陳愛明
【關(guān)鍵詞】《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》 教學(xué)思考 課堂實錄
【中圖分類號】G 【文獻標(biāo)識碼】A
【文章編號】0450-9889(2013)09A-0060-02
“數(shù)學(xué)思考”即在面臨各種問題情境,特別是非數(shù)學(xué)情境時,能夠從數(shù)學(xué)的角度思考問題,發(fā)現(xiàn)其中所隱含的數(shù)學(xué)現(xiàn)象,并運用數(shù)學(xué)的知識與方法去解決問題。
《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011年版)在課程總體目標(biāo)中明確指出:“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),學(xué)生能夠初步學(xué)會運用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會,去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題,增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”,并把“數(shù)學(xué)思考”作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大目標(biāo)之一。
如何使學(xué)生更多地接觸生活中的數(shù)學(xué),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力?下面以兩位教師教學(xué)《最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)》的課堂實錄對比案例來談?wù)勅绾位钣媒滩妮d體,引發(fā)數(shù)學(xué)思考,提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。
[課堂實錄一]
出示題目:用長3厘米、寬2厘米的長方形小紙片若干分別鋪在邊長為6厘米和邊長為8厘米的兩個正方形上,正好可以鋪滿哪個正方形?
(生小組合作擺一擺)
師:在邊長是6厘米的正方形中,你用小長方形的長邊擺了幾次,用寬邊擺了幾次呢?你是怎樣列式的?
生:6÷2=3(次);6÷3=2(次)。
師:邊長為8厘米的正方形你是怎么擺的?
生:8÷3=2(次)…2(厘米);8÷2=4(次)。
師:大家想一想,這樣的長方形紙片還能鋪滿邊長是多少厘米的正方形?
生小組討論得出結(jié)論:能正好鋪滿邊長12厘米、18厘米、24厘米的正方形。
師:對,能正好鋪滿的正方形的邊長應(yīng)既是2的倍數(shù),又是3的倍數(shù)。像6、12、18、24……既是2的倍數(shù),又是3的倍數(shù)的數(shù)就是2和3的公倍數(shù)。
(揭示課題:公倍數(shù))
師:下面我們來學(xué)習(xí)求4和6的公倍數(shù)的方法……
[課堂實錄二]
出示題目:用長3厘米、寬2厘米的長方形小紙片若干分別鋪在邊長為6厘米和邊長為8厘米的兩個正方形上,正好可以鋪滿哪個正方形?
(生小組合作擺一擺)
師:在操作時,對所選正方形的邊長,要考慮滿足什么條件?
生:先用小長方形的長邊來擺,3厘米3厘米地擺,要正好且沒有剩余;再用寬邊來擺,2厘米2厘米地擺,也要正好而且沒有剩余。
師:你能用算式來驗證你的想法嗎?
生:8÷2=4,8÷3=2…2;用長邊來擺時能擺2次,但還余2厘米。
生:6÷3=2,6÷2=3;用長邊和寬邊來擺都正好擺完且沒有余數(shù)。
師:對,用長邊3厘米來擺或用寬邊2厘米來擺,都正好擺滿且沒有余數(shù),那么,這個正方形的邊長與3和2有什么關(guān)系?
生:這個邊長正好能被3或2整除,沒有余數(shù)。也就是說這個正方形的邊長是3的倍數(shù),同時也是2的倍數(shù)。
師:同學(xué)們說得很對??偨Y(jié)概括一下,在什么情況下若干個小長方形正好能擺滿一個大正方形?
生:當(dāng)大正方形的邊長既是小長方形長的倍數(shù),也是寬的倍數(shù)時,小長方形正好能擺滿大正方形。
師:這樣的小長方形紙片還能正好鋪滿邊長是多少厘米的正方形呢?
(生小組討論)
生:要滿足大正方形的邊長既是小長方形長的倍數(shù),又是寬的倍數(shù)時,我們小組討論得出結(jié)論:這樣的小長方形紙片可以鋪滿邊長是12厘米、18厘米、24厘米……的正方形。
師:說得真好。誰能重復(fù),必須滿足什么條件?
師:這里的6、12、18、24既是2的倍數(shù),又是3的倍數(shù),我們就說它們是2和3的公倍數(shù)。(指著邊長6厘米的正方形)這個正方形的邊長6就是小長方形長3和寬2的公倍數(shù),這時這個正方形就能被小長方形擺滿。誰能說說邊長12厘米、18厘米的正方形呢?
師:誰能用簡潔的語句總結(jié)一下,在滿足什么條件時,大正方形能被小長方形擺滿?
生:大正方形的邊長是小長方形長和寬的公倍數(shù)時能被小長方形擺滿。
師:下面兩道題,請大家一起解答:
(1)公交車站上4路車每5分鐘發(fā)一輛,10路車每8分鐘發(fā)一輛,首次同時發(fā)車后,再過幾分鐘這兩路車同時發(fā)車?
(2)王叔叔沿著路邊栽樹,每隔3米栽一棵,后來王大爺說樹間距太小,最好是4米栽一棵。請問,王叔叔在哪些地方的樹不需要重栽?
……
[反思]
從上面兩例可以看出,實錄一中教者組織的小組合作、現(xiàn)象探究等活動都僅僅是為引出公倍數(shù)這一概念,為教例題而教。而實錄二中教者更注重引導(dǎo)學(xué)生觀察操作過程與得出結(jié)論之間的因果關(guān)系,從而做出較為理性的更深層次的思考。這不僅僅是把例題當(dāng)作引出倍數(shù)的概念的載體,而且讓學(xué)生在新知學(xué)習(xí)的同時進行著“數(shù)學(xué)思考”能力的訓(xùn)練。
1數(shù)學(xué)思考因“質(zhì)”對話向縱深掘進
學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個求“真”、務(wù)“實”、尋“根”、探“源”的過程,不能“蜻蜓點水”“淺嘗輒止”,必須通過一定的積累與訓(xùn)練,才能完成對知識和技能的建構(gòu)。
實錄二中教者對學(xué)生操作結(jié)果沒有簡單處理,而是通過多個問題引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考:“對所選正方形的這個邊長,要考慮滿足什么條件?”“都正好擺滿而沒有余數(shù),那么,這個邊長與3和2有什么關(guān)系?”“在什么情況下若干個小長方形正好能擺滿一個大正方形?”“誰能用簡潔的語句總結(jié)一下,滿足什么條件時,大正方形能被小長方形擺滿?”這樣的問題引導(dǎo)使學(xué)生產(chǎn)生了數(shù)學(xué)思考、探究事物本質(zhì)的欲望。從而最終得出“當(dāng)大正方形的邊長是小長方形的長和寬的公倍數(shù)時正好能被小長方形鋪滿”這一實質(zhì)性的結(jié)論。這樣的數(shù)學(xué)教學(xué),因為有“質(zhì)”的對話,使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思考有了一定的深度,更利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的形成。
2數(shù)學(xué)思考因語言訓(xùn)練而有效蓄積
學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力不會憑空而就,必須借助語言的外殼。有了語言,數(shù)學(xué)思考才能得到表達與體現(xiàn),通過語言可以看出思維的有序、邏輯、深度、廣度等。而在新課程改革實踐中,一些教師為了讓學(xué)生主動探索得出新知,重視過程而忽視了語言的訓(xùn)練,學(xué)生思維的表達或無章可循,或斷斷續(xù)續(xù),毫無邏輯可言。實錄一中教師急于引出公倍數(shù)概念,語言表達的訓(xùn)練淺顯無力,無助于數(shù)學(xué)思考的形成。而實錄二中,教師不止步于學(xué)生得出“正方形的邊長除以長方形的長和寬都沒有余數(shù)”的淺層結(jié)論,而是進一步引導(dǎo)出“整除”“倍數(shù)”“公倍數(shù)”;不滿足于“正方形的邊長既是小長方形長的倍數(shù),又是小長方形寬的倍數(shù)”的描述,而是層層遞進,最后概括出“正方形的邊長是小長方形的長和寬的公倍數(shù)”。因而,教師對學(xué)生進行語言訓(xùn)練需注意由淺入深、由易到難、由簡到繁,訓(xùn)練到位,方能利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的數(shù)學(xué)表達和數(shù)學(xué)思考的能力。
語言是數(shù)學(xué)思考的“外在工具”,用好了這個工具能有效地“蓄積”學(xué)生數(shù)學(xué)思考的“內(nèi)在核能”,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考得以更充分地發(fā)展。
3數(shù)學(xué)思考因活動而得以實現(xiàn)
作為課程目標(biāo)之一的“數(shù)學(xué)思考”對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和能力發(fā)展有著重要的意義,它蘊藏于知識與技能形成、問題解決的過程之中,不可孤立進行強化訓(xùn)練,更不可脫離生活實際而憑空講解。實錄二中教者在學(xué)生得出結(jié)論后并沒有急于進入“求兩個數(shù)的公倍數(shù)”環(huán)節(jié),而是讓數(shù)學(xué)思考順勢進行拓展延伸。
學(xué)生的數(shù)學(xué)思考應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,要在數(shù)學(xué)活動中實現(xiàn)。在新課程背景下,數(shù)學(xué)教師更要吃透教材的編排意圖,利用教材創(chuàng)設(shè)的情境,充分挖掘可利用的因素,為學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的發(fā)展帶來源源不斷的有利因素。
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的終極目標(biāo),絕不是讓學(xué)生成為知識的容器,而是要讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗和享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。教師要不斷地為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考帶來機會,創(chuàng)造可能,為學(xué)生學(xué)習(xí)能力提升營造更廣闊的空間。
(責(zé)編 楊 春)