李柱元

近幾十年我國(guó)大中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的改革表明，加強(qiáng)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想和能力的培養(yǎng)是幫助學(xué)生培養(yǎng)解決問(wèn)題能力的一種非常有效的方式.它既是應(yīng)試教育的有力武器，也是素質(zhì)教育的有效模式，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想可謂一舉多得.

一、 數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的作用

1.提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 數(shù)學(xué)建模的第一步是訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括能力.學(xué)生需對(duì)問(wèn)題中的有效信息進(jìn)行抽象概括并用自己的語(yǔ)言重組后表達(dá)出來(lái)，這就鍛煉了學(xué)生的抽象概括能力；其次，數(shù)學(xué)建模能鍛煉學(xué)生的分析綜合能力、想象力和洞察力.

2.提高學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦能力和實(shí)踐能力. 學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，需要深挖教材、廣泛研究相關(guān)的教輔資料、利用電腦上網(wǎng)查詢相關(guān)的信息，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦能力和實(shí)踐技能.

3.提高學(xué)生的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)建模并非一成不變，它有不同的表現(xiàn)形式，解決同一問(wèn)題時(shí)，由于入手點(diǎn)不同，方法不同，最終建立的模式也不盡相同，在創(chuàng)建模式的過(guò)程中有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造力，有利于培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神.

4.培養(yǎng)學(xué)生溝通協(xié)調(diào)能力和團(tuán)隊(duì)合作精神. 在建模過(guò)程中，不同思路、不同方法的碰撞，需要學(xué)生闡明自己觀點(diǎn)的同時(shí)能與其他思想?yún)f(xié)調(diào)一致、共融共通，這就需要學(xué)生盡最大努力去與他人協(xié)調(diào)溝通，在溝通的過(guò)程中，相互補(bǔ)充、相互妥協(xié)；問(wèn)題的解決有時(shí)不可能憑一人之力，需要學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)中群策群力，這能很好地鍛煉學(xué)生的溝通協(xié)調(diào)能力和團(tuán)隊(duì)合作精神.

二、數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的應(yīng)用舉例

1.問(wèn)題提出

汽車司機(jī)在行駛過(guò)程中發(fā)現(xiàn)前方出現(xiàn)突發(fā)事件，會(huì)緊急剎車，人們把從司機(jī)決定剎車到車完全靜止這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的距離，稱為剎車距離.常識(shí)告訴我們，車速越快，剎車距離越長(zhǎng).那么，剎車距離與車速之間是正比例函數(shù)的關(guān)系，還是其他更復(fù)雜的關(guān)系？表1是一組車速和剎車距離的數(shù)據(jù)，請(qǐng)建立剎車距離和車速之間的數(shù)學(xué)模型.

（1）為了直觀起見(jiàn)，我們將車速v與剎車距離d的關(guān)系繪制在直角坐標(biāo)系內(nèi).由圖可以看出，車速和剎車距離并非呈正比例關(guān)系.下面從機(jī)理上分析研究.

（2）剎車距離由反應(yīng)距離（指司機(jī)決定剎車到制動(dòng)器開始起作用這段時(shí)間內(nèi)汽車行駛的距離）和制動(dòng)距離（從制動(dòng)器開始起作用到汽車完全停止所行駛的距離）兩部分組成.

（3）反應(yīng)距離由反應(yīng)時(shí)間和車速?zèng)Q定，反應(yīng)時(shí)間取決于司機(jī)個(gè)人狀況和制動(dòng)系統(tǒng)的靈活性等.對(duì)于固定牌子的汽車和同一類型的司機(jī)，反應(yīng)時(shí)間可以視為常數(shù)，并且在這段時(shí)間內(nèi)車速尚未改變.

（4）制動(dòng)距離與制動(dòng)器的作用力、行車速度、汽車自身重量以及天氣、路況等因素有關(guān).制動(dòng)器是一個(gè)能量耗散裝置，制動(dòng)力做的功被汽車動(dòng)能的改變所抵消.設(shè)計(jì)制動(dòng)器的一個(gè)合理原則是，最大制動(dòng)力大體上與車的質(zhì)量呈正比，使汽車大致做勻減速運(yùn)動(dòng)，司機(jī)和乘客少受距離的沖擊.而道路、氣候等因素對(duì)一般規(guī)則來(lái)說(shuō)只能看做是固定的.

3.模型假設(shè)

基于以上分析，做出下列假設(shè)： （1）剎車距離d等于反應(yīng)距離d1和制動(dòng)距離d2之和； （2）反應(yīng)距離d1與車速v呈正比，比例系數(shù)為反應(yīng)時(shí)間； （3）剎車時(shí)使用最大的制動(dòng)力F，F(xiàn)做的功等于汽車動(dòng)能的改變，且F與車的質(zhì)量m成正比.

4.模型建立與求解

由假設(shè)（2）有，d1=k1v，k1為反應(yīng)時(shí)間，這個(gè)數(shù)據(jù)可以從交警部門獲得. 由假設(shè)（3）知，在F作用下行駛距離d2做的功使車速?gòu)膙變成0，動(dòng)能的變化為12mv2，從而有Fd2=12mv2①.又F與m呈正比，按照牛頓第二定律可知，剎車時(shí)的加速度a為常數(shù)，可得F=ma ②，將②式代入①消去F和m可得d2=v22a，即d2=k2v2，k2=12a.于是得剎車距離d=k1v+k2v2，從而可以看出，剎車距離d和車速v呈二次函數(shù)關(guān)系.

通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程實(shí)例，讓學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)建模的基本思想，同時(shí)也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中充分參與數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣.

（責(zé)任編輯黃春香）