姜麗芳

摘 要：著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)意味著解題”. 解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的重要手段，本文從四個(gè)方面闡述了提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)效率的策略.

關(guān)鍵詞：引導(dǎo)；思維；問(wèn)題；反思

高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)是以培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力和學(xué)生后續(xù)發(fā)展的思維能力為主要教學(xué)任務(wù)的. 在教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，啟發(fā)學(xué)生在問(wèn)題的變化中觀察問(wèn)題，從問(wèn)題的遷移中思考問(wèn)題，掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考過(guò)程和推理方法. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)意味著解題”. 解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的重要手段. 目前中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）關(guān)注問(wèn)題解決教學(xué)細(xì)節(jié)不夠，重結(jié)果，輕過(guò)程，追求快捷式解題，導(dǎo)致學(xué)生記得多，理解得少；做得多，想得少. （2）較多關(guān)注“怎樣解”，對(duì)“為什么這樣解”、“怎樣學(xué)會(huì)解”缺乏必要的研究，長(zhǎng)期徘徊在一招一式的歸類，缺少觀點(diǎn)上的提高或?qū)嵸|(zhì)性的突破；（3）更關(guān)注現(xiàn)成的、形式化問(wèn)題的求解，對(duì)問(wèn)題的“反思”研究不夠.

數(shù)學(xué)課堂離不開(kāi)解題教學(xué)，它不僅能有效地增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而且可以加深學(xué)生對(duì)基本概念的理解，促進(jìn)學(xué)生良好數(shù)學(xué)觀念的形成. 《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng).在平時(shí)的課堂教學(xué)中，解題教學(xué)存在的一些問(wèn)題應(yīng)引起足夠的重視，如當(dāng)學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)：只可意會(huì)，不可言傳的現(xiàn)象，不知道該怎么寫；會(huì)做的題目往往會(huì)算錯(cuò)；考試的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)似曾相識(shí)但就是不知道該怎么做的現(xiàn)象；用“題目”對(duì)付“題目”，碰到新鮮題目卻無(wú)從下手的現(xiàn)象. 學(xué)生解題處在一種隨意的雜亂無(wú)章的思維狀態(tài). 因此，教師在課堂教學(xué)中應(yīng)重視解題教學(xué)，要讓學(xué)生做到：想得到就要寫得出，做得來(lái)就要算得對(duì)，能將題目歸類為問(wèn)題，會(huì)將問(wèn)題進(jìn)行反思拓展，真正掌握解題的思維程序. 下面筆者將從這四個(gè)方面對(duì)如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的效率進(jìn)行探討.

[?] 視角一 教師重視課堂板書，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解題

板書、行為和普通話是教師三大基本功. 然而，隨著電腦和多媒體技術(shù)進(jìn)入課堂，越來(lái)越多的教師選擇方便、簡(jiǎn)捷的課件演示代替?zhèn)鹘y(tǒng)板書. 現(xiàn)代化教學(xué)手段增加了課堂容量，節(jié)約了課堂教學(xué)時(shí)間，減輕了教師板書的工作量. 但長(zhǎng)此以往，教師對(duì)電腦有了依賴性，學(xué)生成了被灌輸?shù)膶?duì)象，上課也顯得被動(dòng)，就像看“電視連續(xù)劇”一樣，失去了最為寶貴的“同步思考”.

筆者曾調(diào)查過(guò)學(xué)生，學(xué)生反映：我們更喜歡教師的手寫板書，因?yàn)樗@得人性化. 課件的快節(jié)奏和自己的思維節(jié)奏不一樣，總給人冷冷的感覺(jué)，有時(shí)會(huì)影響學(xué)習(xí)興趣. 比起鼠標(biāo)點(diǎn)擊，我們更喜歡看教師一邊講解一邊思考一邊寫板書，通過(guò)同步思考，超前思考，讓我們更容易理解，產(chǎn)生很深的印象. 很多學(xué)生覺(jué)得教師的板書就是給自己解題的一個(gè)示范，否則只看屏幕上的播放，放過(guò)了就忘記了.

每一節(jié)數(shù)學(xué)課堂中至少一個(gè)例題有詳細(xì)的板書過(guò)程，向?qū)W生呈現(xiàn)解題的方法和解題的過(guò)程以及必要的運(yùn)算過(guò)程和相關(guān)的圖形. 在《排列與組合》的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的想法很多，但大多數(shù)學(xué)生都遇到了書寫的困難，不能很好地展現(xiàn)自己的思維過(guò)程，以至于常常發(fā)生“覺(jué)得自己的想法很正確，答案卻錯(cuò)了，但不知道錯(cuò)在哪里”的困惑.針對(duì)這個(gè)現(xiàn)象，在課堂上筆者站在學(xué)生的角度，站在學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上將問(wèn)題講透，注重通性通法，認(rèn)真板書，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解題.

例1 用0到5這6個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)有多少個(gè)？

教師邊聽(tīng)學(xué)生的想法，邊板書詳細(xì)過(guò)程：

學(xué)生1：按末位是否為0分類，有兩類.

教師板書：第1類末位數(shù)是0，共有A=20個(gè)；第2類末位是2或4，共有AAA=32個(gè). 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)是N=20+32=52個(gè).

學(xué)生2：按每一位數(shù)的奇偶分類，有四類.

教師板書：第1類三位數(shù)分別是奇、奇、偶，共有AA=18個(gè)；第2類三位數(shù)分別是偶、奇、偶，共有CCC=12個(gè)；第3類三位數(shù)分別是奇、偶、偶，共有CA=18個(gè)；第4類三位數(shù)分別是偶、偶、偶，共有CA=4個(gè). 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)是N=18+12+18+4=52個(gè).

學(xué)生3：排除法，先允許0在首位，求出總數(shù)，再求出末位是偶數(shù)的數(shù)，再減去首位是0的數(shù).

教師板書：先允許0在首位，共有A=120個(gè)三位數(shù)，因?yàn)檫@6個(gè)數(shù)中，奇數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)相同，所以共有=60個(gè)末位是偶數(shù)的三位數(shù)，其中首位是0，末位是偶數(shù)的共有AA=8個(gè)數(shù)，故滿足條件的偶數(shù)個(gè)數(shù)是N=60-8=52個(gè)數(shù).

教師點(diǎn)評(píng)：三位學(xué)生給出了不同的思路，其他學(xué)生看看解題過(guò)程，在分類時(shí)注意不重不漏，我們?cè)诰唧w做題時(shí)盡量選擇比較簡(jiǎn)潔的做法，更快捷地解決問(wèn)題.

如果說(shuō)教師的課堂板書演示給學(xué)生起到了很好的示范作用，那么學(xué)生的板演就是對(duì)這個(gè)作用的很好的肯定. 蘇霍姆林斯基說(shuō)：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者. 而在少年的世界中，這種需要特別強(qiáng)烈”，“學(xué)生板演”給了學(xué)生作為發(fā)現(xiàn)者的欣喜體現(xiàn)，同時(shí)課堂中“學(xué)生板演”是教學(xué)中一條重要反饋渠道. 板演中學(xué)生的思維過(guò)程得以展現(xiàn)，特別是學(xué)生板演中暴露出來(lái)的錯(cuò)誤，能夠引起教師與學(xué)生的共同反思.

于是在教師示范的基礎(chǔ)上，筆者再給出一個(gè)變式題：用0到5這6個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被3整除的有多少個(gè)？讓多位學(xué)生同時(shí)板演. 學(xué)生的板演讓筆者感到很欣慰，有按三位數(shù)字中有沒(méi)有0來(lái)分類的，有按和為3的倍數(shù)來(lái)分類的，過(guò)程都寫的相當(dāng)漂亮.

通過(guò)教師的示范，學(xué)生知道了怎樣書寫過(guò)程，也明白了自己的想法錯(cuò)在哪里. 能夠?qū)⒆约旱乃季S過(guò)程完整地表述出來(lái)，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn).

[?] 視角二 展示運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算能力

教師依賴電腦，學(xué)生依賴計(jì)算器是現(xiàn)在的一個(gè)普遍現(xiàn)象. 而運(yùn)算能力作為一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，無(wú)論是中學(xué)數(shù)學(xué)的《教學(xué)大綱》，還是《考試說(shuō)明》，都把它列在諸項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的首位，同時(shí)它也是其他數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ). 提高學(xué)生的計(jì)算能力不僅有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)，也有利于學(xué)生邏輯、推理、創(chuàng)新等各種能力全方面發(fā)展，從而更好適應(yīng)時(shí)代需要.所以筆者認(rèn)為教師在課堂中也要充分展示計(jì)算過(guò)程，而不能把計(jì)算過(guò)程略掉，或者習(xí)慣性地對(duì)學(xué)生說(shuō)：“這個(gè)計(jì)算過(guò)程同學(xué)們課后好好算算，由于時(shí)間關(guān)系課堂上就不展開(kāi)了”，看似節(jié)約了時(shí)間，其實(shí)是錯(cuò)過(guò)了教育良機(jī)，在課堂上教師應(yīng)該有耐心地和學(xué)生一起將計(jì)算進(jìn)行到底.

例2 為了展示運(yùn)算過(guò)程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)過(guò)程，筆者在講解“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)”這一部分內(nèi)容時(shí)是這樣處理的：

首先，復(fù)習(xí)回顧：（1）求曲線方程的一般方法：坐標(biāo)法；（2）求曲線方程的一般步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn).

引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美等角度建立平面直角坐標(biāo)系，使求出的方程最為簡(jiǎn)單，得到兩種方案：

先選定方案1，推導(dǎo)方程.

接下來(lái)的化簡(jiǎn)就是難點(diǎn)，為了更好地突破難點(diǎn)，筆者先舉一個(gè)實(shí)例：已知a=5，c=3，由學(xué)生嘗試化簡(jiǎn)+=10.

教師提示：這個(gè)方程形式復(fù)雜，應(yīng)該化簡(jiǎn). 化簡(jiǎn)的目的是去掉根式，可以兩邊平方. 這里有兩個(gè)根式，如何平方更簡(jiǎn)捷？應(yīng)該使用先移項(xiàng)再平方，再移項(xiàng)再平方的方法.

學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)：移項(xiàng)得=10-，兩邊平方，化簡(jiǎn)得5=25-3x，再平方，整理得16x2+25y2=252-25×9=25×16，可以整理得+=1.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：25=a2，16=25-9=a2-c2.

在學(xué)生對(duì)具體的運(yùn)算過(guò)程有所體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，教師對(duì)一般方程的化簡(jiǎn)作以示范：將這個(gè)方程移項(xiàng)后兩邊平方，得（x+c）2+y2=4a2-4a+（x-c）2+y2，整理得a2-cx=a. 上式兩邊再平方，得a2-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）. 由橢圓定義知， 2a>2c，即 a>c，所以a2-c2>0. 令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2，兩邊同除以a2b2，得+=1.

到此，完成了對(duì)課本上算理的分析. 問(wèn)題解決是一種學(xué)習(xí)方式，提出問(wèn)題更是新課程的較高要求. 教師在課堂中要適度引入問(wèn)題解決的思想，引導(dǎo)學(xué)生自主解決課本中的探究. 同時(shí)也要不斷利用追問(wèn)，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)提問(wèn)來(lái)推動(dòng)問(wèn)題解決的前進(jìn). 通過(guò)師生共同計(jì)算，學(xué)生知道了該怎么化簡(jiǎn)，此時(shí)教師要把握教育契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生大膽地思考其他方法. 師生共同探討：

方法二：用均值換元法

書上介紹的方法直接通過(guò)移項(xiàng)平方進(jìn)行化簡(jiǎn)，這是課堂示范的重點(diǎn)，屬于通性通法；方法二通過(guò)均值換元，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含一個(gè)根式的化簡(jiǎn)；方法三利用三角換元，運(yùn)用三角恒等式，也把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含一個(gè)根式的化簡(jiǎn). 不同的解法有不同的優(yōu)點(diǎn)，通過(guò)不同的化簡(jiǎn)途徑，及時(shí)總結(jié)出各種化簡(jiǎn)技巧，提高運(yùn)算能力.

[?] 視角三 依托教材問(wèn)題，研究問(wèn)題變式

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進(jìn)、創(chuàng)新. 數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個(gè)狹窄的課本知識(shí)領(lǐng)域里，應(yīng)該是讓學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步地深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)運(yùn)用課本的知識(shí)舉一反三. 應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段，所謂“變式”，就是指教師有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征，變換問(wèn)題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問(wèn)題的內(nèi)容和形式，配置實(shí)際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對(duì)象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基本工具，也是教師向?qū)W生系統(tǒng)傳授知識(shí)、進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù). 新課程所倡導(dǎo)的“用教材”的主要精髓在于教師在課堂教學(xué)過(guò)程中能夠?qū)滩倪M(jìn)行靈活的處理和運(yùn)用，靈活的處理和運(yùn)用的關(guān)鍵在于吃透教材，只有在熟悉課程標(biāo)準(zhǔn)、吃透教材的基礎(chǔ)上，教材的精神才能內(nèi)化為教師自己的教學(xué)思想，才能在課堂上對(duì)教學(xué)內(nèi)容揮灑自如、得心應(yīng)手. 因此，深入鉆研教材，正確使用教材是非常重要的，它是優(yōu)化課堂教學(xué)的前提，更是顯示教師教學(xué)能力和學(xué)識(shí)水平的重要標(biāo)志. 教材中的數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)容豐富，層次分明，有例題、練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題等，對(duì)其中的不少問(wèn)題稍作改編，就能得到一道高考試題.

例3 （人教版A版選修2-1第47頁(yè)例7）已知橢圓+=1，直線l：4x-5y+40=0. 橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得它到直線l的距離最??？最小距離是多少？

在解完整個(gè)題的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將原題的問(wèn)題提煉成一個(gè)新的概念，在數(shù)學(xué)上可以定義此最小值為曲線到直線的距離，把學(xué)生熟悉的“點(diǎn)到直線的距離”定義成了“曲線到直線的距離”，甚至還可以將定義類比推廣為“兩條曲線間的距離”，比如說(shuō)兩圓之間的距離. 類似這樣考查新概念的問(wèn)題在高考中屢見(jiàn)不鮮. 例如下面一道題：

（2012年高考數(shù)學(xué)浙江卷理科第16題）定義：曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離. 已知曲線C1：y=x2+a到直線l：y=x的距離等于曲線C2：x2+（y+4）2=2到直線l：y=x的距離，則實(shí)數(shù)a=_______.

解析：和書上例題類似，教師引導(dǎo)學(xué)生在理解“曲線到直線的距離”的概念的基礎(chǔ)上，將它轉(zhuǎn)化為普通的求點(diǎn)到直線的距離的題型，最后利用類比思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.

幾乎每年的高考數(shù)學(xué)試題中都有一些“似曾相識(shí)”的題目，而這些“似曾相識(shí)”的題目大多數(shù)是源于教材問(wèn)題的 “變式”. 在課堂教學(xué)中，如果我們圍繞教材重點(diǎn)、難點(diǎn)，通過(guò)改變課本例題、練習(xí)題、習(xí)題中的某些條件或結(jié)論，使之成為一個(gè)新題，或者得到一種解決問(wèn)題的新的方法，這樣的變式教學(xué)必將激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

[?] 視角四 引導(dǎo)學(xué)生反思，成就思維高度

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果僅僅致力于做題，從本質(zhì)上講只是一種重復(fù)訓(xùn)練，它確實(shí)能提高學(xué)生解題的熟練程度，但對(duì)解題能力的真正發(fā)展卻不一定起到很大的作用. 著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞講過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧”. 所謂回顧，就是指解題后的反思與總結(jié). 那么，該如何反思與總結(jié)呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾點(diǎn)去考慮：

首先解完一道題，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這道題作進(jìn)一步的思考：答案是否合理？解題過(guò)程是否使用了題中所有條件？題目所要求的問(wèn)題解決了嗎？解題思路是否嚴(yán)密？解題過(guò)程是否合理？……反思整個(gè)解題過(guò)程，能避免偏離題設(shè)的錯(cuò)誤，并及時(shí)修正解題中的錯(cuò)誤.

其次由于數(shù)學(xué)知識(shí)之間是有機(jī)聯(lián)系、縱橫交錯(cuò)的，所以很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法并不唯一. 解完題后，教師引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行思考，看看是否還有其他解法. 通過(guò)探求一題多解，可以防止思維定式，及時(shí)總結(jié)出各類解題技巧，找出最合適的解題方式，更快捷地解決問(wèn)題.

再次解完一個(gè)問(wèn)題以后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生想想看：命題的逆命題是否成立？題目中有沒(méi)有蘊(yùn)涵規(guī)律性的內(nèi)容？問(wèn)題經(jīng)過(guò)拓展，能否得到一般性的結(jié)果？養(yǎng)成這種“打破砂鍋問(wèn)到底”的習(xí)慣，有助于增加知識(shí)存儲(chǔ)量和思維深度，更有助于促進(jìn)學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

在復(fù)習(xí)課中，筆者曾就一個(gè)高考題中的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了反思拓展.

例4 （2011年高考數(shù)學(xué)山東卷（理科）第22題第1問(wèn)）已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩個(gè)不同的點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ=， 其中O為坐標(biāo)原點(diǎn). 證明：x+x和y+y均為定值.

解析：如圖3所示，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以x2=x1，y2=-y1.

綜上所述，x+x=3，y+y=2，結(jié)論成立.

做完這樣一道似乎含有結(jié)論性內(nèi)容的題目后，如果把它丟在一邊，那真是非?？上? 筆者引導(dǎo)學(xué)生反思如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）只要△OPQ的面積為定值，x+x和y+y就一定為定值嗎？通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)，“S△OPQ=”是一個(gè)非常重要的條件，如果△OPQ的面積取任意一個(gè)常數(shù)，而不是取，則x+x和y+y就不一定為定值.（2）S△OPQ=，x+ x=3，y+y=2，這些數(shù)據(jù)與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1中的a，b是什么關(guān)系？這樣的問(wèn)題是由思維的拓展性所產(chǎn)生的，也就是由特殊到一般的思考方式. 不難發(fā)現(xiàn)，如果推廣到一般的情況，似乎有“若S△OPQ=ab，則x+x=a2，y+y=b2”，讓學(xué)生思考能否證明這個(gè)結(jié)論. （3）如果橢圓的方程為+=1，那么當(dāng)△OPQ的面積為多少時(shí)，x+x和y+y就一定為定值，這個(gè)定值是多少？由第2問(wèn)，這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論顯而易見(jiàn). （4）如果x+x或y+y取定值，△OPQ的面積能否為定值？如果是定值，這兩個(gè)定值與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程+=1中的a，b是什么關(guān)系？這是對(duì)原題的反向提問(wèn)，也就是對(duì)問(wèn)題的逆向思維，實(shí)際上，如果x+x=a2或y+y=b2，△OPQ的面積才能為定值，且S△OPQ=ab. 通過(guò)對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題的思考，可以得到以下結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)S△OPQ=ab時(shí)，x+x=a2，y+y=b2. 教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考一下，在雙曲線或者拋物線中有沒(méi)有類似的結(jié)論.

教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常對(duì)問(wèn)題作出合理的猜想和適度的拓展，勢(shì)必能提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，更重要的是有助于提高學(xué)生提出問(wèn)題的能力，形成創(chuàng)新思維.

古人云：“授之以魚(yú)，不如授之以漁.”因此在日常教學(xué)中，教師不僅僅是教知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生知道怎樣去學(xué)習(xí)知識(shí)，獲取知識(shí)，如何把所學(xué)的知識(shí)運(yùn)用到具體的問(wèn)題解決中去. 讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，明確研究的問(wèn)題，選取研究的方法，構(gòu)建研究的過(guò)程，從而獲得研究的結(jié)論. 波利亞認(rèn)為，教書是一種有無(wú)數(shù)大小訣竅的行業(yè)，通過(guò)努力，總可以講得更深刻更生動(dòng). 只要教師肯下功夫，學(xué)生的思維一旦被激活，數(shù)學(xué)教育的成功就自然在我們的期待之中了.