陳麗敏，景 敏，Verschaffel Lieven ，Van Dooren Wim

（1．沈陽師范大學(xué) 教師專業(yè)發(fā)展學(xué)院，遼寧 沈陽 110034；2．魯汶大學(xué) 教學(xué)心理與技術(shù)研究中心，比利時(shí) 3000）

1 研究背景

近幾年來，數(shù)學(xué)問題提出日益受到學(xué)者們的重視，它被視為數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，甚至是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的中心[1～3]．例如，中國2011年數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在問題解決的課程目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生要“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題”[4]．?dāng)?shù)學(xué)問題提出的重要性在2000年美國數(shù)學(xué)課程與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中也有所提及[5]．

鑒于數(shù)學(xué)問題提出在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的重要作用，學(xué)者們開展了一系列關(guān)于數(shù)學(xué)問題提出的相關(guān)研究．例如，數(shù)學(xué)問題提出能力水平的調(diào)查研究表明，中國中小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力還有待于提高[6～7]．?dāng)?shù)學(xué)問題提出能力和數(shù)學(xué)問題解決能力關(guān)系的調(diào)查研究，揭示了學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力和數(shù)學(xué)問題解決能力之間存在較高的相關(guān)性[8～10]．?dāng)?shù)學(xué)問題提出能力評價(jià)的研究認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力可以從提出數(shù)學(xué)問題的流暢性、變通性和創(chuàng)新性3個(gè)方面進(jìn)行評價(jià)[11～21]．但是，學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的評價(jià)，從數(shù)學(xué)問題的流暢性、變通性和創(chuàng)新性3個(gè)方面是不全面的，既然數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜程度也代表了一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力的高低，因此學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性也應(yīng)是其數(shù)學(xué)問題提出能力高低的一個(gè)評價(jià)方面．同時(shí)，對于數(shù)學(xué)問題提出能力和數(shù)學(xué)問題提出觀念之間關(guān)系的研究還存在一定的空白．學(xué)者Philippou和Nicolaou對于數(shù)學(xué)問題提出能力和觀念之間關(guān)系的研究提供了一些啟示[22]．他們調(diào)查了塞浦路斯五年級和六年級小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力和自我效能觀念之間的關(guān)系．結(jié)果表明塞浦路斯小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力和自我效能觀念之間存在一定的相關(guān)性．但是該研究僅僅調(diào)查了學(xué)生的自我效能觀念與數(shù)學(xué)問題提出能力之間的關(guān)系，沒有涉及學(xué)生其它的問題提出觀念．例如，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題提出的重要性的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)問題提出的興趣，以及對數(shù)學(xué)問題提出的教學(xué)形式的認(rèn)識．同時(shí)，數(shù)學(xué)問題提出能力是否能夠被有效測量，將直接影響研究者深入探索數(shù)學(xué)問題提出能力和觀念之間的關(guān)系．因此，該研究將首先界定數(shù)學(xué)問題提出和數(shù)學(xué)問題提出觀念的概念，并構(gòu)建了一套數(shù)學(xué)問題提出的評價(jià)體系．在此基礎(chǔ)上，該研究調(diào)查了沈陽市小學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力和觀念的情況，以及二者之間的關(guān)系．

2 相關(guān)概念的界定

數(shù)學(xué)問題提出是指，新數(shù)學(xué)問題的提出和已有數(shù)學(xué)問題的重新闡釋，它可以發(fā)生于數(shù)學(xué)問題解決之前、之中和之后[2]．學(xué)生在數(shù)學(xué)問題提出的過程中經(jīng)歷信息的理解，信息的轉(zhuǎn)換，信息的編輯，信息的選擇 4種心理過程[23]．信息的理解發(fā)生在學(xué)生根據(jù)一些數(shù)學(xué)表達(dá)式提出數(shù)學(xué)問題的過程之中．信息的轉(zhuǎn)換發(fā)生在學(xué)生根據(jù)一些數(shù)學(xué)圖片和表格提出數(shù)學(xué)問題的過程中；信息的編輯發(fā)生在沒有限制條件下，學(xué)生根據(jù)一些數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)故事提出數(shù)學(xué)問題的過程中；信息的選擇發(fā)生在學(xué)生根據(jù)某一個(gè)答案提出數(shù)學(xué)問題的過程中．觀念是個(gè)體所持有的主觀認(rèn)識和理論，它包含所有個(gè)體認(rèn)為是正確的，但是卻不能提供令人信服的證據(jù)的認(rèn)識[24]．在觀念概念的基礎(chǔ)上，研究者認(rèn)為數(shù)學(xué)問題提出的觀念是指學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題提出的重要性、興趣，以及數(shù)學(xué)問題提出學(xué)習(xí)過程中的信心等的主觀認(rèn)識與態(tài)度．

3 研究方法

3.1 樣 本

調(diào)查了沈陽新民市69個(gè)五年級小學(xué)生和朝陽北票市48個(gè)五年級小學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力和數(shù)學(xué)問題提出觀念的情況．根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，學(xué)生測試前已經(jīng)學(xué)習(xí)了因數(shù)與倍數(shù)、平行四邊形、三角形面積、梯形的面積、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，以及分?jǐn)?shù)的加減法等相關(guān)知識．另外，由于參與調(diào)查的學(xué)生所使用的數(shù)學(xué)教材存在少數(shù)的數(shù)學(xué)問題提出的情境，所以學(xué)生對數(shù)學(xué)問題提出有一定的了解．

3.2 測試過程

為了避免部分學(xué)生對數(shù)學(xué)問題提出仍然不清楚，測試前，研究者先講解一個(gè)數(shù)學(xué)問題提出的例題：“服裝店中，一件上衣的價(jià)格是60元，一雙鞋的價(jià)格是82元，根據(jù)已知條件提出數(shù)學(xué)問題．”如果學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的時(shí)候存在困難，調(diào)查者可以給出一個(gè)例子：一件上衣和一雙鞋一共多少元？之后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)該情境提出其它的數(shù)學(xué)問題．例題講解之后，研究者強(qiáng)調(diào)這次測試不是一次真正的考試，其目的是了解他們的數(shù)學(xué)問題提出能力水平，因此考試的時(shí)候不要緊張．在測試的過程中，如果學(xué)生對題意等不是很理解，教師可以給予必要的提示．?dāng)?shù)學(xué)問題提出測試結(jié)束后實(shí)施數(shù)學(xué)問題提出觀念的測試，兩個(gè)測試一共用時(shí)約50分鐘．

3.3 測試工具

數(shù)學(xué)問題提出能力測試包括 6個(gè)算術(shù)領(lǐng)域的問題提出測試題【測試題2對學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的解決策略的運(yùn)算類型加以限制的目的是考察學(xué)生在數(shù)學(xué)問題提出過程中對信息理解的能力】．從問題提出情境的表征方式來看，有圖片、答案、算式、語言描述和表格等．例如，編寫兩個(gè)應(yīng)用題，使其計(jì)算方法（列式）都為1.6×8．?dāng)?shù)學(xué)問題提出觀念問卷包括20個(gè)五點(diǎn)李克特觀念問題，涉及學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題提出的重要性，數(shù)學(xué)問題提出學(xué)習(xí)過程中的信心，以及對于數(shù)學(xué)問題提出的興趣等．這20個(gè)觀念問題從設(shè)計(jì)方式上分為10個(gè)正向問題和10個(gè)反向問題．例如，“盡管我很努力地學(xué)習(xí)，但是我在提出數(shù)學(xué)問題的時(shí)候還是總遇到困難”為反向問題；“我認(rèn)為能夠從提出數(shù)學(xué)問題的過程中學(xué)到很多”為正向問題．?dāng)?shù)學(xué)問題提出能力測試和數(shù)學(xué)問題提出觀念問卷見附錄一和附錄二．

3.4 評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)問題提出測試從流暢性、變通性、新穎性和復(fù)雜性4個(gè)維度評價(jià)．流暢性指提出正確數(shù)學(xué)問題的個(gè)數(shù)【評價(jià)一個(gè)數(shù)學(xué)問題是否為正確的數(shù)學(xué)問題，首先，評價(jià)所提出的數(shù)學(xué)問題是否滿足題意的要求．其次，評價(jià)所提出的數(shù)學(xué)問題是否為一個(gè)可解的數(shù)學(xué)問題（一個(gè)數(shù)學(xué)問題不可解是指這個(gè)數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)信息不充分或者和已知條件相矛盾）．最后，評價(jià)所提出的數(shù)學(xué)問題是否符合生活實(shí)際】．對于某一個(gè)測試題，學(xué)生提出一個(gè)正確的數(shù)學(xué)問題，則得1分，否則得0分．變通性指學(xué)生根據(jù)某一個(gè)問題提出情境提出的兩個(gè)數(shù)學(xué)問題的類型的變化程度，如果兩個(gè)數(shù)學(xué)問題都錯(cuò)誤，或者其中一個(gè)錯(cuò)誤，或者兩個(gè)數(shù)學(xué)問題都正確且屬于同一個(gè)類型，都得0分，如果兩個(gè)數(shù)學(xué)問題都正確且不屬于同一個(gè)類型，則得1分．?dāng)?shù)學(xué)問題的類型根據(jù)該數(shù)學(xué)問題的總的語義類型來確定．加減法的語義類型分為變化、合并和比較3種類型，乘除法的語義類型分為等量組的聚集、倍數(shù)、矩形和組合[25]．例如，測試題1中，一個(gè)學(xué)生提出兩個(gè)數(shù)學(xué)問題，“小明帶了100元，買了2條圍巾和1雙手套，剩多少元？”和“買2副手套和1條圍巾共多少元？”，前一個(gè)數(shù)學(xué)問題的語義類型為變化，后一個(gè)數(shù)學(xué)問題的語義類型為合并，所以該生測試題1的變通性維度得1分．新穎性是指學(xué)生所提出的數(shù)學(xué)問題比較有新意，具體的評價(jià)方法是如果提出的某一類正確的數(shù)學(xué)問題的個(gè)數(shù)占所有提出的正確數(shù)學(xué)問題的個(gè)數(shù)的百分比小于10%，那么這類數(shù)學(xué)問題就被評價(jià)為新穎性的數(shù)學(xué)問題．該維度中，數(shù)學(xué)問題類型的劃分方法與變通性維度中數(shù)學(xué)問題類型的劃分方法相同．學(xué)生提出一個(gè)新穎性的數(shù)學(xué)問題，則得1分，非新穎性的數(shù)學(xué)問題或者不正確的數(shù)學(xué)問題為0分．例如，測試題5中，提出的數(shù)學(xué)問題“第四天的正方形是第二天的正方形個(gè)數(shù)的幾倍？”被評價(jià)為新穎性的數(shù)學(xué)問題，得1分．復(fù)雜性是指學(xué)生提出的正確的數(shù)學(xué)問題所包含的語義類型的個(gè)數(shù)．某一個(gè)測試題中，學(xué)生提出的兩個(gè)數(shù)學(xué)問題中至少有一個(gè)數(shù)學(xué)問題包含兩種語義類型，則得1分，至少有一個(gè)包含3種及以上語義類型的數(shù)學(xué)問題，則得2分，其余為0分（兩個(gè)問題中至少一個(gè)問題錯(cuò)誤或者兩個(gè)數(shù)學(xué)問題都正確，但是每個(gè)問題僅僅包含一個(gè)語義結(jié)構(gòu)）．例如，測試題6中，一個(gè)學(xué)生提出兩個(gè)數(shù)學(xué)問題“一共有多少個(gè)動(dòng)物？”和“草地上有5只母雞和8頭牛，草地上一共有多少條腿？”，第二個(gè)數(shù)學(xué)問題包括合并和等量組的聚集兩種語義結(jié)構(gòu)，該生測試題6的復(fù)雜性維度得1分．?dāng)?shù)學(xué)問題提出能力測試4個(gè)維度的分?jǐn)?shù)重復(fù)累計(jì)，流暢性和創(chuàng)新性維度的總分各是12分，變通性維度總分是6分，復(fù)雜性維度總分是10分【測試題2要求學(xué)生根據(jù)指定的算式編寫數(shù)學(xué)問題，因此，評價(jià)學(xué)生根據(jù)該問題情境提出的數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性是沒有意義的】，所以數(shù)學(xué)問題提出能力測試的最低分為0分，最高分為40分．

數(shù)學(xué)問題提出觀念問卷中，反向問題反向記分．例如，對于問題“盡管我很努力地學(xué)習(xí)，但是我在提出數(shù)學(xué)問題的時(shí)候還是總遇到困難”，選項(xiàng)“非常不同意”記5分，選項(xiàng)“不同意”記4分，選項(xiàng)“不知道”記3分，選項(xiàng)“同意”記2分，選項(xiàng)“非常同意”記1分．正向問題正向計(jì)分．例如，對于問題“我能夠正確地評價(jià)提出的某一個(gè)數(shù)學(xué)問題是否正確”，選項(xiàng)“非常不同意”記1分，選項(xiàng)“不同意”記2分，選項(xiàng)“不知道”記3分，選項(xiàng)“同意”記4分，選項(xiàng)“非常同意”記5分．?dāng)?shù)學(xué)問題提出觀念問卷的最低分為20分，最高分為100分．

4 研究結(jié)果

4.1 數(shù)學(xué)問題提出能力的結(jié)果

從測試總體情況來看，大部分學(xué)生能夠提出正確的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題提出能力測試的 4個(gè)維度得分率情況分別為，流暢性：87.5%，變通性：45.7%，創(chuàng)新性：12.3%，復(fù)雜性：20.3%．可見，在問題提出的流暢性維度上，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出的分?jǐn)?shù)還是較高的．但是，也不乏一些學(xué)生提出不符合要求的數(shù)學(xué)問題，例如，在測試題2中，根據(jù)問題的要求，學(xué)生需要提出應(yīng)用題，而有的學(xué)生卻提出文字表述題，如：“8個(gè)1.6的和是多少？”在測試題4中，根據(jù)問題的要求，學(xué)生需要提出用乘法或除法解決（可以包含加法或減法）的應(yīng)用題，而有的學(xué)生卻提出：“小明存250元，小麗存300元，小明比小麗少多少？”在測試題5中，學(xué)生需要根據(jù)情境中隱含的規(guī)律提出問題，但有的學(xué)生卻提出：“第四天，他用23根火柴搭了幾個(gè)正方形？”顯然這個(gè)數(shù)學(xué)問題不符合題中隱含的規(guī)律；在測試題6中，有的學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題：“一只母雞一天下10個(gè)蛋，那么5只母雞一個(gè)月30天下多少個(gè)蛋？”可見提出的數(shù)學(xué)問題不符合生活實(shí)際．

與數(shù)學(xué)問題提出的流暢性維度相比，學(xué)生在數(shù)學(xué)問題提出能力的創(chuàng)新性和復(fù)雜性維度上的表現(xiàn)不容樂觀．學(xué)生傾向于提出和課本類似的、練習(xí)中常見的、簡單的數(shù)學(xué)問題．例如，對于測試題1，類似于“買2雙鞋和1副手套共需多少錢？”的合并問題為36%；類似于“2副手套花多少錢？”的等量組聚集問題為26%．

4.2 數(shù)學(xué)問題提出觀念的結(jié)果

從數(shù)學(xué)問題提出觀念問卷來看，部分學(xué)生對數(shù)學(xué)問題提出的觀念不容樂觀．例如，對于觀念問題4“盡管我很努力地學(xué)習(xí)，但是我在提出數(shù)學(xué)問題的時(shí)候還是總遇到困難”中，有38%的學(xué)生選擇同意或者非常同意，表明很大一部分學(xué)生對學(xué)好數(shù)學(xué)問題提出缺乏一定的信心．對于問題 19“我愿意提出和課本上類似的數(shù)學(xué)問題”，高達(dá)62%的學(xué)生選擇了同意或非常同意，這可能是學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的創(chuàng)新性較差的一個(gè)原因．但是，學(xué)生很喜歡數(shù)學(xué)問題提出的活動(dòng)．例如，對于觀念問題 15“如果數(shù)學(xué)課堂能夠給學(xué)生提供更多的數(shù)學(xué)問題提出活動(dòng)，那么數(shù)學(xué)課堂就會(huì)變得更加有趣”，90%的學(xué)生選擇了同意或者非常同意．

4.3 數(shù)學(xué)問題提出能力和觀念之間的關(guān)系

皮爾遜相關(guān)分析表明，首先，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力和觀念在0.05的顯著性水平上正相關(guān)（ρ=0.21，P=0.02）；學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力的創(chuàng)新性與數(shù)學(xué)問題提出觀念在0.05的顯著性水平上正相關(guān)（ρ=0.27，P=0.00）．其次，對于數(shù)學(xué)問題提出的 4個(gè)評價(jià)維度，創(chuàng)新性分別和變通性（ρ=0.29，P=0.00）和復(fù)雜性（ρ=0.40，P=0.00）在 0.05的顯著性水平上正相關(guān)【研究中只計(jì)算了數(shù)學(xué)問題提出的變通性，復(fù)雜性和創(chuàng)新性之間的相關(guān)性，而沒有把正確性包含在內(nèi)，因?yàn)樽兺ㄐ?、?fù)雜性和創(chuàng)新性3個(gè)維度是以正確性為基礎(chǔ)的，即，只有正確的數(shù)學(xué)問題才能評價(jià)其變通性、復(fù)雜性和創(chuàng)新性】．最后，學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出觀念能夠從很大程度上預(yù)測他們的數(shù)學(xué)問題提出能力（R=0.21，F(xiàn)=5.47，p=0.02）．

5 討 論

通過該研究，可以得出，學(xué)生傾向于提出一些常規(guī)性的，熟悉的數(shù)學(xué)問題，而不擅長提出創(chuàng)新性、復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問題．因此，在日常教學(xué)活動(dòng)過程中，需要教師把培養(yǎng)問題提出能力作為一個(gè)重要的教學(xué)目標(biāo)，落實(shí)在各學(xué)段的課堂教學(xué)之中．

首先，教師不僅要提供豐富多彩的數(shù)學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的欲望，鼓勵(lì)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題，同時(shí)也要教給學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的一些方法，在學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的過程中給予一些幫助．例如，在學(xué)生提不出數(shù)學(xué)問題的時(shí)候給學(xué)生提供一些例子，在學(xué)生總是提出類似的數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，提供學(xué)生從另外的角度提問的例子，鼓勵(lì)學(xué)生對提出的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行評價(jià)與反思．此外，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，僅僅依靠課堂教學(xué)來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出能力的提高是不夠的．還需要借助于各類考試對數(shù)學(xué)教學(xué)的影響作用，即在考試中增加一些數(shù)學(xué)問題提出的測試題．當(dāng)然，在考試中，增加什么形式的數(shù)學(xué)問題提出的測試題，還需要進(jìn)一步研究．

其次，既然數(shù)學(xué)問題提出觀念和學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出能力之間存在密切的關(guān)系，因此要重視學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出觀念的培養(yǎng)，要讓學(xué)生認(rèn)識到，提出數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題同等重要．提出一個(gè)好的數(shù)學(xué)問題也是聰明程度的一個(gè)重要的表現(xiàn)，同時(shí)，要更多地鼓勵(lì)學(xué)生，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)問題提出的信心．

再次，數(shù)學(xué)問題提出能力的培養(yǎng)要從低年級開始．該調(diào)查的樣本是五年級的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生已經(jīng)初步形成了只解決數(shù)學(xué)問題而不適應(yīng)提出數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，這樣會(huì)抑制學(xué)生創(chuàng)造性的發(fā)展．而低年級的學(xué)生尚未形成固定的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維習(xí)慣，具有很強(qiáng)的可塑性．因此，抓住時(shí)機(jī)從低年級培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題提出意識和能力是非常重要的．

最后需要說明的是，這個(gè)研究存在一定的局限性．首先，數(shù)學(xué)問題提出的測試題選自于算術(shù)領(lǐng)域，沒有從幾何和概率統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域選取，而且，數(shù)學(xué)問題提出的類型局限于問題解決之前的數(shù)學(xué)問題提出，沒有涉及問題解決之中和問題解決之后的數(shù)學(xué)問題提出．因此，使用該數(shù)學(xué)問題提出問卷測量的數(shù)學(xué)問題提出能力不能代表學(xué)生的綜合性數(shù)學(xué)問題提出能力．其次，數(shù)學(xué)問題提出的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還有待于進(jìn)一步完善，例如，數(shù)學(xué)問題類型的劃分標(biāo)準(zhǔn)是否恰當(dāng)，創(chuàng)新性數(shù)學(xué)問題的比例（10%）的選擇是否合適都有待于進(jìn)一步驗(yàn)證．

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