教學(xué)組織線索。教學(xué)過程要通過教師的組織來實(shí)現(xiàn)。關(guān)于教學(xué)組織，要關(guān)注三個(gè)方面。

第一個(gè)方面是知識的整體性。只有把“不等關(guān)系”放到整個(gè)高中課程的知識脈絡(luò)里，才能更好地認(rèn)清各類不等關(guān)系和應(yīng)用不等關(guān)系的本質(zhì)，才能清楚我們應(yīng)該如何幫助學(xué)生去理解“不等關(guān)系”的本質(zhì)。

第二個(gè)方面是學(xué)生的主體性。強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性，在教學(xué)設(shè)計(jì)中就要把學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展放在心里，要做到這一點(diǎn)，一定要通過課前診斷，了解學(xué)生對“不等關(guān)系”的認(rèn)識達(dá)到了什么程度，哪些地方他們已經(jīng)掌握，還有哪些地方還存在困難，只有在此基礎(chǔ)上，我們才能有針對性地通過創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，激活學(xué)生已有的“不等關(guān)系”的知識和經(jīng)驗(yàn)，營造一個(gè)有利于新知識建構(gòu)和問題解決的學(xué)習(xí)環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生深度參與探究“不等關(guān)系”的過程，提高學(xué)生構(gòu)建“不等關(guān)系”數(shù)學(xué)模型的能力。

第三個(gè)方面是教師的主體性。新課程的理念是倡導(dǎo)學(xué)生積極主動地探索知識的發(fā)生、發(fā)展過程，教師應(yīng)該盡力做好學(xué)生探究活動的引路人。本節(jié)課，作為教師要完成好如下基本任務(wù)：把學(xué)生從充滿“不等關(guān)系”的現(xiàn)實(shí)世界帶到充滿理性思維的數(shù)學(xué)世界，并讓學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)地思考”不等關(guān)系（不等關(guān)系的教學(xué)價(jià)值之一）的體驗(yàn)。

【教學(xué)流程】

第一步，導(dǎo)與學(xué)——預(yù)習(xí)引導(dǎo)，獨(dú)立初學(xué)。

第二步，展與評——互動交流，點(diǎn)撥概括。

第三步，練與思——應(yīng)用拓展，回顧小結(jié)。

第四步，做與診——鞏固練習(xí)，診斷反饋。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過具體情景，感受和欣賞在數(shù)學(xué)世界、日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐、科學(xué)實(shí)驗(yàn)中存在的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。

2.經(jīng)歷由實(shí)際問題建立不等關(guān)系模型的過程，體會并滲透集合思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、代數(shù)思想和方法；通過“導(dǎo)與學(xué)”“展與評”“練與思”“做與診”四個(gè)步驟，達(dá)成強(qiáng)化“數(shù)學(xué)地思考”不等關(guān)系的教學(xué)目的。

3.通過解決具體問題，掌握數(shù)學(xué)建模的流程、方法。體會不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型在生活和科學(xué)發(fā)展中的重要地位和作用，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用不等關(guān)系的意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，為后續(xù)教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

【教學(xué)過程及設(shè)計(jì)意圖】

1.導(dǎo)與學(xué)。

【“導(dǎo)與學(xué)”是第一階段教與學(xué)的互動。本課教學(xué)設(shè)計(jì)從課前“導(dǎo)”開始?！皩?dǎo)與學(xué)”是通過問題情境、問題串聯(lián)引導(dǎo)預(yù)習(xí)，促進(jìn)獨(dú)立初學(xué)，進(jìn)而誘發(fā)“困惑點(diǎn)”，實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的互動，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的自主建構(gòu)和主動生成?！?/p>

問題情境1：回答下面的問題，并談?wù)勀銓?shù)學(xué)家陳省身語錄“我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué)”的理解。

（1）什么叫不等關(guān)系？

（2）你能列舉出一些不等關(guān)系嗎？

生活中：

數(shù)學(xué)中：

科學(xué)實(shí)驗(yàn)中：

【以上問題是預(yù)習(xí)部分，目的是引導(dǎo)學(xué)生從身邊的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)文化的層面，切入并感悟“不等關(guān)系”這一主題，實(shí)現(xiàn)與生活、課本、同學(xué)、教師的互動，為課前自主學(xué)習(xí)與課上生生合作、師生合作作準(zhǔn)備?！?/p>

問題情境2：完成下列填空，并歸納出將不等關(guān)系數(shù)學(xué)化的基本步驟。

（1）我國《道路交通安全法》第91條明文規(guī)定：血液酒精c含量超過20mg/ml但不足80mg/ml的為酒駕，達(dá)到或超過80mg/ml的為醉駕。

不等關(guān)系詞：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：

（2）某品牌乳飲料的質(zhì)量檢查規(guī)定，乳飲料中脂肪的含量m應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量n應(yīng)不少于2.3%。

不等關(guān)系詞：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：

（3）設(shè)點(diǎn)A與平面α的距離為d，B為平面α上的任意一點(diǎn)，則d不大于AB。

不等關(guān)系詞：

數(shù)學(xué)表達(dá)式：

【以上問題是課前預(yù)習(xí)題，其目的是，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看問題的意識，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題的方法，為學(xué)習(xí)不等式建模方法作準(zhǔn)備?！?/p>

問題情境3：下圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A，B，C的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），試判斷x1，x2，x3的大小關(guān)系。

【通過上例引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考生活中的不等關(guān)系，學(xué)會利用不等式模型評估交通的車流量問題?！?/p>

問題情境4：（根據(jù)蘇教版必修5中問題改編）某博物館的門票每位10元，20人以上（含20人）的團(tuán)體票8折優(yōu)惠。若你替一個(gè)團(tuán)隊(duì)去購買門票，應(yīng)該選擇怎樣的購票策略？

【設(shè)置以上開放性問題，是預(yù)設(shè)的“導(dǎo)學(xué)點(diǎn)”，其目的是引發(fā)學(xué)生對“相等關(guān)系”與“不等關(guān)系”認(rèn)知上的沖突，激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，打開學(xué)生對不等問題的興趣，激活學(xué)生自主學(xué)習(xí)的動機(jī)。

課前診斷是“獨(dú)立初學(xué)”與課堂教學(xué)之間的重要環(huán)節(jié)，通過觀察預(yù)習(xí)的過程、與學(xué)生對話、檢查導(dǎo)學(xué)案等途徑，促進(jìn)學(xué)生對“獨(dú)立初學(xué)”進(jìn)行自我診斷與教師課前診斷，由此發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的“困惑點(diǎn)”，形成有效反饋，這是上好這節(jié)課的前提。】

2.展與評。

【“展與評”是第二階段教與學(xué)的互動。展示環(huán)節(jié)是展示學(xué)生自主學(xué)習(xí)的成果、學(xué)生與課本對話的成果、合作學(xué)習(xí)的成果，更重要的是引發(fā)課堂對話、互動探究，外顯難點(diǎn)、疑點(diǎn)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的“探究點(diǎn)”。

“展”與“評”是交織在一起的兩個(gè)環(huán)節(jié)，“展”中有“評”，“評”中有“展”，展示環(huán)節(jié)首先對預(yù)習(xí)成果進(jìn)行了展與評，在此基礎(chǔ)上繼續(xù)展評，應(yīng)用新知識解決例題的成果?！?/p>

展示活動一。展示“問題情境1”引導(dǎo)下的自學(xué)成果，由學(xué)生講述對上述問題的理解，通過揭示豐富的生活意義、實(shí)踐意義、幾何意義、代數(shù)意義來列舉并欣賞不等關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生深入到已學(xué)過的數(shù)學(xué)模塊中去找不等關(guān)系，到不同的學(xué)科領(lǐng)域中去找不等關(guān)系，來深化我們的教與學(xué)。

如：某路段限速40km/h，司機(jī)在該路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，寫成不等式是：

數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系：“三角形的兩邊之和大于第三邊”“函數(shù)單調(diào)性的定義中的不等關(guān)系”“若為銳角（單位為弧度）由單位圓及三角函數(shù)線可比較出α，sinα，tanα的大小關(guān)系”等。

展示活動二。由學(xué)生講述對上面“問題情境2”中問題的理解，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行歸納推理，獲得與不等關(guān)系對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)本質(zhì)），用數(shù)學(xué)語言揭示出不等關(guān)系的心理操作流程（思維結(jié)構(gòu)）：

展示活動三。分析1：由“情境問題3”中圖形知：x1=50+x3-55，x2=x1-20+30，x3=x2-35+30，由此得：x2=x3+5，x1=x3-5，故x1

分析2：設(shè)由路段CA進(jìn)入路段AB的車輛數(shù)為a則有x1=50+a，x2=（50+a）-20+30=60+a，x3=55+a，∴x2>x3>x1。

展示活動四。預(yù)設(shè)可能有學(xué)生給出如下解答：

思路1：設(shè)購票人數(shù)為x人，購票費(fèi)用y元，則y=10x（1

圍繞以上求解，請學(xué)生進(jìn)行評價(jià)。若沒有人找到“局限性”，可作如下提示：是不是人數(shù)少于20都要買普通票呢？針對這一問題，讓學(xué)生分組討論，然后各組派一人發(fā)言。預(yù)設(shè)有如下思路：

思路2：20人團(tuán)體票是10×0.8×20=160元，=16，所以不少于16人時(shí)買團(tuán)體票，少于16人時(shí)買普通票劃算。

首先肯定其正確性，再用代數(shù)思想分析這種算術(shù)解法的局限性，引導(dǎo)學(xué)生給出如下思路：

思路3：設(shè)購票人數(shù)為x人，則當(dāng)10x>20×10×0.8時(shí)，買團(tuán)體票劃算，所以x>16。

答：超過16人x>16時(shí)買團(tuán)體票劃算；少于16人x<16時(shí)買普通票劃算；x=16時(shí)花費(fèi)一樣。

事實(shí)上，將“思路1”改進(jìn)一下，可用分段函數(shù)表示如下：

10x（1≤x<16）160（16≤x<20）8x（x≥20）

展示活動五（應(yīng)用）。例1：某商品進(jìn)價(jià)每件40元，售價(jià)是每件60元，每周可賣出300件。市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每周要少賣出10件。要想獲得不少于6000元的利潤，該商品的價(jià)格應(yīng)定在怎樣的范圍內(nèi)？（列式不求解）

【（1）引導(dǎo)學(xué)生按處理不等關(guān)系的操作流程，從問題中進(jìn)價(jià)、售價(jià)、成本、利潤、銷售額等概念中，理清各量之間的關(guān)系；學(xué)習(xí)利用不等關(guān)系建立一元二次不等式模型解決實(shí)際問題的技能，提高解決實(shí)際問題的能力。（2）改變變量設(shè)法來解決此問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的靈活性?！?/p>

針對本題，可采用如下教學(xué)方法：學(xué)生分組討論，各組展示。預(yù)設(shè)變量有兩種設(shè)法。

思路1：設(shè)每件漲價(jià)x元，要想獲得不少于6000元的利潤，則（60+x-40）（300-10x）≥6000

此處忽視兩點(diǎn)，其一，忽視x∈N（漲價(jià)是以元為單位的）；其二，忽視實(shí)際意義，即忽視x∈[60，90）且x∈N，此處確定定義域也隱含一個(gè)不等關(guān)系，這也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。因此在處理函數(shù)或不等關(guān)系問題時(shí)，一定要關(guān)注定義域問題。

思路2：設(shè)每件定價(jià)為x元，x∈[60，90）且x∈N，要想獲得不少于6000元的利潤，須有（x-40）[300-10（x-60）]≥6000

展示活動六（展示應(yīng)用）。例2（根據(jù)蘇教版必修5中問題改編）：下表給出了三種食物X，Y，Z的維生素含量及成本。

某人欲將這三種食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，設(shè)X，Y這兩種食物各取xkg，ykg，那么x，y應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？（列式不求解）

【引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握建模思想，將問題中的不等關(guān)系數(shù)學(xué)化為二元一次不等式組，提高學(xué)生應(yīng)用不等式模型數(shù)學(xué)地思考實(shí)際問題的能力?！?/p>

由題意，X，Y兩種食物各取xkg，ykg，所以食物Z應(yīng)?。?00-x-y）kg，

則有300x+500y+（100-x-y）300≥35000700x+100y+（100-x-y）300≥40000100-x-y≥0x≥0y≥0

此題，有學(xué)生設(shè)三種食物各xkg、ykg、zkg，沒有注意到相等關(guān)系z=100-x-y。教師繼續(xù)通過學(xué)生“獨(dú)立思考—組內(nèi)合作—集中展示”，捕捉“內(nèi)化點(diǎn)”，再次進(jìn)行點(diǎn)撥、概括、內(nèi)化。

3.練與思。

【“練與思”是第三步教與學(xué)的互動。本環(huán)節(jié)是通過練習(xí)與反思來鞏固、加深對數(shù)學(xué)建模思想的理解，實(shí)現(xiàn)建模和方法的有效遷移，因此設(shè)置如下鞏固練習(xí)?！?/p>

（1）練習(xí)與鞏固。

①在圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連結(jié)AD、BD。試?yán)眠@個(gè)圖形，比較與的大小。

②某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種。按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？

（2）回顧與反思。

可激活如下“反思點(diǎn)”。

①畫思維導(dǎo)圖：

②智慧操作：

4.做與診。

【“做與診”是教與學(xué)的第四次互動?！白觥币瓿蓛身?xiàng)任務(wù)，其一，復(fù)習(xí)鞏固性作業(yè)。其二，預(yù)習(xí)性作業(yè)。復(fù)習(xí)鞏固性作業(yè)是為了學(xué)生再次自我診斷和教師對教學(xué)的再次反饋，預(yù)習(xí)性作業(yè)是為了下一課的導(dǎo)學(xué)。本課作業(yè)：必修5，P68，練習(xí)。

其目的是為下一課埋下伏筆，形成“課前—課堂—課后”一個(gè)完整的循環(huán)學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在教師指導(dǎo)下能夠在自主學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)螺旋式上升?！?/p>

【教學(xué)反思】

1.“不等關(guān)系”的教學(xué)設(shè)計(jì)基于學(xué)生的預(yù)習(xí)。為深度感知教學(xué)資源，本課的教學(xué)有效性基于課前預(yù)習(xí)及其課前診斷，成功地引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)維度、不同領(lǐng)域?qū)ふ摇安坏汝P(guān)系”，是形成深度學(xué)習(xí)的前提，比如從生活中，從生產(chǎn)實(shí)踐中，從科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從學(xué)過的數(shù)學(xué)中去尋找不等關(guān)系（像圖形中的不等關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、正余弦函數(shù)的有界性等）。要引導(dǎo)學(xué)生將教學(xué)與生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來，將不等關(guān)系的學(xué)習(xí)與學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)系結(jié)合起來，使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為有意義的學(xué)習(xí)。

2.“不等關(guān)系”的教學(xué)設(shè)計(jì)要引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生螺旋式上升的認(rèn)知。學(xué)生在初中學(xué)習(xí)不等式時(shí)，已學(xué)習(xí)了一些不等式知識，因此，我們的教學(xué)不能在此徘徊，而要在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的基礎(chǔ)上，在更高層面上讓學(xué)生經(jīng)歷必要的認(rèn)知過程，即讓學(xué)生感受不等關(guān)系的情境，產(chǎn)生數(shù)學(xué)地刻畫不等關(guān)系的認(rèn)知傾向：形成問題，探究分析，進(jìn)行數(shù)學(xué)建構(gòu)的過程。還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較學(xué)習(xí)，體會建立相等模型與建立不等模型之間的選擇過程，通過兩種方案的比較，形成深度教學(xué)的過程。

“不等關(guān)系”的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加完整和優(yōu)化。不等關(guān)系的模型與函數(shù)關(guān)系結(jié)合起來，為我們認(rèn)識世界、理解世界、數(shù)學(xué)地觀察世界又增添了一個(gè)有力的工具。

3.是否落實(shí)“以學(xué)定教，教學(xué)相長”的理念，主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。其一，落實(shí)各環(huán)節(jié)的診斷。其二，構(gòu)建不等關(guān)系的過程，生成有效資源的質(zhì)、量和利用率。不等關(guān)系的學(xué)習(xí)要能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷“類比”這一重要的合情推理過程，感受合情推理的探索與發(fā)現(xiàn)功能。

建模的思想是處理“不等關(guān)系”的重要思想，因此，不等式的學(xué)習(xí)過程是數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)過程，是使學(xué)生感受“模型化”思想與方法的最佳時(shí)機(jī)。在構(gòu)建不等關(guān)系時(shí)，需要先引入字母表示相關(guān)的量，這樣的過程又是滲透代數(shù)思想的過程。

4.已構(gòu)建的“不等關(guān)系”模型是我們認(rèn)識世界、改造世界的重要工具?！安坏汝P(guān)系”的模型，為我們深度研究、深度學(xué)習(xí)提供了不竭的動力。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)）