方石銀，潘應(yīng)暉，郭 波，蔡 頌

(1.武夷學(xué)院電子工程系，福建武夷山 354300;2.湖南大學(xué)激光研究所，長沙 410082)

基于標(biāo)準(zhǔn)方程的等步長雙曲線插補(bǔ)算法*

方石銀1，2，潘應(yīng)暉1，郭 波1，蔡 頌2

(1.武夷學(xué)院電子工程系，福建武夷山 354300;2.湖南大學(xué)激光研究所，長沙 410082)

雙曲線插補(bǔ)算法是數(shù)控加工雙曲線輪廓的關(guān)鍵技術(shù)。文章從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)出不同象限不同插補(bǔ)方向的插補(bǔ)遞推公式，推理出選擇插補(bǔ)遞推公式的判定方法，提出插補(bǔ)循環(huán)結(jié)束判斷方法和確保插補(bǔ)終點(diǎn)與理論輪廓終點(diǎn)重合的方法，研究出雙曲線的插補(bǔ)流程圖，得到了雙曲線等步長數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法，并對插補(bǔ)輪廓誤差進(jìn)行分析。實(shí)例證明該算法計(jì)算簡單，插補(bǔ)精度高，輪廓步長穩(wěn)定，滿足數(shù)控加工需求。

插補(bǔ)算法;雙曲線;輪廓步長

0 引言

插補(bǔ)技術(shù)是機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)的核心技術(shù)，其算法的優(yōu)劣直接決定了進(jìn)給速度、加工精度等性能參數(shù)?，F(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)型和標(biāo)準(zhǔn)型數(shù)控系統(tǒng)一般只具有直線和圓弧插補(bǔ)功能，因此可以直接用直線插補(bǔ)指令和圓弧插補(bǔ)指令來加工直線輪廓和圓弧輪廓。但雙曲線輪廓在航空、航天、模具等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。對于雙曲線輪廓，只能用小段的直線或圓弧來擬合加工，如文獻(xiàn)［1-6］所做的研究，這樣不僅人為地增加了加工誤差，而且大大提高了編程的難度和工作量。目前，國內(nèi)外對雙曲線輪廓的插補(bǔ)算法的研究還很少。文獻(xiàn)［7］提出了一種基于圓心角分割的雙曲線插補(bǔ)算法，但其中有三角函數(shù)運(yùn)算且算法復(fù)雜，占用CPU時(shí)間多。文獻(xiàn)［8-10］研究的是雙曲線輪廓的逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法，并對傳統(tǒng)的逐點(diǎn)比較插補(bǔ)算法進(jìn)行改進(jìn)，但只適合經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)。本文從雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，研究一種算法簡單、插補(bǔ)精度高、輪廓步長穩(wěn)定的雙曲線數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法，適合標(biāo)準(zhǔn)型或全功能型的數(shù)控系統(tǒng)。

1 基本原理

標(biāo)準(zhǔn)型數(shù)控系統(tǒng)普遍采用的是數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法中的時(shí)間分割法［11-12］。其基本原理是根據(jù)編程的進(jìn)給速度，將輪廓曲線分割為插補(bǔ)周期的進(jìn)給段，即輪廓步長L。在每個(gè)插補(bǔ)周期中，執(zhí)行一次插補(bǔ)程序，計(jì)算出下一插補(bǔ)周期各坐標(biāo)軸進(jìn)給量Δx或Δy，從而計(jì)算出下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)值。輪廓步長L與進(jìn)給速度指令F和插補(bǔ)周期T有關(guān)，即:

當(dāng)數(shù)控系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)和軟件結(jié)構(gòu)確定后，其插補(bǔ)周期是不變的，如果能保證插補(bǔ)過程中輪廓步長L穩(wěn)定，那么就能保證加工過程中進(jìn)給速度F的穩(wěn)定。另外為了保證被加工零件的精度，每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)應(yīng)位于雙曲線輪廓上。

2 插補(bǔ)算法

2.1 第一第四象限雙曲線順時(shí)針插補(bǔ)算法

圖1所示為第一和第四象限的某一雙曲線輪廓，輪廓關(guān)于X軸對稱，與X軸交點(diǎn)為雙曲線頂點(diǎn)，頂點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為其實(shí)半軸的長度a，其它形式的雙曲線輪廓可以通過坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)得到圖1所示的標(biāo)準(zhǔn)形式。假設(shè)其插補(bǔ)方向?yàn)轫槙r(shí)針，S(xs，ys)點(diǎn)為輪廓起點(diǎn)，E(xe，ye)點(diǎn)為輪廓終點(diǎn)，A(xi，yi)點(diǎn)為輪廓上某一插補(bǔ)點(diǎn)，B(xi+1，yi+1)點(diǎn)為A點(diǎn)之后的下一插補(bǔ)點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)之間的距離為一個(gè)輪廓步長L，從A點(diǎn)到B點(diǎn)X、Y軸走過的距離分別為x和y。

圖1 第一第四象限雙曲線輪廓順時(shí)針插補(bǔ)示意圖

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

對式(2)進(jìn)行求導(dǎo)可得:

由于x和y是一個(gè)插補(bǔ)周期X、Y軸所走過的距離，其值非常小，因此可以用x和y來近似代替dx和dy，即:

由圖1可知:

由式(4)和式(5)可以求得:

第一第四象限的雙曲線輪廓順時(shí)針插補(bǔ)時(shí)，y恒為正值，即y是單調(diào)遞增的;x恒為正值。由于計(jì)算時(shí)用x和y近似代替了dx和dy，為了避免微小誤差的累積造成插補(bǔ)點(diǎn)不位于雙曲線輪廓上，因此不采用式(4)計(jì)算x，而是直接根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程(2)計(jì)算x坐標(biāo)。第一第四象限雙曲線輪廓的順時(shí)針插補(bǔ)遞推公式為:

數(shù)控系統(tǒng)在作插補(bǔ)運(yùn)算前，起始點(diǎn)坐標(biāo)S(xs，ys)、a、b、L的值均為已知，根據(jù)遞推式(7)就可以計(jì)算出插補(bǔ)過程中每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)。由于算法是基于雙曲線的基本方程，因此能保證每一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)位于雙曲線輪廓上，保證了數(shù)控機(jī)床的加工精度;而且算法推導(dǎo)過程中使用了式(5)，能保證每一個(gè)插補(bǔ)周期所走過的輪廓步長L的穩(wěn)定，從而保證了加工過程中進(jìn)給速度的穩(wěn)定。

2.2 第一第四象限雙曲線逆時(shí)針插補(bǔ)算法

第一第四象限雙曲線輪廓作逆時(shí)針插補(bǔ)時(shí)，y恒為負(fù)值，即y是單調(diào)遞減的;x恒為正值。因此只要對(7)式稍作修改:

2.3 第二第三象限雙曲線順時(shí)針插補(bǔ)算法

圖2所示為第二第三象限雙曲線輪廓順時(shí)針插補(bǔ)示意圖，y恒為負(fù)值，即y是單調(diào)遞減的;x恒為負(fù)值。因此其插補(bǔ)遞推公式為:

圖2 第二第三象限雙曲線輪廓順時(shí)針插補(bǔ)示意圖

2.4 第二第三象限雙曲線逆時(shí)針插補(bǔ)算法

第二第三象限雙曲線輪廓作逆時(shí)針插補(bǔ)時(shí)，y恒為正值，即y是單調(diào)遞增的;x恒為負(fù)值。因此其插補(bǔ)遞推公式為:

2.5 插補(bǔ)遞推公式的選擇

從以上研究可以看出，插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，必須根據(jù)雙曲線所在象限和插補(bǔ)方向進(jìn)行遞推公式的選擇，即利用一定的關(guān)系式進(jìn)行判定。判定方法如下:

(1)xs＞0且ys＜ye，此時(shí)為第一第四象限的順時(shí)針插補(bǔ)，采用遞推式(7);

(2)xs＞0且ys＞ye，此時(shí)為第一第四象限的逆時(shí)針插補(bǔ)，采用遞推式(8);

(3)xs＜0且ys＞ye，此時(shí)為第二第三象限的順時(shí)針插補(bǔ)，采用遞推式(9);

(4)xs＜0且ys＜ye，此時(shí)為第二第三象限的逆時(shí)針插補(bǔ)，采用遞推式(10)。

2.6 終點(diǎn)判別

利用插補(bǔ)當(dāng)前點(diǎn)與輪廓終點(diǎn)之間的距離來決定是否結(jié)束插補(bǔ)循環(huán)是一個(gè)即簡單又可靠的方法。當(dāng)插補(bǔ)點(diǎn)距離輪廓終點(diǎn)大于1個(gè)輪廓步長時(shí)繼續(xù)插補(bǔ)循環(huán)，反之結(jié)束插補(bǔ)循環(huán)，即用下式進(jìn)行插補(bǔ)循環(huán)是否結(jié)束的判別:

為了保證被加工零件的精度，插補(bǔ)終點(diǎn)應(yīng)位于輪廓終點(diǎn)。但插補(bǔ)循環(huán)結(jié)束時(shí)，插補(bǔ)點(diǎn)到輪廓終點(diǎn)的距離小于或等于1個(gè)輪廓步長。為了提高終點(diǎn)精度，應(yīng)該在插補(bǔ)循環(huán)結(jié)束后，從插補(bǔ)當(dāng)前點(diǎn)直接走到輪廓終點(diǎn)，從而保證兩點(diǎn)重合。

2.7 插補(bǔ)流程圖

等步長雙曲線輪廓的插補(bǔ)流程圖如圖3所示，流程圖中進(jìn)行了一些簡單的數(shù)學(xué)處理，目的是為了減少插補(bǔ)過程中數(shù)控系統(tǒng)微處理器的計(jì)算量。

圖3 等步長雙曲線輪廓的插補(bǔ)流程圖

3 輪廓誤差分析

數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法中，只有直線輪廓沒有插補(bǔ)誤差，其它類型的曲線都存在插補(bǔ)誤差。雙曲線輪廓在插補(bǔ)過程中，是以每一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)走一個(gè)輪廓步長L的弦線來逼近實(shí)際輪廓的，因此不可避免地會產(chǎn)生輪廓誤差。由圖1、圖2和以上分析可知，在插補(bǔ)點(diǎn)過象限時(shí)曲線斜率產(chǎn)生突變，即一個(gè)輪廓步長的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別位于兩個(gè)不同的象限時(shí)，此時(shí)輪廓誤差最大，尤其是兩插補(bǔ)點(diǎn)的路徑和X軸垂直時(shí)，如圖4所示。h為雙曲線插補(bǔ)最大輪廓誤差，可知C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a+h，L/2)、(a+h，-L/2)。根據(jù)式(1)和式(2)可以得出:

圖4 雙曲線插補(bǔ)最大輪廓誤差示意圖

可以看出，雙曲線插補(bǔ)最大輪廓誤差h與插補(bǔ)周期T、編程進(jìn)給速度F、雙曲線實(shí)半軸長度a和虛半軸長度b有關(guān)。h隨著T、F和a的增大而增大，隨著b的增大而減小。設(shè)一數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)周期為8ms，被加工零件雙曲線輪廓實(shí)半軸長度a為30mm、虛半軸長度b為40mm，根據(jù)式(12)計(jì)算得出加工速度F在4.9m/min以下，最大輪廓誤差h小于1μm。由此可見，此算法的精度完全能滿足加工需求。

4 計(jì)算實(shí)例

一雙曲線，a=4mm，b=3mm，數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)周期T=8ms，編程進(jìn)給速度F=600mm/min，輪廓步長L=FT=0.08mm。插補(bǔ)起點(diǎn)(4.0552，-0.5000)，插補(bǔ)終點(diǎn)(4.4721，1.5000)，計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 雙曲線插補(bǔ)過程

插補(bǔ)過程中，除了終點(diǎn)的前一插補(bǔ)點(diǎn)到終點(diǎn)外，輪廓步長穩(wěn)定，偏差在±0.5%以內(nèi)，基本上可以認(rèn)為是等步長。用Matlab編程比較雙曲線理論輪廓和實(shí)際插補(bǔ)輪廓，如圖5所示，可以看出理論輪廓和實(shí)際插補(bǔ)輪廓重合，把此實(shí)例帶入式(12)可得最大輪廓誤差為0.36μm。

圖5 雙曲線理論輪廓和實(shí)際插補(bǔ)輪廓的比較

5 結(jié)束語

本文從雙曲線的基本方程出發(fā)，推導(dǎo)出不同象限不同插補(bǔ)方向的插補(bǔ)遞推公式，邏輯推理出選擇插補(bǔ)遞推公式的判定方法，提出一種簡單的插補(bǔ)循環(huán)結(jié)束判斷方法和確保插補(bǔ)終點(diǎn)與理論輪廓終點(diǎn)重合的方法，研究出雙曲線的插補(bǔ)流程圖，因此得到了一種等步長數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)算法，并分析了該算法的輪廓誤差。該算法在插補(bǔ)過程中能保持輪廓步長的穩(wěn)定，插補(bǔ)點(diǎn)始終能位于雙曲線輪廓上，并且在插補(bǔ)循環(huán)結(jié)束時(shí)能確保插補(bǔ)終點(diǎn)與輪廓終點(diǎn)重合，輪廓誤差完全能滿足數(shù)控加工需求。該算法的性能用實(shí)例進(jìn)行了證明。因此該算法能保證加工過程中進(jìn)給速度的穩(wěn)定，插補(bǔ)精度高，能滿足標(biāo)準(zhǔn)型或全功能型數(shù)控系統(tǒng)的雙曲線輪廓加工需求。

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Equal Step Length Interpolation Algorithm of Hyperbola Based on the Standard Equation

FANG Shi-yin1，2，PAN Ying-hui1，GUO Bo1，CAI Song2
(1.Department of Electronic Engineering，Wuyi University，Wuyishan Fujian 354300，China;2.Laser Institute of Hunan University，Changsha 410082，China)

Interpolation algorithm of hyperbola is the pivotal technology of hyperbolic contour’s NC machining.Based on the hyperbolic standard equation，the interpolating recursion formulas of different quadrant and interpolating direct were deduced，the determinant method of choosing the interpolating recursion formulas was reasoned，the judging method of interpolating cycle and the method of the interpolating end-point coinciding with the contour’s end-point were put forward，the interpolating flow chart of hyperbola contour was researched，the equal step length interpolation algorithm of hyperbola was obtained，and the interpolating contour error was analyzed.An example testifies that the interpolation algorithm is simple，the interpolating precision is high，contour step lengths are steady，and so the interpolation algorithm is satisfied with NC machining.

interpolation algorithm;hyperbola;contour step length

TH165;TM383.6

A

1001-2265(2012)11-0039-04

2012-03-08;

2012-04-10

武夷學(xué)院青年教師專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(xq201016)

方石銀(1980—)，男，安徽桐城人，武夷學(xué)院講師，湖南大學(xué)博士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)控加工技術(shù)和激光加工技術(shù)，(E-mail)fshiyin@163.com。

(編輯 李秀敏)