楊 丹，甘春標(biāo)，楊世錫，熊 炘

含裂紋轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)特性主要受轉(zhuǎn)軸的時(shí)變剛度的影響?，F(xiàn)有的橫向裂紋剛度軸模型有兩種:全開裂紋模型和開閉裂紋模型。全開裂紋模型是指在轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中，裂紋始終受到拉應(yīng)力作用或者不容易閉合，因此裂紋是常開的。開閉裂紋模型是指在轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中，裂紋時(shí)而張開，時(shí)而閉合，時(shí)而半開半閉，其綜合考慮了裂紋截面的三種狀態(tài)，因此更能反映實(shí)際轉(zhuǎn)子的運(yùn)行情況。國內(nèi)外學(xué)者提出了多種模型來描述裂紋的開閉規(guī)律，如方波模型［3］、余弦模型［4］和高朱模型［5］，以上這些模型近似地模擬了裂紋的開閉規(guī)律，確定剛度的方式比較簡單。Dimarogonas等［6］提出了借助斷裂力學(xué)理論來計(jì)算裂紋軸的附加柔度，在理論上分析了裂紋轉(zhuǎn)子的開閉規(guī)律。林言麗等［7］基于中性軸理論，假設(shè)重力占優(yōu)，根據(jù)截面的平衡條件得到了適用于低速運(yùn)行轉(zhuǎn)子的裂紋剛度的數(shù)值解。王宗勇等［8］在裂紋處于全開和半開半閉狀態(tài)時(shí)，中性軸依然經(jīng)過完好裂紋截面形心的假設(shè)下，推導(dǎo)了基于中性軸理論的開閉裂紋剛度解析解。

本文以兩端剛性支承的Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，首先參考王宗勇等在文獻(xiàn)［8］中給出的裂紋模型解析解，同時(shí)考慮裂紋張開區(qū)域?qū)孛嬷行暂S位置的影響［7］，利用中性軸理論模擬了裂紋的開閉規(guī)律，由裂紋截面的慣性矩與慣性積得到了截面各方向剛度系數(shù)數(shù)值解。然后建立了不依賴于重力占優(yōu)假設(shè)的運(yùn)動微分方程，借助時(shí)域波形圖、頻譜圖、相軌跡圖、軸心軌跡圖，得出系統(tǒng)動力學(xué)特性隨裂紋深度、轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律。

1 系統(tǒng)動力學(xué)方程

本文研究的含橫向裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子模型如圖1所示，該Jeffcott轉(zhuǎn)子模型兩端剛性支承，在轉(zhuǎn)軸中心處有一質(zhì)量為m，阻尼為c的圓盤，在轉(zhuǎn)軸靠近圓盤處有一條橫向弓形裂紋。支撐連線垂直于xy平面，且經(jīng)過原點(diǎn)，x軸垂直向下，y軸為水平方向。圖2給出了開閉裂紋模型示意圖，其中:e為質(zhì)量偏心;o'ρ為轉(zhuǎn)軸的變形方向;o'ξ為裂紋擴(kuò)展方向，即法向;o'η為裂紋擴(kuò)展垂直方向，即切向;ψ為轉(zhuǎn)子的渦動角;θ為自轉(zhuǎn)角;φ=θ－ψ為裂紋參考角，即轉(zhuǎn)渦差角;β為不平衡量與裂紋方向之間的夾角;α為裂紋角。

圖1 含橫向裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子Fig.1 The Jeffcott rotor with the cross crack

圖2 開閉裂紋模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of the switching crack model

僅考慮轉(zhuǎn)子的橫向振動，忽略裂紋對系統(tǒng)質(zhì)量和阻尼的影響，利用Lagrange方程建立系統(tǒng)在圖2所示的直角坐標(biāo)系xoy中的動力學(xué)方程［9］:

式(1)中:m為圓盤的質(zhì)量，c為圓盤的阻尼系數(shù)，kx、ky、kxy為兩橫向剛度及耦合剛度系數(shù)，e為圓盤的偏心量，ω為轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)角速度。令=ω/Ω，θ=ωτ/Ω+θ0，可得含裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的無量綱形式如下:

式(2)中:kx、ky、kxy分別為:

（1）施工準(zhǔn)備?；鶎邮┕で皯?yīng)對相關(guān)機(jī)具設(shè)備進(jìn)行檢測，確保性能完好，可滿足施工需求；應(yīng)對下承層路基進(jìn)行相應(yīng)處理，清掃雜物后使用22t鋼輪壓路機(jī)進(jìn)行碾壓，對干燥松散部分應(yīng)進(jìn)行適當(dāng)灑水，碾壓完成后應(yīng)檢測其彎沉值，符合設(shè)計(jì)與規(guī)范要求后方可進(jìn)行基層施工[3]。

式(3)中:kξ為裂紋法向剛度系數(shù)，kη為切向剛度系數(shù)，kξη為耦合剛度系數(shù)。影響開閉裂紋截面剛度系數(shù)的是裂紋張開區(qū)域的面積與形狀，本文基于材料力學(xué)中性軸理論［10］，在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上考慮裂紋張開區(qū)域?qū)χ行暂S位置的影響，利用求得的中性軸與裂紋的相對位置確定裂紋的張開、閉合區(qū)域，借助截面慣性矩建立一種更為準(zhǔn)確的開閉裂紋轉(zhuǎn)子剛度模型。

2 開閉裂紋剛度模型的研究

2.1 基于中性軸理論的裂紋模型

在轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中，裂紋截面的拉伸區(qū)與壓縮區(qū)隨著應(yīng)力場分布的變化不斷變化，引起裂紋的張開、閉合交替變化，從而導(dǎo)致裂紋截面的剛度不斷發(fā)生變化。中性軸［10］是平面彎曲和斜彎曲時(shí)橫截面和應(yīng)力平面的交線，是截面拉壓區(qū)域的分界線，如圖3所示，位于中性軸上方的裂紋截面處于壓應(yīng)力區(qū)，位于中性軸下方的處于拉應(yīng)力區(qū)。文獻(xiàn)［7］基于中性軸理論與截面的平衡條件得到了裂紋截面剛度的數(shù)值解，但是該剛度模型假設(shè)重力占優(yōu)，僅適用于低速運(yùn)行的轉(zhuǎn)子。文獻(xiàn)［8］基于裂紋處于全開或半開半閉狀態(tài)時(shí)，截面的中性軸依然經(jīng)過完好截面形心的假設(shè)，給出了裂紋截面剛度的解析解。但是由于裂紋的存在，裂紋在全開或半開半閉狀態(tài)下，中性軸不通過完好截面形心［7］，因此，文獻(xiàn)［8］在確定裂紋張開、閉合區(qū)域時(shí)會有不太準(zhǔn)確的情況。本文在不考慮裂紋端應(yīng)力集中的假設(shè)條件下，當(dāng)裂紋處于全開或半開半閉狀態(tài)時(shí)，考慮裂紋張開區(qū)域?qū)α鸭y截面中性軸位置的影響，得到偏離完好截面形心一定距離的中性軸，如圖3所示。o'l是完好截面的中性軸，由于裂紋的存在，中性軸常常偏移圓心o'一定的距離，位于中性軸上方的部分裂紋面處于壓應(yīng)力區(qū)，處于閉合狀態(tài)，如圖3中陰影部分，位于中性軸下方的部分裂紋面處于拉應(yīng)力區(qū)，處于張開狀態(tài)。我們需要確定中性軸的位置來確定裂紋的張開、閉合區(qū)域，在截面上找到一條方向垂直于轉(zhuǎn)軸渦動方向的中性軸，使其滿足截面的軸向力平衡條件［10］:

圖3 裂紋截面中性軸位置示意圖Fig.3 Schematic diagram of the neutral axis position on the crack section

式(4)中:N是裂紋截面的軸向合力，σ是截面上任意一點(diǎn)正應(yīng)力，A是圖3中陰影部分的面積，即截面的無裂紋區(qū)域加上裂紋的閉合區(qū)域。根據(jù)材料力學(xué)理論［10］，假設(shè)不考慮應(yīng)力集中，純彎曲時(shí)距離中性軸為y的任意一點(diǎn)的正應(yīng)力為:

式(5)中:y的正負(fù)號取決于該點(diǎn)位于拉應(yīng)力區(qū)還是壓應(yīng)力區(qū)，E是彈性模量，ρ是彎曲半徑。E/ρ是常量，故由式(4)、式(5)知，必須有橫截面(圖3陰影部分)對中性軸的靜矩等于零［10］，即:

由式(6)確定對應(yīng)轉(zhuǎn)渦差角下裂紋截面的中性軸位置，從而確定裂紋張開、閉合區(qū)域，然后通過求解截面慣性矩得到相應(yīng)的剛度。

2.2 剛度求解

首先，由式(6)可得不同轉(zhuǎn)渦差角時(shí)中性軸相對圓心o'的距離，圖4是裂紋角分別為π/6、π/4、π/3時(shí)中性軸相對圓心的距離隨著轉(zhuǎn)渦差角的變化。由圖4可知:中性軸相對圓心的距離隨著轉(zhuǎn)渦差角以2π為周期波動，裂紋開閉過程和閉開過程關(guān)于轉(zhuǎn)渦差角以π對稱，裂紋全閉的轉(zhuǎn)渦差角范圍隨著裂紋加深而縮小。在裂紋角較小時(shí)(α=π/6)，中性軸移動距離接近于0，說明此時(shí)中性軸靠近圓心;當(dāng)裂紋角較大時(shí)(α=π/3)，中性軸有著非常明顯的偏移。

圖4 中性軸相對圓心的距離Fig.4 Relative distance between the neutral axis and the centre of circle

中性軸是裂紋截面拉壓區(qū)域的分界線，截面的拉、壓應(yīng)力分布場決定裂紋的張開、閉合區(qū)域:當(dāng)裂紋完全處于拉應(yīng)力區(qū)域時(shí)，裂紋處于全開狀態(tài);當(dāng)裂紋完全處于壓應(yīng)力區(qū)域時(shí)，裂紋處于全閉狀態(tài);當(dāng)裂紋邊界線與中性軸相交時(shí)，裂紋處于半開半閉狀態(tài)。因此，在確定了不同轉(zhuǎn)渦差角對應(yīng)的中性軸的位置后，即可確定相應(yīng)轉(zhuǎn)渦差角下裂紋的張開、閉合區(qū)域，從而確定轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中，裂紋全開狀態(tài)、由開到閉過渡狀態(tài)、全閉狀態(tài)以及由閉到開過渡狀態(tài)的轉(zhuǎn)渦差角范圍:

全開:(－π/2－Δ+α)～(π/2+Δ－α)

開閉過渡:(π/2+Δ－α)～(π/2+α)

全閉:(π/2+α)～(3π/2－α)

閉開過渡:(3π/2－α)～(3π/2Δ+α)

其中:

表1和表2分別給出了不同裂紋深度時(shí)，本文模型和文獻(xiàn)［8］模型各個(gè)狀態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)渦差角范圍，由于裂紋開閉過程與裂紋閉開過程的對稱性，表中僅給出了裂紋全開、由開到閉、裂紋全閉三種狀態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)渦差角范圍。由表可知:隨著裂紋角的增大，裂紋全開、全閉狀態(tài)的轉(zhuǎn)渦差角范圍減小，半開半閉過渡狀態(tài)的轉(zhuǎn)渦差角范圍增大。本文模型裂紋全開狀態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)渦差角范圍比文獻(xiàn)［8］模型大，半開半閉狀態(tài)對應(yīng)的轉(zhuǎn)渦差角范圍比文獻(xiàn)［8］模型小。

表1 不同裂紋深度下本文模型關(guān)于裂紋開閉的轉(zhuǎn)渦差角Tab.1 The present switching crack angle with different crack depth

表2 不同裂紋深度下文獻(xiàn)［8］模型關(guān)于裂紋開閉的轉(zhuǎn)渦差角Tab.2 The switching crack angle with different crack depth from［8］

由中性軸和裂紋的相對位置確定了裂紋的張開、閉合區(qū)域后，即可求得轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系下截面無裂紋區(qū)域和裂紋閉合區(qū)域?qū)τ趏η軸和oξ軸的慣性矩及積慣性矩:

式(7)中，A為圖3中陰影部分的面積。

借助截面各方向慣性矩的求解結(jié)果，得到裂紋截面各方向的剛度系數(shù)。以α=π/3為例，對本文模型和文獻(xiàn)［8］模型作對比，由于裂紋開閉過程與閉開過程的對稱性，圖5～圖7給出了轉(zhuǎn)渦差角0～π范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系下的相對剛度系數(shù)。由圖可知，本文模型較之于文獻(xiàn)［8］模型延遲進(jìn)入半開半閉狀態(tài)，產(chǎn)生這種情況的原因是文獻(xiàn)［8］在裂紋處于完全張開狀態(tài)與半開半閉狀態(tài)時(shí)，依然假設(shè)中性軸通過完好截面形心，而本文依據(jù)中性軸的定義，考慮了裂紋張開區(qū)域?qū)χ行暂S位置的影響。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)渦差角由37.8°轉(zhuǎn)至90°時(shí)，由于本文模型中性軸相較于完好截面中性軸有明顯的偏移，本文模型的裂紋法向剛度和切向剛度系數(shù)比文獻(xiàn)［8］模型大，耦合剛度系數(shù)比文獻(xiàn)［8］模型小。在其他轉(zhuǎn)渦差角下，本文模型和文獻(xiàn)［8］模型各剛度曲線基本重合。

2.3 裂紋深度對截面不同方向剛度的影響

本文模型綜合考慮了裂紋全開，過渡和全閉三種狀態(tài)。圖8～圖10分別給出了不同裂紋深度時(shí)含裂紋截面的裂紋法向、切向與耦合相對剛度曲線。由圖可知:裂紋的存在對裂紋法向和切向剛度系數(shù)的影響較大，對耦合剛度系數(shù)影響較小，并且耦合剛度系數(shù)總接近于零值。隨著裂紋深度的增加，裂紋對剛度的影響增大，裂紋半開半閉的過渡過程更加明顯。不同裂紋深度時(shí)，各剛度曲線形狀基本一致:法向剛度曲線呈現(xiàn)曲邊梯形狀，切向剛度呈現(xiàn)五個(gè)平臺的階梯形狀，耦合剛度呈現(xiàn)對稱的半周期正弦曲線形狀。

3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

為了了解系統(tǒng)的動力學(xué)特性，需研究參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)的各種運(yùn)動現(xiàn)象。本文采用龍格－庫塔法求解無量綱化的非線性振動微分方程，通過數(shù)值仿真獲得系統(tǒng)在不同參數(shù)變化下的振動響應(yīng)，分析和研究了含裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子的時(shí)間歷程、響應(yīng)頻譜、相軌跡、軸心軌跡。設(shè)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各參數(shù)值為:

3.1 裂紋深度對振動響應(yīng)的影響

無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的一階臨界固有頻率為fc=/2π =140.5 Hz。圖 11(1)、(2)、(3)行給出裂紋角為 π/6、π/4、π/3時(shí)轉(zhuǎn)頻f=fc/3=46.8 Hz時(shí)系統(tǒng)振動響應(yīng)的水平方向時(shí)域波形圖、頻譜圖、相軌跡圖和軸心軌跡圖。由圖可知:頻譜圖上包含工頻的1倍頻、2倍頻與3倍頻分量，其中3倍頻分量較為突出，1倍頻分量主要由質(zhì)量偏心引起，其他分量則主要由裂紋產(chǎn)生。相軌跡圖和軸心軌跡圖由三條封閉曲線組成。隨著裂紋深度的增加，系統(tǒng)響應(yīng)的高階諧波分量更加明顯，3倍頻分量與其他倍頻分量的大小差距縮小，裂紋較深時(shí)(裂紋角為π/4、π/3)頻譜圖上出現(xiàn)了相對微弱的4倍頻分量，軸心軌跡和相軌跡圖也都有著非常明顯的變化。

3.2 轉(zhuǎn)速對振動響應(yīng)的影響

圖12(1)、(2)、(3)行給出裂紋角為 0.3π 時(shí)轉(zhuǎn)頻分別為fc/3，fc/2，fc時(shí)系統(tǒng)振動響應(yīng)的水平方向時(shí)域波形圖、頻譜圖、相軌跡圖和軸心軌跡圖。由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)頻等于一階臨界固有頻率的1/3和1/2時(shí):由偏心引起的振動響應(yīng)較小，還不足以掩蓋由裂紋引起的振動響應(yīng)，因此頻譜圖上包含比較豐富的高次諧波分量，軸心軌跡圖和相軌跡圖都呈不同大小的圓圈交叉狀。此時(shí)由于裂紋的存在，系統(tǒng)的固有頻率被激發(fā)，出現(xiàn)分?jǐn)?shù)次共振現(xiàn)象，可作為裂紋故障的重要特征。當(dāng)轉(zhuǎn)頻等于一階臨界固有頻率時(shí):由偏心引起的振動響應(yīng)起主導(dǎo)作用，因此轉(zhuǎn)盤的橫向振動為轉(zhuǎn)速的同頻振動，軸心軌跡圖和相軌跡圖都呈規(guī)則形狀。

4 結(jié)論

本文根據(jù)中性軸理論，研究了不同裂紋深度下裂紋開閉規(guī)律和轉(zhuǎn)軸的時(shí)變剛度。在此基礎(chǔ)上，建立了含橫向裂紋Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，較詳細(xì)地討論了裂紋深度和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)振動特性的影響，得到了如下結(jié)論:

(1)考慮裂紋的張開區(qū)域?qū)χ行暂S位置的影響，能更加準(zhǔn)確地揭示含裂紋轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)軸剛度的時(shí)變特性。裂紋對裂紋截面的法向和切向剛度系數(shù)的影響較大，而耦合剛度系數(shù)總接近于零值。

(2)隨著裂紋深度的增加，裂紋的開閉過渡過程更加明顯，系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜圖趨向復(fù)雜，高階諧波分量更加明顯，軸心軌跡和振動響應(yīng)相軌跡圖也都有著非常明顯的變化。

(3)當(dāng)轉(zhuǎn)速等于一階臨界轉(zhuǎn)速的1/3和1/2時(shí)，系統(tǒng)的固有頻率被激發(fā)，出現(xiàn)分?jǐn)?shù)次共振現(xiàn)象。

(4)在轉(zhuǎn)速較低時(shí)，由質(zhì)量偏心引起的振動響應(yīng)較小，不足以掩蓋由裂紋引起的振動響應(yīng)，故在軸心軌跡圖和振動響應(yīng)相圖中，都呈不同大小的圓圈交叉狀;在轉(zhuǎn)速較高時(shí)，由質(zhì)量偏心引起的振動響應(yīng)起主導(dǎo)作用，軸心軌跡圖和振動響應(yīng)相圖都呈現(xiàn)規(guī)則形狀。

［1］Wang C H，Brown M W.Life prediction techniques for variable amplitude multiaxial fatigue［J］. Journal of Engineering Materials and Technology，Transaction of the ASME，1996，118(3):367－370.

［2］Shang D G，Wang D J.Simple approach to the description of multiaxial cyclic stress－ strain relationship［J］.International Journal of Fatigue，2000，22(3):251 －256.

［3］Gasch R.A survey of the dynamic behavior of a simple rotating shaft with a transverse crack［J］.J.Sound and Vibration，1993，160(2):313 －332.

［4］Mayes I W，Mayes I W，Davies W G R，et al.Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor［J］.Journal of Vibration，Acousties，Stress，and Reliability in Design，1984，106:139－145.

［5］高建民，朱曉梅.轉(zhuǎn)軸上裂紋開閉模型的研究［J］.應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào)，1992，9(1):108 －112.GAO Jian-min，ZHU Xiao-mei.Study on the model of the shaft crack opening and closing［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1992，9(1):108 －112.

［6］Dimarogonas A D.Vibration of cracked structures:a state of the art review［J］.Engineering Fracture Mechanics，1996，55(5):831－875.

［7］林言麗，褚福磊.裂紋轉(zhuǎn)子的剛度模型［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44(1):114 －120.LIN Yan-li，CHU Fu-lei.Stiffness models for the cracked shaft of the rotor systme［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2008，44(1):114 －120.

［8］王宗勇，林 偉，聞邦春.開閉裂紋轉(zhuǎn)軸剛度的解析研究［J］.振動與沖擊，2010，29(9):69－72.WANG Zong-yong，LIN Wei，WEN Bang-chun.Analysisi on stiffness of rotor system with a swiching crack.Journal of Vibration and Shock.2010，29(9):69 －72.

［9］鄒 劍，陳 進(jìn)，蒲亞鵬，等.開閉裂紋轉(zhuǎn)子的建模與彎曲剛度特性研究［J］.振動與沖擊，2001，20(4):47－49.ZOU Jian，CHEN Jin，PU Ya-peng，et al.On modeling and bending stiffness properties of rotor with switching crack［J］.Journal of Vibration and Shock.2001，20(4):47－49.

［10］劉鴻文.材料力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2004.LIU Hong-wen. Mechanics of materials［M］. Higher Education Press，Beijing，2004.