張 燕，王君澤，陳厚軍，張小萍

(南通大學(xué)機械工程學(xué)院，南通 226019)

新型環(huán)面蝸桿成形法加工的分析與驗證*

張 燕，王君澤，陳厚軍，張小萍

(南通大學(xué)機械工程學(xué)院，南通 226019)

新型環(huán)面蝸桿副是一種改進的傳動形式，基于成形法加工，提出蝸桿廓面加工誤差的評定方法，驗證實際加工的可行性。利用三坐標(biāo)測量機的接觸式測量方法獲得蝸桿廓面上離散點的坐標(biāo)值，經(jīng)測頭半徑補償、坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換將實際測點和理論測點進行匹配，借助雙三次B樣條曲面擬合獲得實際加工的環(huán)面蝸桿廓面，采用法向誤差法獲得了蝸桿的齒形誤差圖，并分析了該誤差對嚙合點的影響。結(jié)果表明齒形誤差小于0.0021mm，且實際齒形誤差圖和理論齒形誤差圖的變化趨勢一致，實際嚙合點符合設(shè)計要求，從而驗證了加工方法的正確性。

環(huán)面蝸桿;B樣條曲面;成形法

0 引言

蝸桿傳動廣泛應(yīng)用于汽車、機床、冶金機械和儀器儀表等領(lǐng)域，在實際的蝸桿嚙合傳動過程中，導(dǎo)致蝸桿發(fā)生振動和噪音以及蝸桿使用壽命減少的因素，除了安裝誤差和受載變形外，另一個主要原因就是齒面的加工誤差［1］。因此對加工的蝸桿廓面進行測量和誤差評定，以便后續(xù)加工的誤差補償顯得尤為重要。段振云［2］等利用三坐標(biāo)測量評定法向圓弧錐齒輪的加工誤差，驗證了加工方法的正確性和技術(shù)的可行性;梁艷［3］借助坐標(biāo)測量機測量螺旋錐齒輪，并進行數(shù)據(jù)處理，得到了齒面的誤差，為機床參數(shù)的調(diào)整提供依據(jù);王伏林［4］等針對二維數(shù)字化齒面幾何特征及加工特點，建立了基于測量的離散陣列式齒面加工誤差分析模型，求解出齒面各點的加工誤差。

要確定齒面加工誤差，僅根據(jù)三坐標(biāo)測量得到的齒面上的離散點坐標(biāo)，無法直接求解，因此必須將齒面參數(shù)化，即利用插值建立齒面的數(shù)學(xué)模型，確定齒面的參數(shù)方程。齒面參數(shù)化的方法有多種，孫殿柱［5］等采用B樣條方法建立真實齒面數(shù)學(xué)模型，并進行了誤差計算;谷霽紅［6］等采用雙三次NURBS插值方法擬合，實現(xiàn)了弧齒錐齒輪齒面的重構(gòu)。

本文針對筆者提出的新型環(huán)面蝸桿副中環(huán)面蝸桿的加工方法，采用三坐標(biāo)測量機測得環(huán)面蝸桿的齒面離散點的坐標(biāo)，基于雙三次B樣條曲面插值原理，擬合得到真實蝸桿廓面，進而求得蝸桿的加工誤差，驗證加工方法的正確性。

1 新型環(huán)面蝸桿及其加工原理簡介

為了適應(yīng)現(xiàn)代傳動要求，各種改進型蝸桿傳動被不斷提出。文獻［7］提出了一種新型環(huán)面蝸桿副，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，由蝸桿、鋼球和蝸輪三體構(gòu)成，將傳統(tǒng)的滑動副變?yōu)闈L動副，提高了傳動效率。并對蝸桿廓面進行點嚙合化處理，降低了傳動誤差:讓廓面的齒形由兩個半徑為r的偏置圓弧和齒根圓弧組成，主齒形r與鋼珠之間的半徑差Δr為齒形圓心與鋼珠中心在指定壓力角αn方向上的偏移量(見圖2)。蝸桿廓面由處在準(zhǔn)線法平面內(nèi)的齒形沿準(zhǔn)線作單自由度運動掃掠所形成的法向圓弧螺旋面，且左右齒形的對稱線始終保持在環(huán)面法向上。

這種新型環(huán)面蝸桿尚沒有人提出合適的加工方法進行實際加工，筆者在對該蝸桿廓面進行理論研究的基礎(chǔ)上，提出了基于準(zhǔn)線的成形法加工方法，并在文獻［8］中對該方法存在的原理性誤差進行理論推導(dǎo)計算，結(jié)果表明成形法加工存在的原理性誤差在合理的范圍內(nèi)。本文旨在采用該方法進行實際的切削加工，并借助三坐標(biāo)測量、B樣條曲面擬合等得出實際的加工誤差，進一步驗證基于準(zhǔn)線的成形法加工方法的實際可行性。

圖1 環(huán)面蝸桿副

圖2 蝸桿齒形

由廓面的形成過程可知，齒形與廓面準(zhǔn)線間的關(guān)系較為單純，這就為成形法加工提供了便利。在加工過程中，若采用刃形與齒形相同的指狀銑刀，使刀心沿著廓面準(zhǔn)線移動，且刀軸也始終保持在環(huán)面的法向方向，這就確保了刀具與蝸桿毛坯件之間的相對運動與蝸桿傳動時的運動一致，也就使刀具刃形包絡(luò)出的蝸桿廓面在最大程度上與理論廓面接近。當(dāng)環(huán)面蝸桿的主要設(shè)計數(shù)據(jù)如表1所示時，根據(jù)嚙合原理得到的理論齒形誤差如圖3所示［8］。圖4是在五軸數(shù)控銑床上用成形法實際加工蝸桿的場景。下文利用三坐標(biāo)測量機具體測量蝸桿廓面，并分析計算成形法加工該蝸桿的實際誤差。

表1 環(huán)面蝸桿的參數(shù)

圖3 理論齒形誤差圖

圖4 五軸數(shù)控銑床加工蝸桿

2 齒面數(shù)據(jù)測量

2.1 測量方案

根據(jù)工件特點，從測量精度和數(shù)據(jù)后處理等方面綜合考慮，采用三坐標(biāo)測量機采集數(shù)據(jù)，如圖5所示。三坐標(biāo)測量機型號為MQ8106，接觸式打點，采用的測針直徑為2mm并對其進行校正，測量所用到的A0B0測針形狀誤差僅為0.0002mm。蝸桿加工表面為曲面，曲面有顯式、隱式和參數(shù)三種表示方法，參數(shù)曲面更便于表示和構(gòu)造。一般參數(shù)曲面，由u，v兩個參數(shù)表示。測量環(huán)面蝸桿時，以齒形方向為u方向，以螺旋線方向為v方向測量，將測量點數(shù)據(jù)保存為.asc的格式。

圖5 三坐標(biāo)測量蝸桿

2.2 半徑補償

三坐標(biāo)測量所得的坐標(biāo)點是其測頭中心的坐標(biāo)，當(dāng)被測面為平面時，實際接觸點與測頭中心相差一個測頭半徑r，可通過三坐標(biāo)的自動補償功能進行調(diào)整。本文中所討論的蝸桿廓面為復(fù)雜曲面，測量時測頭與蝸桿齒廓面的實際坐標(biāo)的關(guān)系如圖6所示，輸出的是測頭中心坐標(biāo)點P，自動補償將得到P1點，而實際測點為P0，因此需對輸出的坐標(biāo)點進行換算。測頭所在曲面的單位法矢為:

實際測點的坐標(biāo)為:

圖6 測頭坐標(biāo)與實際坐標(biāo)關(guān)系

3 雙三次B樣條曲面擬合

3.1 流程

根據(jù)上述測量點的坐標(biāo)，擬合B樣條曲面的流程如下:

(1)讀入測量點坐標(biāo);

(2)根據(jù)測量坐標(biāo)系和設(shè)計坐標(biāo)系的關(guān)系，進行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將測量點的坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換為設(shè)計坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值;

(3)將轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)值作為B樣條曲面的型值點，按照B樣條曲線的反求公式，反求出u方向的控制點，將其作為v方向型值點，再次反求，得到雙三次B樣條曲面的控制點;

(4)根據(jù)雙三次B樣條的正求算法，求解B樣條曲面方程;

(5)以u、v為變量，求擬合的B樣條曲面上若干個點的坐標(biāo)，以便求解理論蝸桿廓面和實際蝸桿廓面之間的誤差。

3.2 齒面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

式中，Tt是沿坐標(biāo)軸的平移矩陣;Tα、Tβ、Tγ分別是繞X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣。

圖7 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

3.3 雙三次B樣條曲面反求

根據(jù)蝸桿廓面上的測點(型值點)求出相應(yīng)的特征多邊形，然后生成由特征多邊形網(wǎng)格頂點(控制點)控制的B樣條曲面，這就是B樣條曲面反求控制點的問題。蝸桿廓面的測點共m*n個，本文采用曲面反求控制點的雙向曲線反算法，即:取u方向的m組型值點，按照B樣條曲線反求控制點的公式及邊界條件，得到m組(n+2)個控制點組成的特征多邊形;再將上述控制點當(dāng)作v方向的型值點，反求出(m+2)*(n+2)個控制點組成的特征多邊形，即為雙三次B樣條曲面的控制點。

由三次B樣條曲線的端點性質(zhì)可知，型值點Pi和控制點bi(i=1，2…n)的關(guān)系為:

上式中的型值點比控制點少兩個，因此反求時，需加入兩個邊界條件。常用的方法有:給出起點和終點的切線方向，兩端點各外延增加一點，或利用端點的重點。本文采用了第三種方法，即利用重點技巧:P1=b1，Pn=bn。則B樣條曲線反求控制點的線性方程組為［9］:

公式(5)是對三角方程組，可用追趕法進行求解。利用重點性質(zhì)，兩端各加兩個控制點:

至此，求出了u方向B樣條曲線的所有控制點。類似的求出v方向的控制點，則B樣條曲面反求工作完成了。

3.4 正求算法

由反求算法得到雙三次B樣條曲面的控制點后，再根據(jù)B樣條曲面的正求算法，由控制點求出曲面方程，即可進行B樣條曲面擬合。B樣條曲面擬合的方程為［10］:

式中，bij是u，v兩個方向上的控制點。

擬合后的B樣條曲面是含u，v兩個參數(shù)的多項式方程。使參數(shù)u，v在［0，1］之間變化，便可得到擬合的B樣條曲面上任意點的坐標(biāo)值，方便求解理論蝸桿廓面和實際蝸桿廓面的誤差，檢查加工方法正確與否。

4 精度計算

計算誤差的方法有四種:弧長法、弦長法、最小距離法、法向法［4］，但只有法向法求得的誤差才是真正的齒形誤差，其他的均是基于小偏差和小誤差假設(shè)條件下齒形誤差的近似值，且法向法使用最為廣泛，故本文采用法向法求解。由理論蝸桿廓面上的節(jié)點S沿其法向量方向求實際廓面的相應(yīng)節(jié)點S'，S與S'之間的距離即為理論點和測點的法向誤差ε，如圖8所示。

根據(jù)上面的公式，計算所得的蝸桿的法向誤差的部分數(shù)據(jù)如表2所示，其中齒形圓弧極角θ為齒形上點的徑向線與水平方向的夾角。由表可知，法向誤差范圍為0.0019～0.0021mm，誤差量級較小，符合蝸桿加工要求。蝸桿齒形誤差如圖9所示，點劃線、虛線、實線分別是蝸桿喉圓、蝸桿與鋼球嚙入、嚙出區(qū)域的齒形誤差，與理論得出的齒形誤差圖趨勢一致，驗證了加工方法的正確性。

圖8 法向誤差

表2 實際加工誤差值

圖9 實際加工的齒形誤差

5 加工誤差影響

上面的計算的齒形誤差對蝸桿副的嚙合點是否存在影響，即:蝸桿副是否仍在設(shè)定的壓力角處嚙合，以及如若存在影響又是在何處嚙合，這些都是有必要進行討論研究的。

蝸桿副實現(xiàn)了蝸桿、鋼球和蝸輪的三體嚙合，蝸輪的加工等問題不在討論的范圍之內(nèi)，因而只研究蝸桿和鋼球的嚙合問題。鋼球的球心在蝸桿的準(zhǔn)線上，傳動時鋼球和蝸桿廓面嚙合，因而蝸桿和鋼球的嚙合點位于離蝸桿準(zhǔn)線的一個鋼球半徑的地方。因而我們只需要采用零間隙法原理［1］，不斷記錄離蝸桿準(zhǔn)線一個鋼球半徑位置處且位于蝸桿廓面上的點的坐標(biāo)，是否在原先設(shè)定的壓力角處，若不在，是否偏差較大即可。根據(jù)上面的原理，求得實際嚙合點的壓力角在24.987～25.015°之間，表1中設(shè)計的壓力角為25°。結(jié)果表明，壓力角的變動范圍較小，符合原始設(shè)計的要求，驗證了采用上述成形法加工蝸桿廓面并不改變傳動原理的設(shè)計思想。

6 結(jié)論

本文通過三坐標(biāo)測量機測量了環(huán)面蝸桿廓面上點的坐標(biāo)，基于雙三次B樣條曲面擬合原理，以測點為型值點反求B樣條曲面的控制點，擬合得到B樣條曲面。在理論蝸桿廓面的法向方向求解對應(yīng)的實際測點，得到蝸桿的齒形誤差，結(jié)果表明采用該方法加工蝸桿精度高，符合實際的需要，進一步驗證了加工方法的正確性，為后續(xù)誤差補償提供了依據(jù)。

［1］孫殿柱.真實齒面嚙合理論［M］.北京:科學(xué)出版社，2006.

［2］段振云，金映麗，李強.基于三坐標(biāo)測量的法向圓弧錐齒輪的誤差評定［J］.沈陽工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2003，25(5):364-366.

［3］梁艷.三維坐標(biāo)測量機實現(xiàn)螺旋錐齒輪測量的研究［J］.機械與電子，2009(19):465-466.

［4］王伏林，易傳云，楊叔子，等.二維數(shù)字化齒面加工誤差分析［J］. 華中科技大學(xué)學(xué)報，2003，31(11):55-57.

［5］孫殿柱，董學(xué)朱.描述真實齒面數(shù)學(xué)模型的研究［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報，2000，31(1):79-81.

［6］谷霽紅，李建華，樊紅衛(wèi)，等.弧齒錐齒輪測量齒面的NURBS重構(gòu)［J］.機械與電子，2010(2):41-43.

［7］陳厚軍.蒙日曲面共軛原理與環(huán)面蝸桿珠輪傳動技術(shù)的研究［D］.大連:大連理工大學(xué)，2009.

［8］張小萍，陳厚軍，王君澤，等.成形法加工新型環(huán)面蝸桿的原理性誤差分析［J］.機械設(shè)計，2011，28(12):44-47.

［9］應(yīng)道寧，吳中奇，王爾健.計算機繪圖［M］.浙江:浙江大學(xué)出版社，1995.

［10］張義寬，張曉濱，耿楠，等.計算機圖形學(xué)［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2010.

The Analysis and Verification for the Forming Method of Novel Toroidal Worm

ZHANG Yan，WANG Jun-ze，CHEN Hou-jun，ZHANG Xiao-ping
(School of Mechanical Engineering，Nantong University，Nantong 226019，China)

The novel toroidal worm pair is an improved type of transmission.Based on the forming method，the method of error assess of worm surface is put forward to verify the feasibility of the machining method.The actual coordinates，which are obtained by contact measurement of the three-coordinate instrument，are matched with theoretic coordinates with the radius compensation and coordinate conversion.The actual surface is fitted by bicubic B-spline surface，the sketch of the tooth profile error is obtained with the method of normal error，and the impact of error on the meshing points is analyzed.The results show that the tooth profile error is less than 0.0021mm，the trend of the actual tooth profile is consistent with theoretic，and the actual meshing points also meet the design requirement，thus verifying the correctness of machining methods.

toroidal worm;B-spline surface;forming method

TH132.44

A

1001-2265(2012)11-0021-04

2011-12-27;

2012-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(51105210);南通大學(xué)自然科學(xué)研究項目(10ZY006)

張燕(1987—)，女，江蘇揚州人，南通大學(xué)機械工程學(xué)院碩士研究生，研究方向為數(shù)字化制造與工程信息處理技術(shù);通訊作者:王君澤(1949—)，男，江蘇南通人，南通大學(xué)機械工程學(xué)院教授，碩士，研究方向為數(shù)字化設(shè)計與制造技術(shù)，(E-mail)wnag.jz@ntu.edu.cn。

(編輯 李秀敏)