王明安

摘 要：“提組教學(xué)法”的選題，要有利于鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力和探究能力，有利于提高學(xué)生的甄別能力和認(rèn)知理解水平. 這樣做，能提高學(xué)生的解題能力，使學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：題組；思維能力；探究能力；甄別能力；認(rèn)知理解水平

“題組教學(xué)法”是指在課堂教學(xué)中，為了達(dá)到某一教學(xué)目的，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，合理有效地選用一組數(shù)學(xué)問題組織教學(xué)的一種方法. 這種方法要求在解決過程中，除了解決單個數(shù)學(xué)問題外，通常還要連續(xù)解決幾個前后有聯(lián)系的問題，以達(dá)到對問題本質(zhì)的深刻理解，掌握解題規(guī)律，鞏固知識技能和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維等. 其中，題組的選取是這種教學(xué)法的核心，它貫穿于整個數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的始終. 好的題組，能促進(jìn)學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，檢查和鞏固學(xué)習(xí)過的知識，同時又能促進(jìn)師生之間的交流，激勵學(xué)生的主動參與意識. 因此，為了更有效地體現(xiàn)題組在數(shù)學(xué)課堂中的功能，引導(dǎo)學(xué)生更加積極主動地參與課堂教學(xué)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和探究精神，筆者結(jié)合我校高三一輪復(fù)習(xí)中運(yùn)用的“題組教學(xué)法”，以“二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值 ”一課的題組選取為例，對題組的選取談一點(diǎn)膚淺的認(rèn)識.

[?] 對選題的幾點(diǎn)思考

恰當(dāng)選擇問題，是題組教學(xué)的基礎(chǔ).在長期的教學(xué)實(shí)踐中，筆者體會到，選擇問題要做到以下幾點(diǎn)：

1. 有利于鞏固基礎(chǔ)知識

在一輪復(fù)習(xí)時，學(xué)生對已學(xué)過的知識有的已經(jīng)生疏，有的已經(jīng)模糊不清，有的已經(jīng)完全遺忘，為了喚醒學(xué)生的記憶，教師應(yīng)進(jìn)一步強(qiáng)化和鞏固有關(guān)基礎(chǔ)知識和基本概念，使學(xué)生對基礎(chǔ)知識認(rèn)識得更清晰、更完整、更深刻，也為了一節(jié)課的較高要求內(nèi)容做準(zhǔn)備. 題組設(shè)計的開始，要立足于學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定義、定理、公理、公式、法則等基礎(chǔ)知識和基本技能，如題組一的設(shè)計，學(xué)生只要能掌握二次函數(shù)的基本知識和基本解題方法，就能解決問題. 它讓學(xué)習(xí)困難的學(xué)生感到?jīng)]有被遺忘，學(xué)有余力的學(xué)生可以進(jìn)一步總結(jié)規(guī)律和方法（如本題組用到的配方法、數(shù)形結(jié)合法，取得最大值和最小值的x值與對稱軸所在區(qū)間的位置之間的關(guān)系等，都是值得學(xué)生研究和總結(jié)的問題）. 同時，學(xué)有余力的學(xué)生還可以做學(xué)有困難的學(xué)生的“小老師”，體現(xiàn)團(tuán)結(jié)、協(xié)作、共同探討、共同進(jìn)步的精神，也為題組二、體組三中帶參數(shù)問題的參數(shù)討論打下了基礎(chǔ).

2. 有利于提高學(xué)生的思維能力

高三一輪復(fù)習(xí)時，學(xué)生的知識面正處在一個待整合、待開拓、待提高的階段，除了打基礎(chǔ)外，題組的選取還要努力為學(xué)生提供所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與已有的經(jīng)驗(yàn)建立內(nèi)部聯(lián)系的實(shí)踐機(jī)會. 根據(jù)相應(yīng)的邏輯順序，以及知識所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想、方法，為學(xué)生提供適量的、具有典型意義的問題，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)理論知識的導(dǎo)向下，對這些問題進(jìn)行充分的感知，并在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行抽象概括，使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識建立起內(nèi)在的聯(lián)系，成為一個有機(jī)的知識整體，達(dá)到對數(shù)學(xué)理論的理性認(rèn)識，使數(shù)學(xué)思維能力得到深化，復(fù)習(xí)更有效率. 如題組二，它在題組一的基礎(chǔ)上引入了參數(shù)，而且參數(shù)的位置分別在一次項(xiàng)、二次項(xiàng)、定義域等位置，這是這種函數(shù)最典型的問題，在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，抽象概括出處理這類問題的配方法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法等數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 再如題組三，將三角函數(shù)、分式函數(shù)與二次函數(shù)建立起了內(nèi)在的聯(lián)系，學(xué)生很容易想到別的類似問題，也能與二次函數(shù)建立起內(nèi)在的聯(lián)系，因此學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到了深化. 經(jīng)過這樣的思維引導(dǎo)，學(xué)生原來閉塞的思路得以疏通，探究的欲望得以激發(fā)，思想的火花得以點(diǎn)燃，問題解決的途徑得以尋覓.

3. 有利于提高學(xué)生的探究能力

普通高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的主導(dǎo)文化是“動手實(shí)踐、自主探究、合作交流”，竭力倡導(dǎo)積極主動、勇于探究的學(xué)習(xí)方式. 在課堂教學(xué)中，教師要充分利用一切可利用的條件，創(chuàng)設(shè)合理完美的教學(xué)情境，適時地開展數(shù)學(xué)合作探究，通過討論、分析、辯論等方式進(jìn)行公開的交流和協(xié)作，在學(xué)生之間達(dá)成理解的共識和認(rèn)可，為個體行為的改變奠定基礎(chǔ). 問題的設(shè)計要結(jié)合所教班級的具體情況而制訂，問題容易了，不用探究，問題難了，學(xué)生探究不起來. 只有難易適中，讓學(xué)生能“跳一跳，摘桃子”，才能引起學(xué)生的探究興趣. 如本節(jié)課的題組二和題組三，課堂上曾經(jīng)一度出現(xiàn)了“討論聲、交流聲、指導(dǎo)聲不絕于耳，此起彼伏”的活躍氣氛，充分說明教師通過題組訓(xùn)練為學(xué)生提供了恰當(dāng)?shù)暮献魈骄康慕虒W(xué)情境（說明：使用本題組的班級是我校的普通班）. 這種群組討論有助于增強(qiáng)個體行為的效果，個體的特點(diǎn)在群體的討論中才能真正得到展現(xiàn).

4. 有利于提高學(xué)生甄別題型的能力

在數(shù)學(xué)習(xí)題中常有“形相似而質(zhì)不同”或“質(zhì)相似而形不同”的現(xiàn)象，教師在選題時要有意識地將它們放在一起，以利于學(xué)生區(qū)別.

對于“形相似而質(zhì)不同”的問題，學(xué)生往往有一種“親近”感，易于產(chǎn)生松懈、麻痹的心態(tài)，造成上當(dāng)受騙而解錯題目. 如題組二的（1）（2）兩小題，由于解析式都是含有參數(shù)a的二次函數(shù)的形式，定義域也相同，因此一樣討論. 其實(shí)，這兩題中參數(shù)a所處的位置不同，分類的方法和標(biāo)準(zhǔn)都不相同. 第1小題的參數(shù)a在一次項(xiàng)的系數(shù)上，拋物線的開口方向一定，只要根據(jù)對稱軸所在的位置分四類討論就可以了. 第2小題的參數(shù)a在二次項(xiàng)的系數(shù)上，故函數(shù)未必是二次的，必須分a=0和a≠0討論. 當(dāng)a≠0時，若a>0，要以1為界分類討論；若a<0，還要以-1為界分類討論. 教師若能時常提醒學(xué)生注意以上現(xiàn)象，透過“外貌”頗似的表層，認(rèn)識題目不同的本質(zhì)，則可深化知識，防止知識的負(fù)遷移，培養(yǎng)學(xué)生的鑒別能力，提高答題的正確率.

對于“質(zhì)相似而形不同”的問題，學(xué)生往往有一種“生疏”感，易于產(chǎn)生緊張、多慮的心態(tài)，造成無從下手而解題受阻. 如題組二的（1）和題組三的（1）兩小題、題組二的（3）和（4）兩小題、題組三的（1）和（2）兩小題以及題組三的（3）和（4）兩小題都是這種題型，只要對它們進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡葍r變形或換元，都能轉(zhuǎn)化為同一種題型去解決（解法不再多述）. 教師若能對這種現(xiàn)象及時地進(jìn)行歸類總結(jié)，透過“外貌”不同的表層，認(rèn)識題目相同的本質(zhì)，則可以防止學(xué)生出現(xiàn)解題時“只見樹木，不見森林”的現(xiàn)象，解決題目“由多變少”、參考書“由厚變薄”的問題，提高學(xué)生的解題能力.

5. 有利于提高學(xué)生的認(rèn)知理解水平

研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)認(rèn)知理解水平可分為三個層次：（1）操作性理解；（2）關(guān)系性理解；（3）遷移性理解. 下面分別闡述它們對選題的要求.

（1）操作性理解，即學(xué)生懂得了數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法，能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決一些識記性與操作性步驟比較強(qiáng)的簡單問題.如題組一的求解，比較規(guī)范的操作性步驟是：第一步，配方，求出對稱軸方程和頂點(diǎn)坐標(biāo)（不拘泥于配方法）；第二步，畫圖，即在坐標(biāo)系中畫出拋物線的對稱軸、頂點(diǎn)以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而畫出整個拋物線；第三步，截段，即截取給定區(qū)間上的一段圖象.這樣，通過觀察便知函數(shù)的最大值和最小值. 只要學(xué)生懂得這些簡單的原理和方法，無需過多的訓(xùn)練，便能非常熟練地求解這類問題.

（2）關(guān)系性理解，即學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)有比較深刻的認(rèn)識，能夠把握數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決一些綜合性問題. 如題組二的求解，它與題組一相比，主要是增加了一些不確定因素.第1和2兩小題是區(qū)間定，對稱軸動，開口方向也不固定；第3和4兩小題是對稱軸定，區(qū)間動，并且第3小題區(qū)間的一個端點(diǎn)動，第4小題區(qū)間的兩個端點(diǎn)都在動. 要解決此類問題，就需要學(xué)生達(dá)到關(guān)系性理解水平，即對此類涉及數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)問題有比較深刻的認(rèn)識，對單調(diào)性的判斷、不等式的求解、分段函數(shù)的表示等知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律有比較好的把握，光靠學(xué)生的操作性理解水平是不好解決的.

題組一的每一個小題的對稱軸和區(qū)間雖然都是固定的，但如果把它看成一個整體，對稱軸又是變化的，即它分別在區(qū)間外的左邊、區(qū)間內(nèi)的左半個區(qū)間、區(qū)間內(nèi)的右半個區(qū)間和區(qū)間外的右邊，題組二的第1小題雖然對稱軸是不固定的，但當(dāng)給a一個具體值時，對稱軸又是相對固定的，即題組一是題組二第1小題的特例，由題組一的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，求函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值問題，主要是要“明朗”函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性問題.而對于二次函數(shù)來說，主要是要分清楚對稱軸與區(qū)間的相對位置，即比較區(qū)間端點(diǎn)、區(qū)間中點(diǎn)與對稱軸的位置. 這樣，學(xué)生在題組一的鋪墊下，就自然地產(chǎn)生了分類討論的思想和分類的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生對問題的認(rèn)知水平就由操作性理解水平上升到了關(guān)系性理解水平.

（3）遷移性理解，即學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識，能夠?qū)?shù)學(xué)思想、方法以及所學(xué)數(shù)學(xué)知識遷移到別的數(shù)學(xué)情景，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題. 如題組三的求解，顯然它們都不是二次函數(shù)的形式，稍加思考就會發(fā)現(xiàn)，只要在第1小題中令sinx=t，就可以變?yōu)轭}組二的第1小題，而第2小題利用三角公式可以變形為第1小題，但3、4兩小題如何變形為二次函數(shù)的形式呢？通過觀察就會發(fā)現(xiàn)：x2+與

≤，這樣問題就迎刃而解了. 學(xué)生的認(rèn)知水平也就由關(guān)系性理解水平上升到了遷移性理解水平. 這一過程的達(dá)成，需要學(xué)生有很強(qiáng)的逆向思維能力，非常熟練的技能和牢固的基礎(chǔ)知識，需要教師有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和對“題組教學(xué)法”的深刻理解與體會.

在“題組教學(xué)法”的選題中，要求教師能根據(jù)學(xué)生認(rèn)知理解的三個層面去選題，以“題組”為媒介，讓操作性理解、關(guān)系性理解、遷移性理解之間進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，并且不斷轉(zhuǎn)化，交融相合，在操作性理解的基礎(chǔ)上，厘清知識的本質(zhì)，達(dá)到關(guān)系性理解；在關(guān)系性理解的基礎(chǔ)上，豐富問題的應(yīng)用背景，躍升到遷移性理解. 如果選的“題組”能以操作性理解為基點(diǎn)，以遷移性理解為目標(biāo)，學(xué)生的認(rèn)知水平就會不斷得到提高.

總而言之，“題組教學(xué)法”選題的目的是幫助學(xué)生掌握基本知識和基本概念，啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的能力，提升學(xué)生的認(rèn)知水平. 因此，教師有必要對“題組”的價值作出判斷，對“題組”的功能充分開發(fā)，對“題組”解決的過程充分展示，以達(dá)到能比較順利地解決數(shù)學(xué)問題，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.