楊順平??（中國西南電子技術(shù)研究所，成都610036）

移相器幅相誤差對FFT法校準誤差的影響?

楊順平??
（中國西南電子技術(shù)研究所，成都610036）

考慮了快速傅里葉變換（FFT）校準方法在各種配相狀態(tài)的相關(guān)性情況，分析了移相器幅相誤差對FFT法校準誤差的影響，得到了校準后的幅度誤差和相位誤差公式。給出了仿真結(jié)果，對比仿真結(jié)果和理論分析，兩者非常吻合。由該公式得出了影響該項誤差的因素除了和移相器幅相誤差、校準網(wǎng)絡(luò)的傳輸系數(shù)有關(guān)外，還和被校準通道的位置編號有關(guān)系。解釋了在大動態(tài)條件下，校準精度惡化的原因，并給出了解決該問題的方法。

相控陣；FFT；幅相校準；幅相誤差

1 引言

相控陣天線通過控制陣列中各個單元相位實現(xiàn)天線波束指向改變，由于移相器的誤差、阻抗不匹配引起的反射、溫度變化影響等使得饋線各單元通道之間幅相不一致，存在幅相誤差。該誤差對天線的波束指向、副瓣電平、波束寬度、增益等指標均有重要影響，為了保證相控陣天線的性能指標，必須使得該誤差盡量小。相控陣天線研制中常常通過通道校準實現(xiàn)對該誤差的改善。

相控陣天線的通道校準方法有多種［1－4］，其中常用的為FFT校準法［5］。通道校準的精度決定了最后陣列的口徑幅相分布精度，為了提高FFT校準精度，國內(nèi)外進行了大量的研究，如從算法上提高校準精度［6］、從角度選擇上來提高校準精度［7］，但目前在校準耦合信通傳輸性能大動態(tài)分布下的校準精度仍有待解決。FFT校準法的誤差主要受幾個因素的影響：接收機幅相測試誤差；饋線電纜S參數(shù)測試誤差；各個通道移相器的幅相誤差；校準耦合信通傳輸性能的動態(tài)范圍等因素。文獻［4］分析了接收機噪聲對校準誤差的影響。由于移相時各個移相狀態(tài)下的幅度和相位與理想情況不一致，存在一定的誤差，該項誤差將導(dǎo)致校準結(jié)果產(chǎn)生校準誤差，即各個通道移相器的幅相誤差對校準的影響。從目前大部分的移相器的精度來看，移相器幅度相位誤差導(dǎo)致的校準誤差在所有的誤差中占主導(dǎo)作用，因此，本文將對該誤差進行分析，盡量減小該誤差的影響。文獻［8］從酉矩陣的角度出發(fā)，分析了通用情況下移相器誤差對校準的影響；文獻［9］應(yīng)用矩陣攝動理論，分析了移相器量化誤差、接收機噪聲和通道隨機誤差對校準的影響。文獻［8］和［9］主要是從通用的矩陣校準算法模型進行了誤差分析，針對特定的FFT的校準算法的一些特性則沒有考慮，本文將在考慮FFT校準時的各個配相狀態(tài)的相關(guān)性的和校準耦合通道具有一定的動態(tài)分布的情況下，對校準誤差的進行分析。

2 基本理論

已知在FFT校準方式下，通過調(diào)整各個通道TR組件的移相組合，可以得到M個線性不相關(guān)的方程，如式（1）所示：

式中，M為方程組數(shù)目（M＝2n≥天線單元數(shù)，n為正整數(shù)）；A（k）是第k次接收機測試得到的電壓值，為包含了幅度和相位的復(fù)數(shù)；Si為行波饋電網(wǎng)絡(luò)第i路端口的傳輸系數(shù)；ai為實際的天線饋電分布，包括幅度和相位信息。解以上方程得到

Si事先可以通過矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀等測量工具測試出來，為已知量。所以天線通道的相對幅度和相位分布ai就可以由式（2）得到。通過與理論分布的對比，則可以測試出每個端口的幅度誤差和相位誤差。根據(jù)該誤差，通過調(diào)節(jié)相應(yīng)通道的相位和幅度值，就可以實現(xiàn)天線端口饋電的校準。式（1）、（2）為一對傅里葉變換，故式（2）的求取可以通過FFT實現(xiàn)。

3 有誤差條件下的FFT校準

將式（1）代入式（2）可得

由于移相器為非理想器件，必然存在一定的幅度和相位誤差，由于該誤差的存在，使得校準結(jié)果偏離實際值，從而帶來了校準誤差，同時由于數(shù)字移相器存在量化誤差，也會使實際移相值偏離理想值。存在幅度相位誤差時，式（1）變?yōu)?/p>

式中，Δa（i，k）、Δθ（i，k）為第k通道、第i個移相狀態(tài)時的幅度相位誤差，Δφ（i，k）為第k通道、移相狀態(tài)為i時的移相誤差，Δφ（i）為第i個移相狀態(tài)下的量化誤差。考慮一階情況，可得

式中，bi為信號源經(jīng)過第i通道到接收機的傳輸系數(shù)。

將式（6）代入式（2），可得

式中，εΔa，m為幅度誤差帶來的m通道的校準誤差項，εΔψ，m為相位誤差帶來的m通道的校準誤差項。

3.1 幅度誤差項

式中，σΔa為移相器幅度誤差的均方差。

由復(fù)變量的方差定義［4］，得到校準變換后的方差為

3.2 相位誤差項

仿照幅度誤差項的分析，可以得到相位誤差項的方差為

同幅度誤差項一樣，可以得到

其中，σθ為各個通道在不同的移相狀態(tài)下的相位均方差。由式（5）可得

數(shù)字式移相器采用離散的數(shù)字信號進行控制，其誤差設(shè)為均勻分布，方差為

3.3 總誤差

校準后的總的誤差由通道各移相狀態(tài)下的幅度誤差引起的校準誤差和各移相狀態(tài)下的相位誤差引起的校準誤差構(gòu)成。因此，可得

4 考慮相關(guān)性條件下的FFT校準

實際進行校準對式（1）進行配相時，由于相位存在周期性，所有可能的移相狀態(tài)實際只有1／N個狀態(tài)。當(dāng)N≤2n（n為移相器位數(shù)）時，配相狀態(tài)數(shù)目少于移相器狀態(tài)數(shù)目，這時式（15）的誤差項可以不用考慮移相器的量化誤差。

考慮N≤2n的情況下，所有的移相狀態(tài)剛好等于N個，式（12）、（14）的合成項數(shù)為N2個，由FFT知道，其中必然有部分相位狀態(tài)為重復(fù)狀態(tài)，由于移相器狀態(tài)的重復(fù)誤差可以認為很小，所以這些狀態(tài)可以認為是相關(guān)項，其誤差計算公式就不能直接采用式（10）和式（13），需要根據(jù)情況進行分別考慮。

決定校準過程的整個相位狀態(tài)由式（1）決定，由于最終計算結(jié)果還要和式（2）共同起作用，由DFT性質(zhì)可知，其中式（2）和式（1）合成后的相位組成的單位矢量，對應(yīng)第i通道的相位為0，對應(yīng)其他通道的單位矢量之和為零。根據(jù)上述特點，在組合過程中，應(yīng)分3種情況進行考慮：

（1）式（1）、（2）合成得到的通道ai相對應(yīng)的移相狀態(tài)數(shù)目為g1，ai相對應(yīng)的項中沒有相同的移相狀態(tài)；

（2）式（1）、（2）合成得到的通道ai相對應(yīng)的移相狀態(tài)數(shù)中有相等的狀態(tài)數(shù)目為g2，h，且這些狀態(tài)下合成矢量不等于0；

（3）式（1）、（2）合成得到的通道ai相對應(yīng)的移相狀態(tài)數(shù)中有相等的狀態(tài)數(shù)目為g3，f，且這些狀態(tài)下合成矢量等于0。

根據(jù)上面3種情況，可以得到如下的修正系數(shù)：

當(dāng)各個移相狀態(tài)獨立時，di＝N，式（20）、（21）和式（12）、（14）相同。因此，F(xiàn)FT校準算法，由于移相器多種移相狀態(tài)下的幅度和相位誤差而導(dǎo)致的校準誤差和三個方面因素有關(guān)系：第一個因素是移相器多種移相狀態(tài)下的幅度和相位誤差，第二個因素是各個耦合支路的耦合系數(shù)，第三個因素是被校準通道在FFT算法中的編號位置。

5 仿真驗證

根據(jù)以上分析，考慮一個8元陣列天線，等幅度加權(quán)，TR各種移相狀態(tài)下的相位誤差為2.86°，幅度誤差為0.42 dB，該誤差與工程實際較接近。由式（19）可以得到修正系數(shù)如表1所示。

按照表1所列的修正系數(shù)代入式（20）、（21）進行計算可以得到在該條件下的理論校準誤差，再用仿真的方法建立校準模型模擬校準過程和誤差情況，得到仿真結(jié)果，計算1 000次并統(tǒng)計誤差情況。理論結(jié)果和仿真結(jié)果見表2，從表2可以看到仿真結(jié)果和理論結(jié)果吻合較好，說明該誤差分析基本正確。由分析可以看到，F(xiàn)FT方法用于校準時，天線單元在算法中的編號會影響其校準精度。因此，對于要求精度高的單元可以將其放在誤差小的位置，要求較低的單元可以放置在誤差相對較大的位置。同時由于移相狀態(tài)下的誤差對各個單元的校準是相互影響的，耦合通道的傳輸性能動態(tài)分布將對校準結(jié)果產(chǎn)生很大的影響。

由前面分析可以得到，當(dāng)天線的幅度加權(quán)系數(shù)不同時，其誤差情況也不一樣。仿真了一個大動態(tài)幅度加權(quán)天線校準情況，其中移相器各種移相狀態(tài)下的相位誤差為2.86°，幅度誤差為0.42 dB，第一個單元加權(quán)系數(shù)為－20 dB，其他天線單元為等幅度加權(quán)。仿真得到第一個單元的幅度校準誤差為4.7 dB，相位誤差為42.8°?？梢钥闯?，在大的加權(quán)動態(tài)條件下，F(xiàn)FT校準誤差受移相器本身誤差的影響，會產(chǎn)生很大的校準誤差。在工程實際中，F(xiàn)FT方法在應(yīng)用大于20 dB的動態(tài)分布時，邊緣單元其結(jié)果基本不收斂，與仿真結(jié)果一致。為了提高這種情況下校準精度，可以考慮采用兩種方式進行改進。一種方法是采用支路平衡耦合饋電的方式，盡量使幅度分布均衡相等。另外一種方法是采用矢量平均校準方法［10］，減小移相器幅度相位誤差對校準的影響，并且該方法對于各個被校準通道算法是一致的，不會產(chǎn)生FFT校準方法中編號不一樣、誤差大小不一樣的情況。

通過仿真和分析可知，由于FFT各個移相狀態(tài)下的相關(guān)性以及各個單元校準算法上的相互影響，導(dǎo)致了FFT校準精度受算法中的單元編號和耦合通道的傳輸性能動態(tài)分布影響，要提高校準精度，校準算法應(yīng)避免各個單元的相互影響以減小耦合通道的傳輸性能動態(tài)分布的影響，同時各個單元的移相狀態(tài)產(chǎn)生的誤差應(yīng)盡量隨機而不相關(guān)，以減小由于相關(guān)在疊加時將誤差放大。為了克服校準時以上的兩個問題，仿照FFT的方式，但在配相時做到移相狀態(tài)誤差不相關(guān)，各個單元移相誤差不相互影響，就可以得到一個新的校準算法——矢量平均校準算法［10］。

該算法移相器的移相狀態(tài)誤差對校準的影響就可以采用文獻［11］中分析接收機噪聲的類似方法。關(guān)于矢量平均校準算法的詳細情況見文獻［10］。

6 結(jié)論

移相器的各個移相狀態(tài)下的幅度和相位誤差是影響FFT校準的一個重要誤差來源，在考慮了各個狀態(tài)的相關(guān)性的條件下，本文的分析和仿真表明，其誤差可以較為準確地評估。從分析結(jié)論可以得到，由于FFT校準方法的特點，在大動態(tài)加權(quán)情況下（校準用的接收機發(fā)射的信號經(jīng)過各個校準耦合回路回到接收機的接收端口的信號傳輸系數(shù)分布大于等于20 dB），其校準誤差將大到無法接受的程度。在此基礎(chǔ)上提出的改進算法，即矢量平均算法，可以較好地減小以上誤差，更適合工程上的應(yīng)用。

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YANG Shun-ping was born in Yuechi，Sichuan Province，in 1976.He received the B.S. degree froMChongqing University and the M.S. degree froMUniversity of Electronic Science and Technology of China in 1999 and 2006，respectively.He is now an engineer.His research concerns antennameasurement and calibration.

Email：blueysp＠qq.com

IMpact of Phase Shift AMplitude／Phase Errors on FFT-based Calibrations

YANG Shun-ping
（Southwest China Institute of Electronic Technology，Chengdu 610036，China）

The impactof phase shifter amplitude／phase errorson the calibrationsbased on Fast Fourier Transform（FFT）is analyzed in consideration of the errors correlation.A formula to calculate the errors is given.The analysis and simulation are compared，and the resultagreeswell.It is shown froMthe formula that the errors relate to not only the amplitude／phase errors and calibration network′s S-parameter，but also the serial number of the channel in the FFTmethod.The reason why the accuracy decreases under the condition of large dynamic range can be found.And a new method which can improve the calibration accuracy is proposed.

phased array；FFT；amplitude／phase calibration；amplitude／phase error

date：2012－11－09；Revised date：2013－04－10

??通訊作者：blueysp＠qq.coMCorresponding author：blueysp＠qq.com

TN821

A

1001－893X（2013）06－0795－05

楊順平（1976—），男，四川岳池人，1999年于重慶大學(xué)獲學(xué)士學(xué)位，2006年于電子科技大學(xué)獲碩士學(xué)位，主要研究方向為天線校準和天線測量技術(shù)。

10.3969／j.issn.1001－893x.2013.06.025

2012－11－09；

2013－04－10