趙秀杰

題目：人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)課本第9頁(yè)例3.

[例3] 畫出函數(shù)y=-12（x+）2-1的圖像，指出它的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn).怎樣移動(dòng)拋物線y=-12x2就可以得到拋物線y=-12（x+1）2-1？

下面我將從審題分析、解題過程、總結(jié)提升、評(píng)價(jià)分析這四個(gè)方面逐一說明.

一、審題分析

（一）題目背景

1題材背景：本題出自人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)“26.1.3二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像”第3課時(shí)的例3.

2知識(shí)背景：本例題涉及的知識(shí)點(diǎn)有：①描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的步驟；②二次函數(shù)y=ax2、 y=ax2+k、 y=a（x-h）2的圖像、性質(zhì)及圖像間的相互關(guān)系.

3方法背景：根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)及知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，大膽猜想后畫圖驗(yàn)證，從函數(shù)對(duì)應(yīng)值表、圖像、解析式觀察拋物線的平移規(guī)律.

4思想背景：數(shù)形結(jié)合思想、平移變換思想、化歸思想、坐標(biāo)思想、從特殊到一般思想.

（二）學(xué)情分析

1學(xué)生特點(diǎn)：本題的教學(xué)對(duì)象是畢業(yè)班學(xué)生，他們的觀察能力有所發(fā)展，抽象邏輯思維開始占優(yōu)勢(shì)，具有從一定問題中抽象概括出一般規(guī)律的能力.

2估計(jì)學(xué)生會(huì)出現(xiàn)的困難：當(dāng)知識(shí)點(diǎn)單個(gè)呈現(xiàn)時(shí)，學(xué)生會(huì)較熟悉，易于掌握.但綜合在一起，學(xué)生就不容易理解、歸納概括出一般規(guī)律.

3策略：學(xué)生已掌握了利用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖像，能從圖像上認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì).本題的教學(xué)應(yīng)從分析教材的編寫意圖出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力.

（三）重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：在二次函數(shù)y=ax2及其圖像的基礎(chǔ)上，研究二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像及其與y=ax2圖像的關(guān)系.

難點(diǎn)：探索和發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的性質(zhì)及拋物線的平移規(guī)律.

突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：從“數(shù)”的角度，通過函數(shù)對(duì)應(yīng)值表，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線的平移規(guī)律.

（四）教材編寫意圖

研究函數(shù)的“三部曲”：定義、圖像、性質(zhì).結(jié)合圖像討論性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)的重要方法.本章從最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2開始逐步深入地討論一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì).這也突出體現(xiàn)了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求：教材內(nèi)容的編排和呈現(xiàn)要突出知識(shí)的形成與應(yīng)用過程.

以下是二次函數(shù)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系：

在這里我以兩條主線展開：函數(shù)的圖像、函數(shù)的性質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.（1）y=ax2，從形的角度看，a決定開口方向、大??；從數(shù)的角度看它的性質(zhì)：①開口方向；②對(duì)稱軸；③頂點(diǎn)坐標(biāo).（2）y=ax2+k，k決定上下平移的方向和距離，性質(zhì)還是這三條，因?yàn)樯舷缕揭?，所以頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)改變.（3）y=a（x-h）2，h決定左右平移的方向和距離，因?yàn)榘l(fā)生了左右平移，所以性質(zhì)中的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)都發(fā)生變化.本題是形如y=a（x-h）2+k，是前幾種情形的綜合，我們同樣從形的角度分析a、h、k的意義，從數(shù)的角度分析這三方面性質(zhì).而我們后面要討論的一般二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以通過配方轉(zhuǎn)化為y=a（x-h）2+k，體現(xiàn)了化歸思想，例3的解決也起到了承上啟下的作用.

二、解題過程

（一）知識(shí)回顧

1拋物線y=2x2-9的開口向，對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，它可以看做是由拋物線y=2x2向平移個(gè)單位得到的.

2.拋物線y=-（x-1）2是由拋物線向平移個(gè)單位得到的，平移后的拋物線對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)x=時(shí)，y有最值，其值是.

3若拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-3，且它與拋物線y=-2x2的形狀相同，開口方向相同，則拋物線所對(duì)應(yīng)的解析式是.

通過3道不同類型的練習(xí)，讓學(xué)生回顧幾種函數(shù)的圖像、性質(zhì)，為例3的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

（二）問題設(shè)計(jì)

本題要解決三個(gè)問題：①畫出函數(shù)圖像；②指出它的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)；③描述它的平移過程.有了前面的知識(shí)鋪墊，前兩個(gè)問題較容易解決.問題3是學(xué)生的難點(diǎn).類比y=ax2+k可由y=ax2上下平移得到，y=a（x-h）2可由y=ax2左右平移得到. 為此我設(shè)計(jì)兩個(gè)思考問題.

1.函數(shù)y=-12（x+1）2-1的圖像能否由函數(shù)y=-12（x+1）2的圖像通過上（下）平移而得到？

2.函數(shù)y=-12（x+1）2-1的圖像能否由函數(shù)y=-12x2-1的圖像通過左（右）平移而得到？

我估計(jì)學(xué)生的思考和猜想會(huì)很簡(jiǎn)單，他們會(huì)回答“可以”.但為什么可以？學(xué)生也是知其然，但不知其所以然.所以接下來應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)、形兩個(gè)角度闡述.

問題1：

x…-3-2-10123…y=-12（x+1）2-2-050-05-2-45-8y=-12（x+1）2-1-3-15-1-15-3-55-9我通過列表，并填充不同的顏色，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，從數(shù)的角度分析：當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同時(shí)，y=-12（x+1）2-1上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值總比y=-12（x+1）2上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值小1，說明圖像向下平移了1個(gè)單位.從形的角度分析，我通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，更直觀、形象地得到它是由上一個(gè)函數(shù)圖像向下平移一個(gè)單位得到.從而得出式子①，進(jìn)而抽象得出式子②.

x…-3-2-10123…y=-12x2-1-55-3-15-1-15-3-55y=-12（x+1）2-1-3-15-1-15-3-55-9我先從數(shù)的角度引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，標(biāo)注不同的顏色，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同顏色的數(shù)字有何關(guān)系.這樣直觀地教學(xué)，學(xué)生會(huì)較容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，橫坐標(biāo)總相差1.從而我們得出y=-12（x+1）2-1的圖像是由y=-12x2-1向左平移1個(gè)單位得到的. 再?gòu)男蔚慕嵌确治?，我通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，更直觀、形象地得到它是由上一個(gè)函數(shù)圖像向左平移一個(gè)單位得到. 從而得出式子③，進(jìn)而抽象得出式子④.

學(xué)生對(duì)于上下平移易于理解，左右平移易出錯(cuò).在這里我就很好地突破了這個(gè)難點(diǎn).使學(xué)生知其然，并知其所以然.

通過思考問題的解決，可以得出以下兩個(gè)結(jié)論，對(duì)學(xué)生解決例3中的第3個(gè)問題做了很好的鋪墊.

（三）解決問題

在學(xué)生解決問題后，教師展示規(guī)范的解法，讓學(xué)生注意列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖像時(shí)，要根據(jù)拋物線的對(duì)稱性取值，如可以先確定拋物線的對(duì)稱軸x=-1，再對(duì)稱取點(diǎn).最后演示拋物線的平移過程，讓學(xué)生更直觀、深刻地理解平移規(guī)律.

（四）觀察、歸納

由例3得出進(jìn)而抽象概括出以下式子：

在這里，左右平移的方向是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，可先確定對(duì)稱軸，令x-h=0，x=h，如令x+1=0，得拋物線的對(duì)稱軸x=-1，從而確定圖像是向左平移1個(gè)單位.

三、總結(jié)提升

（一）解題方法總結(jié)

分別從數(shù)的角度歸納二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的性質(zhì)，從形的角度歸納圖像的特點(diǎn)及平移規(guī)律.

（二）題目變式延伸

1.拋物線y=3（x-1）2-4可由拋物線y=3x2先向平移個(gè)單位，再向平移個(gè)單位得到.

2.二次函數(shù)y=-2x2向上平移5個(gè)單位得到，再向左平移4個(gè)單位得到， 根據(jù)最后得到的解析式，指出函數(shù)的性質(zhì).3.分小組編題訓(xùn)練：①已知平移后的解析式，說出它的平移過程；②已知平移過程，寫出平移后的函數(shù)解析式，并說出函數(shù)的性質(zhì).

圍繞教學(xué)重點(diǎn)，我做如下兩類變式：①已知平移后的解析式，說出它的平移過程； ②已知平移過程，寫出平移后的函數(shù)解析式，并說出函數(shù)的性質(zhì).同時(shí)，讓學(xué)生圍繞這兩種變式進(jìn)行分組編題訓(xùn)練，這樣在鞏固學(xué)生所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，學(xué)生思維的靈活性和深刻性也得到了提升.

四、評(píng)價(jià)分析

（一）教法設(shè)計(jì)

1注重形成平等的師生關(guān)系，體現(xiàn)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者.

2重視引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探究，獨(dú)立分析，主動(dòng)合作，讓學(xué)生在自主探索、合作交流中理解掌握知識(shí)技能，提高素質(zhì).

3能恰當(dāng)合理運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù).

（二）教學(xué)反思

1.本題對(duì)函數(shù)的研究我以兩條主線——圖像和性質(zhì)展開.從形的角度分析較直觀，但如何從數(shù)的角度分析函數(shù)的性質(zhì)是個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn).我通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖表，通過點(diǎn)的坐標(biāo)變化發(fā)現(xiàn)平移規(guī)律，很好地突破了難點(diǎn).

2.二次函數(shù)的教學(xué)是初中數(shù)學(xué)的重中之重，教學(xué)中我突出前后知識(shí)的緊密聯(lián)系，本題教學(xué)起著承上啟下的作用，它也是與高中坐標(biāo)平移內(nèi)容很好的銜接.

3.人民教育出版社主任，本教材的主編章建躍博士說，要教好數(shù)學(xué)，務(wù)必做到三個(gè)理解：“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”.準(zhǔn)確把握課標(biāo)要求，深入鉆研教材，了解教材的編寫意圖，理清知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程及其內(nèi)在聯(lián)系，是教好數(shù)學(xué)的重要前提.

注：此文榮獲“2012年南寧市首屆初中數(shù)學(xué)說題比賽”一等獎(jiǎng).（責(zé)任編輯黃春香）二、情境教學(xué)激發(fā)策略