費(fèi)成巍，白廣忱

隨著航空發(fā)動(dòng)機(jī)的推力、轉(zhuǎn)速、動(dòng)強(qiáng)度等日益提高，發(fā)動(dòng)機(jī)零部件的振動(dòng)載荷不斷增加，振動(dòng)引起的故障越來(lái)越受到關(guān)注，對(duì)于航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)而言，振動(dòng)故障診斷問(wèn)題一直是學(xué)術(shù)界和工程技術(shù)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一［1-2］。在眾多故障診斷方法中，一直受歡迎的支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)理論的發(fā)展出現(xiàn)了瓶頸，因?yàn)楹性肼暸c野值干擾的樣本在特征空間中總位于分類(lèi)面附近，造成了最優(yōu)分類(lèi)面的確定模糊性，往往導(dǎo)致所獲得的分類(lèi)面不是真正的最優(yōu)分類(lèi)面［3-4］。為了解決該問(wèn)題，大量學(xué)者融合了模糊理論和SVM理論的優(yōu)點(diǎn)，將隸屬度概念引入SVM，開(kāi)始研究模糊支持向量機(jī)(Fuzzy Support Vector Machine，F(xiàn)SVM)方法［4-7］。該方法是采用對(duì)不同的樣本賦予不同的懲罰權(quán)系數(shù)，以便根據(jù)不同樣本有不同貢獻(xiàn)原則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，對(duì)含有噪聲與野值的樣本賦予較小的權(quán)值，這樣就可以大大降低了噪聲與野值的影響。然而，隸屬度函數(shù)的設(shè)計(jì)是整個(gè)FSVM理論算法的關(guān)鍵，不同的隸屬度函數(shù)會(huì)對(duì)算法的處理結(jié)果以及算法實(shí)現(xiàn)的難易程度產(chǎn)生不同的影響［4-5］，這要求隸屬度函數(shù)必須能客觀(guān)、準(zhǔn)確、有效地反映系統(tǒng)中樣本存在的不確定性。目前，在FSVM方法中主要采用樣本到類(lèi)中心之間的距離來(lái)度量其隸屬度大小，該方法不能很好地區(qū)分有效樣本中含有噪聲或野值樣本［6-7］。

針對(duì)上述存在的問(wèn)題和航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障信息的特點(diǎn)，本文在確定模糊隸屬度時(shí)不僅考慮了樣本與類(lèi)中心之間的關(guān)系，還考慮了類(lèi)中各個(gè)樣本之間的關(guān)系，能有效地將支持向量與含噪聲或野值樣本區(qū)分開(kāi)。通過(guò)實(shí)例計(jì)算與分析檢驗(yàn)該方法在航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障分析中的有效性和準(zhǔn)確性。

1 模糊支持向量機(jī)

與常規(guī)SVM相比，F(xiàn)SVM的樣本除了特征與類(lèi)屬標(biāo)識(shí)外，還增加了隸屬度一項(xiàng)。下面對(duì)2類(lèi)分類(lèi)情況進(jìn)行討論。

設(shè)訓(xùn)練樣本集為{［x1，y1，μ(x1)］，…，［xn，yn，μ(xn)］}和核函數(shù)為 K(xi，xj)，其中，xi∈RN，類(lèi)標(biāo)識(shí)為yi∈{-1，1}及隸屬度為 0＜ μ(xi)≤1。K 對(duì)應(yīng)某特征空間 Z 的內(nèi)積，即 K(xi，xj)=〈 φ(xi)，φ(xj)〉，變換 φ:X→Z將訓(xùn)練樣本從原始模式空間RN映射到高維特征空間Z之間的映射關(guān)系，μ(xi)為訓(xùn)練樣本xi屬于yi的隸屬度。

由于隸屬度μ(xi)表示該樣本屬于第i類(lèi)的可靠程度，ξi是SVM目標(biāo)函數(shù)中分類(lèi)的誤差項(xiàng)，則μ(xi)ξi為帶權(quán)的誤差項(xiàng)，由文獻(xiàn)［8］得到最優(yōu)分類(lèi)面為下面目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

式中:ω為超平面的法向量，C為懲罰因子常數(shù)，b為超平面的偏置，ξi是松弛變量。由式(1)可知，當(dāng)μ(xi)值變小時(shí)減小了ξi在式(1)中的影響，導(dǎo)致相應(yīng)的xi為不重要的樣本。

則相應(yīng)最優(yōu)分類(lèi)面的判別函數(shù)式(也稱(chēng)分類(lèi)器)為:

式中:K(xi，xj)稱(chēng)為核函數(shù)，包括多項(xiàng)式函數(shù)、Sigmoid函數(shù)、高斯徑向基函數(shù)(Gaussian Radial Base Function，GRBF)，其中GRBF對(duì)應(yīng)的特征空間是無(wú)窮維的，且比其它核函數(shù)有效，受到普遍使用。αi的條件為下式:

αi＞0對(duì)應(yīng)樣本xi為支持向量，支持向量有兩種類(lèi)型:一種是滿(mǎn)足0≤αi≤μ(xi)C條件的支持向量xi位于分類(lèi)面附近;另一種是滿(mǎn)足αi=μ(xi)C條件的支持向量xi為錯(cuò)誤分類(lèi)樣本。FSVM與SVM方法的差別在于在FSVM中含有隸屬度μ(xi)，若同一個(gè)αi值的樣本xi在兩種方法中可能屬于不同類(lèi)型的支持向量。參數(shù)C是一個(gè)自定義的懲罰因子，對(duì)不同樣本的隸屬度賦予不同的C值可以達(dá)到對(duì)不同的樣本采用不同程度的懲罰作用［8］。

2 隸屬度的確定

2.1 傳統(tǒng)隸屬度確定方法

在SVM方法中，最優(yōu)分類(lèi)面主要由支持向量決定，支持向量位于類(lèi)邊緣，而野值或含噪聲的樣本常常也位于類(lèi)邊緣附近，例如含有野值或噪聲樣本的支持向量如圖1所示。前人已經(jīng)研究了利用距離和S函數(shù)來(lái)解決以上問(wèn)題，確定有效的隸屬度函數(shù)［7，9］，由于這兩種方法都是依據(jù)樣本到類(lèi)中心之間的距離確定樣本的隸屬度，對(duì)類(lèi)中每個(gè)樣本都要按照同一種方式進(jìn)行考慮，對(duì)有效樣本與含有異常信息樣本的分離效果不太好，故不能有效地反映樣本的不確定性。

圖1 含有野值或噪聲樣本示意圖Fig.1 Diagram of samples with outliers or noise

針對(duì)以上問(wèn)題，引入緊密度來(lái)改善隸屬度函數(shù)，如圖2兩個(gè)不同類(lèi)中樣本之間緊密度的差別。在圖2(a)與(b)中，樣本x到它們所在類(lèi)中心之間的距離相等，若僅依據(jù)距離來(lái)確定隸屬度則兩者的隸屬度相同。然而，若考慮圖2(a)中樣本x與類(lèi)中其他樣本之間的距離遠(yuǎn)小于圖2(b)中的距離這一情況，那么圖2(a)中樣本x屬于所在類(lèi)的隸屬度應(yīng)大于圖2(b)中的。

圖2 兩個(gè)不同類(lèi)中樣本之間緊密度的差別示意圖Fig.2 Affinity contrast from two classified samples

2.2 隸屬度確定函數(shù)的改進(jìn)

針對(duì)以上情況，嘗試在確定樣本的隸屬度時(shí)，充分考慮樣本到所在類(lèi)中心之間的距離和樣本與類(lèi)中其他樣本之間的關(guān)系，然而樣本與類(lèi)中其他樣本之間的關(guān)系可通過(guò)類(lèi)中樣本的緊密度來(lái)反映，每種類(lèi)別對(duì)應(yīng)一個(gè)球，于是可以得到訓(xùn)練支持向量機(jī)的k個(gè)球(am，Rm)，其中am是包圍m類(lèi)樣本球的球心，Rm為球的半徑，稱(chēng)這種方法為球緊密度隸屬度確定方法。

由上述分析可得到球緊密度FSVM的隸屬度函數(shù)［10］定義如下:

式中:d(xi)= φ(xi-ayi)，σ∈(0，1)。關(guān)于 σ 的取值，本文利用交叉確認(rèn)的方法獲得它的最優(yōu)值，即對(duì)應(yīng)FSVM分類(lèi)精度最高時(shí)的σ值。

3 FSVM診斷方法的數(shù)學(xué)模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障是多類(lèi)故障診斷問(wèn)題，需要建立多類(lèi)SVM分類(lèi)器。對(duì)于多分類(lèi)問(wèn)題，常用算法有一對(duì)多組合(one against rest，1-a-r)方法、一對(duì)一組合(one against one，1-a-l)方法和有向非循環(huán)圖法 SVM(Direeted Acyclic Graph SVM，DAGSVM)方法［11］。FSVM多分類(lèi)問(wèn)題是在這些方法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造隸屬函數(shù)以減少不可分區(qū)域，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。同理，將其推廣到FSVM的第一種形式，便得到了基于1-a-a的FSVM多分類(lèi)算法。

在這種算法中，對(duì)于一個(gè)k類(lèi)分類(lèi)問(wèn)題有訓(xùn)練樣本如下:

式中:xi∈RN;yi∈{1，2，…，k};0 ＜ μ(xi)≤1。

定義1:對(duì)于 RN上的一類(lèi)點(diǎn){x1，x2，…，xn}，記 xc為類(lèi)中心點(diǎn)，r為類(lèi)半徑。其中:

根據(jù)一對(duì)多組合思想進(jìn)行分類(lèi)，即依次訓(xùn)練k個(gè)兩類(lèi)分類(lèi)器，并且每次訓(xùn)練過(guò)程都是引入模糊性的(即事先為每個(gè)樣本xi生成一個(gè)模糊隸屬度μ(xi))。假如現(xiàn)在要將第l類(lèi)和剩余樣本分開(kāi)，根據(jù)上述定義易得到第l類(lèi)的中心點(diǎn)(記為x+)，類(lèi)半徑記為r+;將剩余樣本看做另一類(lèi)，其中心點(diǎn)記為x-，類(lèi)半徑記為 r-。引入一個(gè)充分小的δ避免μ(xi)=0，因此，模糊隸屬度μ(xi)可定義為:

接下來(lái)進(jìn)行FSVM的訓(xùn)練過(guò)程，每次可得一個(gè)兩類(lèi)分類(lèi)器。當(dāng)所有訓(xùn)練結(jié)束時(shí)，根據(jù)式(3)可以得到k個(gè)兩類(lèi)最優(yōu)分類(lèi)器:

對(duì)于新給的測(cè)試樣本x被分入:

依照上述步驟可以有效地對(duì)多類(lèi)的故障樣本進(jìn)行分析和分類(lèi)。

4 實(shí)例計(jì)算與分析

4.1 參數(shù)選擇和故障分析流程圖

本文以航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)為研究對(duì)象，振動(dòng)數(shù)據(jù)來(lái)源于某航空發(fā)動(dòng)機(jī)研究單位臺(tái)架試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫(kù)里的5個(gè)典型截面的9個(gè)垂直和水平方向振動(dòng)數(shù)據(jù)，5個(gè)典型截面劃分［2］如表1所示。

表1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)測(cè)點(diǎn)位置選擇Tab.1 Location choice of the Aero-engine whole-body vibration measuring point

這些振動(dòng)數(shù)據(jù)包括臺(tái)架松動(dòng)、動(dòng)靜碰磨、軸系不對(duì)中和轉(zhuǎn)子不平衡4種典型故障的大量數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析之后，每個(gè)測(cè)點(diǎn)選取了包括4種典型故障的40組數(shù)據(jù)，共360組數(shù)據(jù)，有9個(gè)訓(xùn)練樣本集。將此數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)預(yù)處理后形成高維空間向量，利用信息增益的方法進(jìn)行特征降維，向量中的每個(gè)權(quán)重根據(jù)極值原理求得。FSVM模型中，本文選擇GRBF核函數(shù)，高斯分布寬度參數(shù)δ取4，懲罰參數(shù)C取361。利用交叉確認(rèn)的方式找出σ的最優(yōu)值為0.8，此時(shí)對(duì)應(yīng) FSVM的最高診斷正確率為94.81%。圖3給出了不同的σ值對(duì)緊密度FSVM對(duì)數(shù)據(jù)樣本正確分類(lèi)的影響。

圖3 不同的σ值相對(duì)應(yīng)緊密度FSVM分類(lèi)的正確率Fig.3 Classified accurate rate of affinity FSVM to σ

4.2 模糊支持向量機(jī)故障分析

在基于FSVM的航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障分析過(guò)程中，本文以故障的診斷為例進(jìn)行故障分析，先用9個(gè)測(cè)點(diǎn)的90組(即每個(gè)測(cè)點(diǎn)選取10組，包括4種典型故障的數(shù)據(jù))訓(xùn)練樣本建立FSVM診斷模型，再將每個(gè)測(cè)點(diǎn)剩余的30組測(cè)試樣本輸入FSVM網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練模型，然后采用決策規(guī)則對(duì)該模型的輸出進(jìn)行判斷，確定樣本所屬的類(lèi)別。為檢驗(yàn)基于緊密度FSVM故障診斷方法的有效性，基于相同的診斷樣本，分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、傳統(tǒng)SVM、基于類(lèi)中心距FSVM進(jìn)行了故障診斷，其結(jié)果如表2所示。

表2 航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障診斷結(jié)果及比較Tab.2 Diagnosis results and their comparison of aeroengine whole-body vibration fault

表3 有噪聲干擾條件下的診斷結(jié)果Tab.3 Diagnostic results with noise interference

從計(jì)算結(jié)果可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)診斷結(jié)果最差，正確率僅為81.85%，這說(shuō)明在小樣本情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)診斷方法不如SVM診斷方法有效;其他三種方法診斷結(jié)果相比較，基于緊密度FSVM的故障診斷準(zhǔn)確率(90.37%)比常規(guī)SVM故障診斷準(zhǔn)確率(85.93%)和基于類(lèi)中心距FSVM診斷準(zhǔn)確率(87.41%)明顯提高，驗(yàn)證了基于緊密度隸屬度FSVM的故障診斷方法的有效性和可行性。

4.3 緊密度FSVM抗噪聲能力檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)基于緊密度FSVM診斷系統(tǒng)在有噪聲干擾條件下的診斷能力，給輸入數(shù)據(jù)疊加信噪比為2的高斯白噪聲信號(hào)，經(jīng)診斷后得到分類(lèi)正確率為88.33%;為了體現(xiàn)出基于緊密度FSVM的抗噪聲能力，基于同樣的診斷樣本和疊加相同的噪聲，也分別利用SVM和類(lèi)中心距FSVM進(jìn)行故障分析，其結(jié)果如表3所示。由表3可以看出:在強(qiáng)噪聲干擾情況下，基于緊密度FSVM的診斷正確率能達(dá)到88.33%，而傳統(tǒng)SVM和類(lèi)中心距FSVM的診斷精確度分別為83.06%和85.83%。緊密度FSVM診斷精度雖然沒(méi)有無(wú)噪聲干擾情況下的診斷精確度高，但仍然明顯優(yōu)于SVM和類(lèi)中心距FSVM的診斷精確度，可見(jiàn)在強(qiáng)噪聲干擾情況下基于緊密度FSVM診斷系統(tǒng)仍能對(duì)輸入樣本很好地分類(lèi)，這說(shuō)明FSVM具有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)能力。

5 結(jié)論

(1)針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障信息不確定性、模糊性和故障樣本缺乏的突出問(wèn)題，對(duì)FSVM傳統(tǒng)的隸屬度確定函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，介紹了基于緊密度函數(shù)的隸屬度確定方法。

(2)將FSVM融合分析方法應(yīng)用到航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障診斷中。首先通過(guò)交叉驗(yàn)證的方法確定FSVM理論中σ的最優(yōu)值;再通過(guò)實(shí)例計(jì)算與分析，驗(yàn)證了無(wú)論在無(wú)噪聲干擾情況下還是在有強(qiáng)噪聲干擾下該方法故障診斷正確率比采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、SVM方法和類(lèi)中心距FSVM方法的正確率高，顯示了強(qiáng)大的分類(lèi)性能和抗噪性能力的優(yōu)點(diǎn)。在一定程度上為航空發(fā)動(dòng)機(jī)整機(jī)振動(dòng)故障有效、準(zhǔn)確地診斷與分析提供了一種新的方法。

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