蔣春光

在物理和工程技術(shù)的許多問題中，都要遇到形如y=ASin（ωx+φ）的函數(shù)解析式（其中A、ω、φ都是常數(shù)）。例如，物體做簡諧振動時位移s與時間t的關(guān)系，交流電中電流i與時間t的關(guān)系等，都可以表示成這類函數(shù)。教學(xué)大綱與考試說明對函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的教學(xué)與考查提出了具體要求：一是要求函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的周期，或經(jīng)過簡單的恒等變形可化為上述函數(shù)的周期；二是會用五點(diǎn)法畫函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的簡圖。這就充分說明了函數(shù)y=ASin（ωx+φ）在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著重要的地位。筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，對函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的教學(xué)中應(yīng)該注意的若干問題作了些探討。

一、立足于函數(shù)y=（ωx+φ）的簡圖的作法，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識的教學(xué)。

關(guān)于函數(shù)y=（ωx+φ）簡圖的作法。教材給出四道例題，例題是循序漸進(jìn)式的，是教學(xué)的重點(diǎn)。然后，由特殊到一般地歸納出了函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的圖象與函數(shù)y=ASinx、y=ASinωx、y=ASin（ωx+φ）的關(guān)系。

繪制出函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的簡圖，教材中介紹了兩種方法：一是“五點(diǎn)法”，二是圖象變換法。兩種方法是教材提出的基本要求五點(diǎn)法是畫草圖的具體操作而變換法才是基礎(chǔ)目的。

1：“五點(diǎn)法”，即函數(shù)的一個周期內(nèi)的五個最具特征的五個點(diǎn)即（0，0）（ ，1）（ ，0）（ ，-1）（2 ，0）

“五點(diǎn)法”是作函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的簡圖最有效的方法之一，學(xué)生掌握起來并不困難，在教學(xué)中，可以充分運(yùn)用教材上的四道例題，向?qū)W生講清楚在一個周期內(nèi)起關(guān)鍵作用的五個點(diǎn)。

2：運(yùn)用圖象變換的方法也可以作出y=ASin（ωx+φ）的簡圖，但在實(shí)際的教學(xué)中實(shí)施起來并不容易，課本介紹變換法的目的是在于揭示各種正弦圖象間的內(nèi)在聯(lián)系，而并不是用變換法來作圖，教學(xué)的重點(diǎn)在于幫助學(xué)生掌握振幅（A）變換、周期（T）變換。相位（φ）變換、上下平移變換的基本規(guī)律，并清楚各種不同的正弦型函數(shù)的圖象間的關(guān)系。

與五點(diǎn)法相比較，學(xué)生對于圖象變換法的掌握就顯得不那么容易了，教材中首先通過三個例子介紹了y=ASinx、y=ASinωx和y=ASin（ωx+φ）這三類函數(shù)圖象的作法，并把他們的圖函與y=ASinx的圖象作比較，指出這三個圖象可以通過y=Sinx分別作振幅變換、周期變換和相位變換而得到，然后在此基礎(chǔ)上討論一般的正弦函數(shù)y=ASin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖象的作法（例三）。

二、注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透與提煉，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)研究活動中解決問題的根本方法，是對數(shù)學(xué)規(guī)律理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)的靈魂。函數(shù)y=ASin（ωx+φ）這一節(jié)教材，原有豐富的思想方法的內(nèi)容，教學(xué)過程中，注意認(rèn)真地挖掘與提煉，對開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的能力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，具有十分重要的意義。

1：提煉特殊到一般的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

教材中關(guān)于函數(shù)圖象的振幅、周期、相位等變換，都是通過對特殊例題的研究，再抽象概括出一般的結(jié)論。教學(xué)時，應(yīng)充分注意引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)/歸納和抽象，防止因教師包辦而失去培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的良機(jī)。

2：挖掘數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力。

數(shù)形結(jié)合的思想方法，在中學(xué)教學(xué)中有著十分重要的地位，函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的圖象直觀而形象地顯示了函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的有關(guān)性質(zhì)，借助圖象，則能迅速，簡捷地求解與y=ASin（ωx+φ）有關(guān)的函數(shù)的值域（最值）、周期、單調(diào)性，對稱軸方程等，教學(xué)過程中，必須選編一些難易適度的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)用圖象解題的訓(xùn)練提高學(xué)生運(yùn)用圖象解題的能力。

3：滲透等價轉(zhuǎn)化的基本思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。

等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最基本和最常用的方法，進(jìn)行函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的教學(xué)，特別是在學(xué)期復(fù)習(xí)時，要善于引導(dǎo)學(xué)生將某些復(fù)雜的三角函數(shù)式等價地轉(zhuǎn)換為y=ASin（ωx+φ）的形式，再借助其圖象與性質(zhì)，研究其解法，這樣有利用綜合復(fù)習(xí)，又可以有效地提高學(xué)生的邏輯思維能力。

例一、已知函數(shù)y=（x）=3Sinxωsx-5 cos + （x R）

求函數(shù)的振幅，最小正周期，單調(diào)增區(qū)間，對稱軸方程。分析：利用三角公式，將已知函數(shù)式恒等變形，得，y=5Sin（2x- ）問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的性質(zhì)研究，問題便不攻自破。

例二、求函數(shù)y=3Sin（x+20）+5Sin（x+80）的最值。

分析：利用兩角和的正弦公式，將所有給函數(shù)式變形

y=3Sin（x+20）+5Sin{（x+20）+60}

= Sin（x+20）+ cos（x+20）

=7Sin（x+20+φ） 其中tgφ=

Ymax=7，Ymin=-7

經(jīng)常有意識地進(jìn)行類似的等價轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練，對于增強(qiáng)學(xué)生的化意識是大有好處的。

4：揭示正難則反的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

與作函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的簡圖的思維過程相反的一類問題是由y=ASin（ωx+φ）的簡圖或由已知函數(shù)的變換關(guān)系確定其解析式。這是進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練的極好題材，課本上缺少這樣的例題，而在各級各類考試中常常出現(xiàn)，所以應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。

例三、已知函數(shù)y=ASin（ωx+φ），（A>0，ω>0）

若在同一周期內(nèi)，當(dāng)x= 時，y有最大值2，當(dāng)x= 時，y有最小值-2，求這個函數(shù)解析式

通過這樣的練習(xí)，不但可以加深學(xué)生對“五點(diǎn)法”的本質(zhì)和圖象變換規(guī)律的認(rèn)識，而且可以提高學(xué)生分析問題的能力，為今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。

三、加強(qiáng)應(yīng)用意識，努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

開展應(yīng)用的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，是實(shí)現(xiàn)應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變的重要舉措同，而立足教材，聯(lián)系實(shí)際，則是開展教學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用教學(xué)的有效途徑。圍繞函數(shù)y=ASin（ωx+φ）現(xiàn)行教材中編寫了三道與物理學(xué)想互聯(lián)系的實(shí)際應(yīng)用題，這三道題的安排可以說是匠心鐵獨(dú)運(yùn)的。筆者在該教學(xué)內(nèi)容上以這三道題為核心，組織了一堂數(shù)學(xué)應(yīng)用的活動課，使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識在其他學(xué)科及生產(chǎn)實(shí)際、科學(xué)技術(shù)等方面的廣泛應(yīng)用，極大地提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的積極性取得了較好的教學(xué)效果。

總之，在函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的教學(xué)中我們應(yīng)本著“立足教材，深化知識，提煉方法，培養(yǎng)能力，提高素質(zhì)”的原則。精心挖掘教材的潛力，努力創(chuàng)設(shè)問題的背景，引導(dǎo)學(xué)生全方位，多角度地認(rèn)識、深化，使用函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的圖象和性質(zhì)。充分發(fā)揮函數(shù)y=ASin（ωx+φ）的潛在教育功能，提高其教學(xué)價值，使我們的教學(xué)收到事半功倍的效果。