何科俊

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》第7頁(yè)中先給出了建立數(shù)學(xué)模型思想的地位：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。接著又給出了建立和求解模型的過(guò)程：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。最后指出上述過(guò)程的意義：這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。這段文字表述得很出色，但不足之處在于：把數(shù)學(xué)模型局限在“數(shù)與代數(shù)”的范圍內(nèi)，沒(méi)有舉出幾何模型、概率模型的例子。

1.構(gòu)建方程模型

例1一張桌子有一張桌面和四條桌腿，做一張桌面要木材0.03m3，做一條桌腿要木材0.002m3。現(xiàn)做一批這樣的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少?gòu)堊雷樱?/p>

解析：設(shè)共做了x張桌子。

根據(jù)做桌面所需木料的體積+做桌腿所需木料的體積 =3.8m3，建立如下方程模型：0.03x+4×0.002x=3.8，求解略。

2.構(gòu)建不等式（組）模型

例2有10名菜農(nóng)，每個(gè)人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝。已知甲種蔬菜每畝收入0.5萬(wàn)元，乙種蔬菜每畝收入0.8萬(wàn)元，要使總收入不低于15.6萬(wàn)元，則最多只能安排多少人種甲種蔬菜？

解析：設(shè)安排b名菜農(nóng)種甲種蔬菜，則安排（10-b）名菜農(nóng)種乙種蔬菜。

根據(jù)甲種蔬菜的收入+乙種蔬菜的收入≥15.6萬(wàn)元，建立如下不等式模型：3×0.5×b+2×0.8×（10-b）≥15.6，求解略。

對(duì)于這一類典型的決策型問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平，一般情況都會(huì)給出較明確的條件，只需挖掘問(wèn)題中隱含的數(shù)量關(guān)系，如本題中的“不低于15.6萬(wàn)元”“最多只能安排多少人種甲種蔬菜”，從而構(gòu)建不等式模型求解即可。對(duì)于實(shí)際情形，還存在很多的影響因素，例如：蔬菜在種植過(guò)程中的損耗，環(huán)境對(duì)其生長(zhǎng)的影響，自然災(zāi)害等。

3.構(gòu)建函數(shù)模型

例3某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺(tái)，為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施。調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出4臺(tái)。每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)最高？最高利潤(rùn)是多少？

解析：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元時(shí)，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)為y元。

根據(jù)降價(jià)以后的單件利潤(rùn)×每天的銷售數(shù)量=每天的總利潤(rùn)，建立如下函數(shù)關(guān)系式：y=（2400-x-2000）（8+x） ，即y=-x2+24x+3200.求解略。

此類二次函數(shù)模型比較常見(jiàn)，一般步驟就是根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解。如果得到的函數(shù)關(guān)系式是一次函數(shù)或反比例函數(shù)，通?？梢耘袛嗷蛑苯咏o出自變量的取值范圍，再求函數(shù)的最值。

4.構(gòu)建簡(jiǎn)單的幾何模型

中學(xué)階段常涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問(wèn)題，如航行、三角測(cè)量、邊角廢料加工、工程定位、拱橋計(jì)算等應(yīng)用問(wèn)題。常需要建立相應(yīng)的幾何模型，應(yīng)用幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化為幾何或三角形問(wèn)題求解。

例4足球賽中，一球員帶球沿直線逼近球門AB，他應(yīng)在什么地方起腳射門最為有利。

解析：這是幾何定位問(wèn)題，畫出示意圖，如圖所示，根據(jù)幾何知識(shí)，起腳射門的最佳位置P應(yīng)是直線l上對(duì)AB張角量大的點(diǎn)時(shí)進(jìn)球可能性最大。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線l上求一點(diǎn)P，使∠APB最大。由平面幾何知識(shí)知，過(guò)A，B兩點(diǎn)作圓與直線l相切，切點(diǎn)P即為所求。當(dāng)直線l垂直于線段AB時(shí)，易知P點(diǎn)離球門越近，起腳射門越有利?？梢?jiàn)，足球運(yùn)動(dòng)員也需要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)。

除了構(gòu)建以上的幾何模型外，直線上一點(diǎn)到同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小可以構(gòu)建三邊關(guān)系模型；測(cè)量問(wèn)題，可以建立解三角形模型；在復(fù)雜的幾何計(jì)算或證明中，有時(shí)還可以選擇構(gòu)建全等三角形模型、相似三角形模型、構(gòu)造圓的模型等。

5.建立概率統(tǒng)計(jì)模型

例5在一個(gè)不透明的紙箱里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球，它們除顏色外完全相同，其中紅球有2個(gè)，黃球有1個(gè)，藍(lán)球有1個(gè)?，F(xiàn)有一張電影票，小明和小亮決定通過(guò)摸球游戲定輸贏（贏的一方得電影票）。游戲規(guī)則是：兩人各摸1次球，先由小明從紙箱里隨機(jī)摸出1個(gè)球，記錄顏色后放回，將小球搖勻，再由小亮隨機(jī)摸出1個(gè)球。若兩人摸到的球顏色相同，則小明贏，否則小亮贏。這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎？

解析：利用列樹(shù)狀圖如下，

由上述樹(shù)狀圖知：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有16種。

P（小明贏）==，P（小亮贏）==.

∴此游戲?qū)﹄p方不公平，小亮贏的可能性大。

中學(xué)階段所研究的概率模型與實(shí)際模型相比是建模的初級(jí)階段，目的在于培養(yǎng)中學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和初步掌握用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法。在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)生活中，統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。而數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的研究得到很好的體現(xiàn)。

我們應(yīng)密切關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，密切結(jié)合課本，改變?cè)}，將知識(shí)重新分解組合、綜合拓廣，使之成為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予時(shí)代氣息的問(wèn)題，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、深刻性、廣闊性、創(chuàng)造性是大有益處的。