任詠紅，馮振川，馬艷妮

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連116029）

1 引言

考慮聯(lián)合概率約束優(yōu)化問題：

其中X?Rd,ξ是支撐集Ξ?Rk上的具有概率P的隨機(jī)向量，α∈(0,1),h∶Rd→R和c（ix，ξ）∶R^{d+k}→R，i=1，2…，m是實(shí)值函數(shù).它廣泛的應(yīng)用于供應(yīng)鏈管理，生產(chǎn)計(jì)劃，水資源管理等大量的有重要價值的實(shí)際問題中.國內(nèi)外學(xué)者對（JCCP）問題做了大量的研究，出現(xiàn)了一些有效的算法，如Ben-Tal和Nemirovski（2000）[1]的二次近似，Rockafellar和Urgasev（2000）[2]的條件風(fēng)險值近似，Nemirouski及Shapiro（2006）[3]的Bernstein近似等.這些算法多集中于聯(lián)合概率約束優(yōu)化問題的保守近似.

考慮模型（JCCP），令c（x，ξ）=max{c（1x，ξ），c2（x，ξ），…，cm（x，ξ）}.若c（ix，ξ），i=1，2…，m關(guān)于x是凸函數(shù)，則c（x，ξ）關(guān)于x是凸函數(shù)，記

p（x）=1-Pr{c（1x，ξ）≤0，c（2x，ξ）≤0，…，cm（x，ξ）≤0}=1-Pr{c（x，ξ）≤0}=Pr{c（x，ξ）≤0}=E[1（0，+∞）c（x，ξ）]，其中，則問題（JCCP）的概率約束變?yōu)閜（x）≤α.

Hong等[4]于2011年提出了（JCCP）問題的保守的D.C.近似問題：

其中g(shù)1（x，t）=E[t+c（x，ξ）]+，g2（x，t）=g1（x，0）.因?yàn)間1（x，t）-g2（x）是一類不可微優(yōu)化問題，從而求解存在相當(dāng)?shù)睦щy.一個有效的方法就是利用光滑技術(shù)將不可微優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為光滑的優(yōu)化問題.本文采用光滑函數(shù)將g1（x，t）-g2（x）分別光滑化，得到（PDC）的光滑近似問題（Pη），探討了當(dāng)η↓0時光滑化的近似問題的最優(yōu)值和最優(yōu)解集分別收斂到（JCCP）的最優(yōu)值和最優(yōu)解集.

2 （PDC）的光滑近似問題

2.1 最大值函數(shù)的光滑近似

考慮光滑函數(shù)θη（y）=ηlog（1+exp（η-1y）），根據(jù)文獻(xiàn)[5]，則

稱ηlog（1+exp（η-1y））為[y]+的對數(shù)指數(shù)近似.所以

[c（x，ξ）]+的光滑函數(shù)為：

E[[c（x，ξ）]+]的光滑函數(shù)為：

假設(shè)1對于?x∈X,c(x),ξ是具有連續(xù)密度函數(shù)的實(shí)值函數(shù)，并且c（x，ξ）關(guān)于x可微w.p.1.

命題1若?ξ∈Ξ,ci（x，ξ），i=1，2…，m關(guān)于x是凸的，則H（x，ξ，η）和Ψ（x，η）關(guān)于（x，η）是凸的，關(guān)于η是不減的，并且?η＞0，有

進(jìn)一步的，有

證明令f（y）=log（1+exp（y））關(guān)于y是凸函數(shù)，故?η＞0，（fη）（y）=ηlog（1+exp（η-1y））關(guān)于（y，η）也是凸函數(shù)（參見[5]）.此外，由于ηlog（1+exp（η-1y））關(guān)于y單調(diào)增加，?ξ∈Ξ,ci（x，ξ），i=1，2…，m關(guān)于x是凸的，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)，有?ξ∈Ξ，ηlog（1+exp（η-1c（x，ξ）））（即H（x，ξ，η））關(guān)于（x，η）是凸的，所以Ψ（x，η）關(guān)于（x，η）是凸的.

根據(jù)（1）式，對于?ξ∈Ξ,η＞0，有

所以

因?yàn)閷τ?y∈R,η＞0，

所以ηlog（1+exp（η-1y））關(guān)于η不減，所以H（x，ξ，η），Ψ（x，η）關(guān)于η不減.

最后，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的收斂性定理得，

2.2 （PDC）的光滑近似

考慮問題

記Ωt={x∈X∶g1(x,t)-g2(x)≤tα}.對于任意給定的t，令

則?η＞0,ξ∈Ξ，H（1x，t，ξ，η）和H（2x，ξ，η）關(guān)于x連續(xù)可微.令

由命題1得，

所以

PDC的光滑近似問題為：

對于集合A,B∈Rd記表示x∈Rd到集合A的距離，表示集合B到集合A的偏差.令S（t，η）和S（t）分別表示（Pη）和（PDC）的最優(yōu)解集，v（t，η）和v（t）分別表示（Pη）和（PDC）的最優(yōu)值.

定理1（1）對于?η＞0,Φ(t,η)?Ωt，并且任意的η2＞η1＞0時，Φ(t,η1)?Φ(t,η2).

（2）若假設(shè)2成立，則

證明（1）?η＞0,?x∈Φ(t,η)，因?yàn)?/p>

所以x∈Ωt,Φ(t,η)?Ωt成立.而

（2）因?yàn)棣?t,η)關(guān)于η單調(diào)不減，根據(jù)文獻(xiàn)[6]的練習(xí)4.3知存在.又因?yàn)棣竧是閉集，所以t），則ε＞0.令

又S(t,η),S(t)是緊集X的子集，所以他們是一致緊的，則由上式知

該定理概括了光滑近似的性質(zhì)，（1）說明了（Pη）是（PDC）的光滑的保守近似，因此也是聯(lián)合概率約束問題（JCCP）的保守近似.（2）說明當(dāng)η↓0時，光滑近似（Pη）的可行域收斂到（PDC）的可行域，進(jìn)一步的，（Pη）的最優(yōu)值和最優(yōu)解集分別收斂到（PDC）的最優(yōu)值和最優(yōu)解集.又因?yàn)椋≒DC）和（JCCP）等價，所以（Pη）的最優(yōu)值和最優(yōu)解集分別收斂到（JCCP）的最優(yōu)值和最優(yōu)解集.

[1] Ben-Tal,Nemirovski A.Robust solutions of linear pro?gramming problems contaminated with uncertain data[J].Mathematical programming,2000,88:411-424.

[2] Rockafellar R T,Uryasev S.Optimization of conditional value-at-risk[J].The Journal of Risk,2000,2:21-41.

[3] Nemirovski A,Shapiro A.Convex approximations of chance constrained programs[J].SIAM Journal on Optimi?zation,2006,17:969-996.

[4] Hong L J,Yang Y,Zhang L.Sequential convex approxima?tions to joint chance constrained programs:A Monte Carlo approach[J].Operations Research,2011,59:617-630.

[5] Boyd S,Vandenberghe L.Convex Optimization[M].Cam?bridge University Press,Cambridge,UK,2004.

[6] Rockafellar R T,Wets R J-B.Variational Analysis[M].Springer-Verlag,New York,1998.