許彪

摘 要：數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，促使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。本文從新課改的需要出發(fā)，并結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐，對橢圓中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美做了初步探討。

關(guān)鍵詞：橢圓；數(shù)學(xué)美；探究活動(dòng)

華羅庚教授說過：“就數(shù)學(xué)本身來說，也是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的?！彼?，數(shù)學(xué)是一門富有美感的學(xué)科。

1橢圓的數(shù)學(xué)美

人的愛美天性在青少年時(shí)期表現(xiàn)尤為突出。數(shù)學(xué)教師應(yīng)抓住這個(gè)最佳時(shí)期，不失時(shí)機(jī)地向?qū)W生揭示數(shù)學(xué)之美，對學(xué)生進(jìn)行審美教育。

1.1簡潔美

數(shù)學(xué)之所以吸引人，原因之一是它能對紛亂繁雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行高度概括，使學(xué)習(xí)者能從中感受它的簡潔美。在數(shù)學(xué)語言的研究中，按數(shù)學(xué)語言所使用的主要詞匯，可以將數(shù)學(xué)語言分為三種：文字語言、符號語言、圖形語言。

橢圓的定義：如果在一個(gè)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于定長，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。每個(gè)詞、每句話簡練、嚴(yán)謹(jǐn)且相互作用、相互聯(lián)系，對橢圓定義進(jìn)行了完美描述，從而體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美，這也是數(shù)學(xué)語言形式美與內(nèi)在美的表現(xiàn)。

橢圓中的符號語言簡潔、明了。如橢圓概念的符號表示P={M|∣MF1∣+|MF2||=2a，2a>|F1F2|}，關(guān)系緊湊，言簡意賅；橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程具有簡單整齊之美；離心率e■，簡潔易記。

1.2對稱美

對稱是美學(xué)的基本法則之一。橢圓有兩條互相垂直的對稱軸及一個(gè)對稱中心，被賦予了平衡、協(xié)調(diào)的對稱美。

1.3比例美

眾所周知，著名的“黃金分割法”揭示了一種最優(yōu)美的線段比例關(guān)系。如果把“黃金分割法”引入圖形，那么就會(huì)產(chǎn)生最優(yōu)美的視覺效果。橢圓也是如此，離心率為■的橢圓被稱作“黃金橢圓”，給人以美的享受。

1.4方法美

方法美是指在解答（或證明）復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中體現(xiàn)出來的美。二次曲線的定義揭示了二次曲線的本質(zhì)屬性。許多時(shí)候，恰當(dāng)?shù)乩枚x能幫助我們解題。直線與橢圓的位置關(guān)系有一般方法，但涉及中點(diǎn)弦的問題時(shí)還可以用點(diǎn)差法。

1.5奇異美

數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論、出人意料的反例和巧妙的解題方法表現(xiàn)出令人驚訝的奇異美。我們都知道：用一個(gè)與圓柱的母線斜交的平面截圓柱，得到的截口曲線是橢圓（如圖1）。如果我們沿圓柱的某一條母線剪開，將側(cè)面展平，可以看到截口曲線就是一條三角函數(shù)曲線。

■

數(shù)學(xué)的研究對象是數(shù)、形、式。數(shù)的美、形的美、式的美隨處可見。橢圓的數(shù)學(xué)美還不僅于此，它貫穿于橢圓的方方面面。

2品味橢圓的數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)美是抽象的、精煉的，不像藝術(shù)美那樣外顯。對于學(xué)生來說，由于受年齡、知識水平、審美能力的限制，很難把數(shù)學(xué)美的真正意蘊(yùn)充分體會(huì)出來。因此，教師必須改革數(shù)學(xué)課堂模式，讓學(xué)生綜合運(yùn)用眼、耳、手、大腦，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美的過程。

2.1品味橢圓定義的數(shù)學(xué)美

2.1.1品味橢圓定義的簡潔美

教師可以創(chuàng)設(shè)問題情境，通過對一些工具、模型的動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)知識。

課前準(zhǔn)備：兩位學(xué)生為一組，準(zhǔn)備兩枚圖釘、一條不能形變的細(xì)線、一張白紙、一支鉛筆。

具體操作：請一組學(xué)生上講臺操作，其他學(xué)生在下面操作，學(xué)生通過操作總結(jié)結(jié)論。

（1）把繩子固定在黑板上，要求繩子不繃緊，然后拿粉筆把繩子拉緊并在黑板上畫圖，觀察一下得到的圖形是什么？你能找到在操作過程中的不變性嗎？

（2）若剛才固定繩子時(shí)，把繩子繃緊了，又會(huì)得到怎樣的圖形呢？

（3）釘在黑板上的兩個(gè)釘子的距離能比繩子長度大嗎？

通過課堂活動(dòng)，學(xué)生能感悟到圖形的幾何性質(zhì)。學(xué)生通過觀察圖形運(yùn)動(dòng)，能夠很自然地應(yīng)對操作中所產(chǎn)生的問題，從而體會(huì)到橢圓定義的簡潔美。

2.1.2品味橢圓定義的應(yīng)用美

火腿截面、籃球影子是橢圓的形象在生活中的寫照。教師可以設(shè)計(jì)一堂“火腿截面、籃球影子與橢圓”的研究課。

課前準(zhǔn)備：

（1）圓柱形火腿一根，小刀和剪刀各一把；

（2）觀察籃球在陽光下的影子的形狀。

具體操作：

（1）用小刀把火腿切成兩段，觀察火腿截面形狀；

（2）討論火腿截面與籃球影子兩者之間的聯(lián)系；

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（3）閱讀探究與發(fā)現(xiàn)：為什么截口曲線是橢圓？證明火腿截面與籃球影子的形狀是橢圓。

（4）請大家吃掉火腿，并且不要弄破火腿皮。然后把火腿皮壓扁，用小刀裁開，再把它展平，觀察原來的截口曲線的形狀。

通過研究活動(dòng)，學(xué)生能根據(jù)抽象的幾何模型概括出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和轉(zhuǎn)化思想，利于提高學(xué)生獲取、收集、處理信息的能力，使學(xué)生獲得參與研究探索的情感體驗(yàn)，從而體會(huì)到橢圓的簡潔美、奇異美。

2.2品味橢圓方程的數(shù)學(xué)美

到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。要根據(jù)已知條件，求橢圓的方程，可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

2.2.1通過坐標(biāo)系的選擇，感悟橢圓的對稱美

坐標(biāo)系是構(gòu)造數(shù)與形的橋梁，它選擇的合適與否直接影響曲線方程的構(gòu)造。教師要讓學(xué)生通過討論、交流，并類比圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的過程，建立合適的坐標(biāo)系，從而讓學(xué)生感悟橢圓對稱美的應(yīng)用。

2.2.2通過要素的選擇，感悟數(shù)學(xué)符號的簡潔美

建系后，將條件轉(zhuǎn)化成關(guān)系式，要用到橢圓定義中“到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和”這個(gè)常數(shù)。而將關(guān)系式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)代數(shù)式要用到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)。這就需要將“到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和”和|F1F2|用字母表示。

以經(jīng)過焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖2）。設(shè)M（x，y）是橢圓上的任意一點(diǎn)，焦距是2c（c>0），M與F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)距離之差絕對值等于常數(shù)2a.

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在教學(xué)過程中，教師可以提出為什么要取“2c”與“2a”，而不取“c”與“a”的問題，讓學(xué)生在反思中感悟數(shù)學(xué)符號的簡潔美。

2.2.3通過方程的推導(dǎo)，感悟橢圓的數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，反映了客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。衡量一個(gè)結(jié)論是否成立，不僅有實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)和邏輯標(biāo)準(zhǔn)，還有美的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)一個(gè)結(jié)論尚未達(dá)到美的境界時(shí)，就必須繼續(xù)改進(jìn)，按照美的規(guī)律來制造。

按橢圓的定義可得：

P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}

將坐標(biāo)代入得方程■+■=2a.

此方程可作為橢圓方程，但它不符合簡單性原則。因此，教師可以將方程整理為■+■=1。此時(shí)的方程簡單多了。但是，橢圓具有對稱性，它所表示方程也該有對稱性。于是，由于a2-c2>0，故令b=■，即得■+■=1，此方程是如此簡潔優(yōu)美。

至此，學(xué)生明白：一開始選擇“2c”“2a”正是為了追求簡單美，而產(chǎn)生b是人為制造的。但實(shí)踐證明，b正好是橢圓短半軸，又具有鮮明幾何意義。如此教學(xué)，通過深入挖教材中數(shù)學(xué)美之因素，教師既能闡明問題的本質(zhì)，又能提高學(xué)生的審美能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造意識。

平面直角坐標(biāo)系推導(dǎo)出來的方程具有對稱美——只有x、y的二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，為利用方程研究橢圓的對稱性奠定了基礎(chǔ)，使學(xué)生從對稱性的本質(zhì)上得到研究對稱性的方法：-x代x后方程不變，說明橢圓關(guān)于y軸對稱；-y代y后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于x軸對稱；-x、-y分別代x，y后方程不變，說明橢圓曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。這樣，數(shù)與形的結(jié)合就得到深化，學(xué)生感受到對稱圖形的內(nèi)在美，在美的體驗(yàn)中享受到審美的樂趣。

2.3品味橢圓性質(zhì)的數(shù)學(xué)美

教師可創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自主探究如下問題：方程16x2+25y2=400表示什么樣的曲線，你能利用以前學(xué)過的知識畫出它的圖形嗎？

學(xué)生活動(dòng)：

（1）列表、描點(diǎn)、連線進(jìn)行作圖，在取點(diǎn)的過程中得到橢圓的范圍問題；

（2）求出橢圓曲線與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)想橢圓曲線的形狀得到圖形；

（3）方程變形，求出a，b，c，聯(lián)想橢圓畫法，利用繩子作圖；

（4）只作第一象限內(nèi)的圖形，聯(lián)想橢圓形狀，對稱得到其它象限內(nèi)的圖形；

最后，通過實(shí)物投影，教師展示畫圖過程，挖掘?qū)W生的原有認(rèn)知，提高學(xué)生的思維能力，從而達(dá)到數(shù)與形的統(tǒng)一，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的和諧美。

3在生活中應(yīng)用橢圓的美

數(shù)學(xué)起源于生活，也應(yīng)用于生活。例如：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線在經(jīng)過橢圓周反射后，反射光都經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)。電影放映機(jī)的聚光燈有一反射鏡，它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓面，正是應(yīng)用橢圓的光學(xué)性質(zhì)。“黃金橢圓”具有優(yōu)美的視覺效果，將某些金銀首飾等做成“黃金橢圓”形，更能給人以美的享受，如幸運(yùn)草LSL-236幸運(yùn)草手環(huán)體現(xiàn)了橢圓之美。

橢圓是圓錐曲線的一種。通過對橢圓美的探討和研究，不僅有助于提高學(xué)生對圓錐曲線的進(jìn)一步認(rèn)識，為雙曲線和拋物線的研究奠定基礎(chǔ)，還可以提高學(xué)生的思維能力，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

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