王增良

對(duì)于數(shù)學(xué)問題的解決，教師常要求學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中，要做到仔細(xì)審題，弄清題意，擬定計(jì)劃，然后實(shí)現(xiàn)解題目的.教學(xué)中，要解決數(shù)學(xué)問題，學(xué)生往往被有效的問題分析、計(jì)劃制訂所困擾.如何讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中提高解題的有效性呢？本文對(duì)一類數(shù)學(xué)問題的解決，提出了對(duì)“問題”進(jìn)行再“問”的做法.

什么是對(duì)“問題”再“問”？就是指針對(duì)題目的問題中出現(xiàn)的概念或未知量進(jìn)行設(shè)問.通過對(duì)“問題”的再“問”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建問題，獲取“怎么再問”的技能，從而弄清問題的實(shí)質(zhì).筆者就“與垂線段有關(guān)的最值問題”一課為例，做了嘗試.

一、問題的設(shè)計(jì)及教學(xué)意圖

課始，我給出了一個(gè)填空形式的課題——“與有關(guān)的最值問題”，目的是讓學(xué)生懷著一種揣摩、期待的心境，激發(fā)學(xué)生求知的欲望.課中，我按讓學(xué)生通過自助選題→交流合作→師生互動(dòng)→給出結(jié)論這樣的教學(xué)流程進(jìn)行教學(xué).可是由于學(xué)生自助與合作過程的不理想，本人做了策略上的調(diào)整.

1問題引導(dǎo)，重現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)

[例1]如圖1，在Rt△ABC中，D是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，CB=6，CA=8，那么線段CD的長(zhǎng)最小值為.

圖1問題設(shè)計(jì)意圖：重溫幾何中“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”的知識(shí)點(diǎn)，能讓學(xué)生理解“垂線段最短”的道理.

2分層遞進(jìn)，深化知識(shí)點(diǎn)

變式1：如圖2，在Rt△ABC中， CB=6，CA=8，M為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，過M作MD⊥AC于D，過M作ME⊥CB于點(diǎn)E，則線段DE的最小值為（）.

圖2A42B2427

C5D48

學(xué)生進(jìn)入了思考，將近三分鐘，有一位學(xué)生給出了一個(gè)答案“當(dāng)矩形MDCE為正方形時(shí)，ED最短”，并解答.經(jīng)過大家的討論、師生的互動(dòng)，認(rèn)為該生的解答有誤.而其他學(xué)生也沒有其他的作答.學(xué)生的表現(xiàn)，出乎我的意料之外.

教師跟學(xué)生進(jìn)行了分析、交流，發(fā)現(xiàn)：由于本題中D、E是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，大家在思考時(shí)，著眼于從特殊位置這個(gè)角度去猜測(cè).故猜測(cè)DE是中位線或矩形MDCE為正方形時(shí)進(jìn)行解答.但這兩種特殊情形經(jīng)過分析都是不合題意的，這也讓學(xué)生明確了解題受阻的原因所在.于是，教師引導(dǎo)大家作出了一個(gè)再問“問題”的解題指導(dǎo).

提問：DE在本題中的本質(zhì)特征是什么？（學(xué)生很快就回答出了“是對(duì)角線”）

接問：那么DE和什么相等？（學(xué)生答是CM，馬上下面就有學(xué)生叫出了答案）

問題設(shè)計(jì)意圖：本題意在通過DE向CM的轉(zhuǎn)化，對(duì)問題做一個(gè)簡(jiǎn)單變換，達(dá)到知識(shí)的深化.原來以為大多數(shù)學(xué)生能做出來，卻沒想到學(xué)生思維受阻，解題不理想，也讓我突發(fā)了這個(gè)再問“問題”的教學(xué)指導(dǎo).

變式2：如圖3，在△ABC中，AB=10，AC=8， BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB、CA，分別相交于點(diǎn)E、F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是.

圖3學(xué)生經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的思考、交流，也沒有想出具體的解題方法.于是教師同樣提出了再問“問題”的啟發(fā)指導(dǎo).

提問：EF在題目中，根據(jù)圖形的特征是什么？（學(xué)生思考不久就說出了“是圓的直徑”）.

接問：那么直徑EF與經(jīng)過點(diǎn)C與相切于點(diǎn)D，有什么關(guān)系呢？

再問：設(shè)圓心為O，與切點(diǎn)相關(guān)的常見的輔助線是什么？（學(xué)生回答連接OD，同時(shí)學(xué)生把OC也連接了）

很快有學(xué)生發(fā)現(xiàn)EF就是OC+OD，馬上有學(xué)生叫出來：OC、OD共線，即CD⊥AB時(shí)最短.

問題設(shè)計(jì)意圖：通過交流思考，一方面進(jìn)一步深化知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用這一性質(zhì)把折線最短轉(zhuǎn)化為垂線段最短問題來解決；另一方面通過解題方法的引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷并領(lǐng)會(huì)對(duì)問題進(jìn)行再“問”的思考過程及轉(zhuǎn)化方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和轉(zhuǎn)化能力.

3方法嘗試，拓展知識(shí)點(diǎn)

經(jīng)學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生分析解題過程.

提問：根據(jù)圖形特征EF在本題中是什么？（學(xué)生自答是弦）

圖4接問：圓中的弦長(zhǎng)通常怎么計(jì)算？（學(xué)生答作弦心距，構(gòu)建直角三角形）

如圖5，過O點(diǎn)作OH⊥EF于H，則在Rt△OEH中，∠EOF=60°.

學(xué)生得出了只要HE最短即可.

圖5再問：要使HE最短，則需什么最短？（學(xué)生答OE最短，也即直徑最短，即AD最短即可）

問題設(shè)計(jì)意圖：通過這種對(duì)問題再“問”的嘗試，引導(dǎo)學(xué)生從問題入手，對(duì)問題進(jìn)行較為直觀的、可操作的轉(zhuǎn)化，避免那種沒頭緒、耗時(shí)間、無(wú)為的思考，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的意識(shí)和能力.

二、對(duì)問題再“問”教學(xué)的思考

1對(duì)問題再“問”，是進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化的核心思想

以上幾個(gè)案例，實(shí)際上都是通過轉(zhuǎn)化思想，把看似有難度的問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生已經(jīng)認(rèn)知的問題或結(jié)論.但僅僅從轉(zhuǎn)化這個(gè)角度來引導(dǎo)學(xué)生解題，切入口有點(diǎn)寬泛，沒有針對(duì)性，難找到合理且容易入手的轉(zhuǎn)化辦法.前面學(xué)生在解決問題中表現(xiàn)出來的困難，實(shí)際上就是學(xué)生缺乏對(duì)問題有效轉(zhuǎn)化的思想意識(shí)和操作能力.通過對(duì)問題再“問”的處理，有效地解決了學(xué)生入手解題的難點(diǎn)，讓學(xué)生恍然大悟或有頓悟之感.對(duì)于上述問題解決的再問過程，并不僅僅是簡(jiǎn)單的再問，而是通過再問的形式，創(chuàng)設(shè)一定的情境，讓學(xué)生主動(dòng)地形成有價(jià)值的問題，從而進(jìn)行直接或間接的可接受的轉(zhuǎn)化，達(dá)到問題解決的目的.從這個(gè)意義上來說，再“問”是解決問題進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化的核心.

2對(duì)問題再“問”，是解決某些問題的關(guān)鍵所在

分析上面幾個(gè)案例，我們僅僅停留在對(duì)問題中包含的概念未知量等一些要素的再“問”上.再“問”的系列問題提出，也是比較合理的，相互之間的遞進(jìn)也比較明確，但很多數(shù)學(xué)問題的再“問”卻是需要擬定一些復(fù)雜的計(jì)劃，當(dāng)然這里有它的創(chuàng)造性和必然性.

[例2]如圖6，已知邊長(zhǎng)為a的正△ABC，兩頂點(diǎn) A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，聯(lián)結(jié)OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是.

經(jīng)過這樣的再“問”，解決問題也就順理成章了.但這種再“問”，需要有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題意識(shí)，是一種創(chuàng)造性的發(fā)問.當(dāng)然探索一般問題，從特殊入手，也是它的必然性.在這里關(guān)鍵是如何再“問”.

3對(duì)問題再“問”，是培養(yǎng)問題意識(shí)的重要途徑

波利亞在他的《數(shù)學(xué)解題表》里有這樣的描述：如果你不能解決提出的問題，可先解決一些有關(guān)的問題，你能否想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)的問題？一個(gè)更普遍的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類比的問題……對(duì)問題再“問”，就是要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，讓學(xué)生能在不斷的自問、再問中，弄清“問什么”和“怎么問”，來提高對(duì)問題的認(rèn)識(shí).對(duì)問題再“問”，就是要讓學(xué)生養(yǎng)成一種習(xí)慣，逐漸形成高水平的、有指導(dǎo)性的、富于探究性的“問”.因此，教師要善于將本質(zhì)的數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)成一系列的層層遞進(jìn)的各個(gè)問題，從而揭示問題解題中的思維過程和思維方法，有效提高學(xué)生的解題能力.

（責(zé)任編輯黃春香）