姚熊亮，王獻(xiàn)忠，孫龍泉

在國(guó)防和工業(yè)領(lǐng)域，特別是在航空、船舶和化工行業(yè)，在結(jié)構(gòu)表面敷設(shè)阻尼材料這種方法在抑制振動(dòng)與聲輻射方面得到廣泛應(yīng)用。作為從這些行業(yè)中的典型工程結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的理論模型——帶有阻尼負(fù)載的圓柱殼結(jié)構(gòu)，它的聲傳遞特性問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)流－固耦合系統(tǒng)的聲傳遞問(wèn)題，一直以來(lái)都是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。Kagawa等［1］首先針對(duì)圓柱薄殼一面敷設(shè)阻尼材料的情況，進(jìn)行對(duì)稱和非對(duì)稱模態(tài)分析，Markus［2－3］應(yīng)用經(jīng)典薄殼理論研究了有限長(zhǎng)圓柱殼的阻尼特性，分別討論了阻尼負(fù)載在殼體外表面、內(nèi)表面、內(nèi)外表面的情況。Iyer［4］用模態(tài)分析法和殼體理論研究了圓柱殼在具有與正則模態(tài)相同分布的線激勵(lì)作用下的聲振響應(yīng)。Zhang［5－6］采用復(fù)模量形式計(jì)及殼體和粘彈性阻尼材料的損耗因子，用遷移矩陣法研究了周期粘彈性復(fù)合圓柱殼的波傳播和功率流。這些研究側(cè)重在圓柱殼聲傳遞機(jī)理及表面阻尼處理方法上，而對(duì)如聲波入射角度、結(jié)構(gòu)參數(shù)等因素對(duì)聲傳遞的影響研究很少涉及。然而結(jié)構(gòu)聲傳遞特性是噪聲控制和結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計(jì)的重要參考依據(jù)，因此開(kāi)展有阻尼負(fù)載的圓柱殼的聲傳遞特性研究具有廣泛且重要的工程指導(dǎo)意義。Koval［7］開(kāi)展了斜入射平面波入射到各向異性圓柱殼上的聲波傳遞特性研究。Daneshjou等［8］主要針對(duì)各向異性復(fù)合材料圓柱殼的聲波傳遞特性進(jìn)行研究，但是其中給出的聲振耦合方程忽略了部分高階項(xiàng)。本文采用文獻(xiàn)［7］中對(duì)復(fù)合殼體的描述方法，并對(duì)文獻(xiàn)［8］中的聲振耦合方程進(jìn)行補(bǔ)充，給出修正后的復(fù)合殼體的運(yùn)動(dòng)微分方程。在此基礎(chǔ)上，本文主要對(duì)浸沒(méi)在勻速流動(dòng)的流體介質(zhì)中的阻尼負(fù)載圓柱殼的聲傳遞特性進(jìn)行研究，著重討論分析了聲波入射角度、阻尼厚度、殼體厚度、殼體半徑等對(duì)聲傳遞損失的影響，所得結(jié)論對(duì)指導(dǎo)結(jié)構(gòu)聲學(xué)設(shè)計(jì)具有重要意義。

1 理論分析

1.1 復(fù)合殼體運(yùn)動(dòng)方程

考慮有阻尼負(fù)載的圓柱殼，假設(shè)圓柱殼為無(wú)限長(zhǎng)薄殼，外界環(huán)境為均勻流動(dòng)的理想流體，如圖1所示。浸沒(méi)在流體中無(wú)限長(zhǎng)有阻尼負(fù)載的圓柱殼振動(dòng)方程可由板殼理論［9］中殼體的平衡微分方程推導(dǎo)得到。本文考慮兩彈性層膠合的復(fù)合殼系統(tǒng)，其中內(nèi)部彈性層為彈性圓柱殼，厚度為h1，彈性模量為E*1，取E*1=E1，泊松比為μ1;外部粘彈性層為阻尼負(fù)載層，厚度為h2，泊松比為μ2，彈性模量為復(fù)模量E*2=E2(1+iη)，其中η為粘彈性材料的損耗因子。

圖1 有阻尼負(fù)載圓柱殼的結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.1 Computational model of cylindrical shell with damping layer load

基于板殼的Kirchhoff假設(shè)，復(fù)合殼的平衡微分方程［3］可表示為:

其中:R 為復(fù)合殼體的平均半徑，Nφ、Nx、Nxφ、Mxφ、Mx、Mφ分別表示由殼體變形所引起沿 x，y，z三個(gè)方向

式中:x，φ和r分別表示殼體的軸向、周向和徑向自變量，u，v和w分別為殼體的軸向、周向和徑向位移。m代表有阻尼負(fù)載圓柱殼單位面積的質(zhì)量。A1、A1v、B1、B1v、D1v、p表達(dá)式見(jiàn)附錄。假設(shè)與殼體軸向波數(shù)k1x有關(guān)的殼壁位移的簡(jiǎn)正波模式為:

將方程(3a)、(3b)、(3c)代入方程(2a)、(2b)、(2c)中可得:

1.2 流體介質(zhì)中的聲場(chǎng)

聲波在均勻流動(dòng)流場(chǎng)中傳播，因而聲壓P必須滿足流場(chǎng)中的波動(dòng)方程，由此可得:

其中:M為Mach數(shù)，cf為流體中的波速。

柱坐標(biāo)系下的簡(jiǎn)諧入射波Pl可以表示為［10］:

式中:εn為Neumann因子，即:

k1= ω/c1(1+M cosθ)，k1x=k1cosθ，k1r=k1sinθ，M 代表馬赫數(shù)，θ代表入射角度。

依據(jù)Hankel函數(shù)［10］性質(zhì)，有阻尼負(fù)載圓柱殼體上的反射波和透射波可分別表示為:

1.3 邊界條件

在流體與殼體的接觸面上，外(內(nèi))部流體的徑向位移必須等于有阻尼負(fù)載圓柱殼體的徑向位移，即:

1.4 聲波的傳遞損失

將方程式(3c)、(6)、(7)、(8)代入到方程(9)、(10)中可得:

其中:p={0，0，－p0εn(－i)nJn(k1rR)，－p0εn(－i)nJ'n(k1rR1)k1r，0}，因此所有未知數(shù)項(xiàng)均可由激勵(lì)輸入項(xiàng)p0表示。

聲波在有阻尼負(fù)載圓柱殼中的傳遞損失［7］可以定義為自由阻尼負(fù)載外界流體中的入射聲功率與透射到殼體內(nèi)部流體介質(zhì)中透射聲功率之比:

其中:入射聲功率及透射聲功率為:

將式(15)、式(16)代入到式(14)中可以得到:

2 數(shù)值結(jié)果

本文以浸沒(méi)在水中的有阻尼負(fù)載圓柱殼為例，計(jì)算了聲波在其中的傳遞特性。計(jì)算中取:內(nèi)層彈性材料取鋼板，彈性模量 E=2.1e11 N/m2，泊松比 μ =0.3，密度ρ=7 800 kg/m3，厚度h1=0.001 m;外層粘彈性阻尼材料，彈性模量E=1e8 N/m2，泊松比μ=0.5，密度ρ=1 100 kg/m3，厚度 h1=0.002 m，損耗因子 η =0.4，殼體平均半徑R=1 m。水的密度ρ=1 000 kg/m3，水中聲速c=1 500 m/s。

為了驗(yàn)證本文計(jì)算方法的有效性，分別采用本文方法及文獻(xiàn)［7］中方法對(duì)有阻尼負(fù)載圓柱殼時(shí)的聲傳遞損失進(jìn)行計(jì)算，圖2為本文計(jì)算方法與文獻(xiàn)中計(jì)算結(jié)果的對(duì)比曲線。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，采用本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［7］中結(jié)果吻合較好，證明本文方法的有效性。但是在低頻時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果稍有差異，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)［7］中未考慮軸向和周向的慣性項(xiàng)。

同時(shí)從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，圓柱殼結(jié)構(gòu)的傳遞損失與結(jié)構(gòu)的固有頻率和激勵(lì)頻率密切相關(guān)。當(dāng)激勵(lì)頻率與其固有頻率相等時(shí)，結(jié)構(gòu)的聲傳遞損失急劇下降，出現(xiàn)聲傳遞損失的“失效頻率點(diǎn)”，圖中計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率為67 Hz。同時(shí)傳遞損失曲線具有明顯的環(huán)頻率點(diǎn)fr和吻合頻率點(diǎn)fc，從(0－fr)頻帶內(nèi)，聲波的傳遞受到剛度調(diào)整，(fr－fc)頻帶內(nèi)，聲波的傳遞受到質(zhì)量控制，(f＞fc)則位于吻合控制區(qū)，這與文獻(xiàn)［7］的理論分析相符，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的合理性和正確性。

圖2 聲傳遞損失隨頻率的變化曲線Fig.2 Curve of sound transmission loss

3 聲傳遞特性

為了研究復(fù)合圓柱殼聲傳遞特性，分別計(jì)算分析了不同聲波入射角度、不同阻尼層厚度、殼體厚度和殼體半徑對(duì)聲傳遞損失的影響。

圖3 給出了入射角度分別為 30°、45°、60°時(shí)聲波的傳遞損失情況。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著入射角度的增加，在(0－fr)、(f＞fc)頻帶內(nèi)的傳遞損失曲線也隨之降低，而在(fr－fc)頻帶內(nèi)，變化趨勢(shì)比較復(fù)雜，交錯(cuò)在一起。整體來(lái)說(shuō)，隨著聲波入射角度的增加，圓柱殼聲傳遞損失隨之減少。

圖4給出了阻尼負(fù)載厚度h2分別為2 mm、5 mm和10 mm時(shí)聲波的傳遞損失。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，隨著厚度的增加，在低頻段有一個(gè)區(qū)域，隨著阻尼負(fù)載厚度的增加其對(duì)應(yīng)的傳遞損失反而急劇下降，這個(gè)區(qū)域是阻尼負(fù)載的失效區(qū)，阻尼負(fù)載越厚降噪失效區(qū)的頻率范圍越寬，數(shù)值越小。同時(shí)阻尼層厚度的變化會(huì)改變傳遞損失的共振頻率，并且整體上聲傳遞損失隨著阻尼負(fù)載厚度的增加而增加。

圖5是阻尼負(fù)載覆蓋在不同厚度(分別為1 mm、2 mm、10 mm)圓柱殼殼體上的傳遞損失。從圖中可以很明顯看出，阻尼負(fù)載覆蓋在厚殼體鋼板上的效果比較好，由分析可知?dú)んw鋼板增厚，其對(duì)應(yīng)的阻抗也隨之增加，與阻尼負(fù)載的差別明顯。同時(shí)從另一方面考慮也可知，殼體鋼板厚度的增加會(huì)使阻尼負(fù)載圓柱殼的總剛度增加，進(jìn)而導(dǎo)致傳遞損失增加。

圖3 入射聲波角度對(duì)聲波傳遞損失的影響曲線Fig.3 Curve of sound transmission loss with different incident angle

圖4 阻尼負(fù)載厚度對(duì)聲傳遞損失的影響曲線Fig.4 Curve of sound transmission loss with different damping layer thickness

圖5 殼體厚度對(duì)聲傳遞損失的影響曲線Fig.5 Curve of sound transmission loss with different shell thickness

圖6 是圓柱殼殼體平均半徑(分別為0.1 m、1 m、10 m)對(duì)聲波傳遞損失的情形。從圖中可以很明顯看出，在低頻段，半徑越小，其傳遞損失越大，這是由于當(dāng)半徑變小時(shí)，同樣的殼體厚度，其圓柱殼殼體總剛度變大，進(jìn)而導(dǎo)致傳遞損失增加。當(dāng)處于中高頻帶，這時(shí)半徑越大其對(duì)應(yīng)的傳遞損失反而越大。但其聲波傳遞損失不會(huì)隨著頻率的增加而無(wú)限增加，由于波長(zhǎng)變短，傳遞損失會(huì)趨于穩(wěn)定。

圖6 殼體平均半徑對(duì)聲傳遞損失的影響曲線Fig.6 Curve of sound transmission loss with different shell radius

由圖5和圖6可以看出，圓柱殼的固有頻率可能會(huì)導(dǎo)致隔聲失效，因此提高圓柱殼的聲傳遞特性，就要避免共振。改變板厚和殼體半徑后，結(jié)構(gòu)固有頻率的改變會(huì)使得圓柱殼聲傳遞損失曲線的隔聲失效頻率發(fā)生改變。

4 結(jié)論

(1)當(dāng)入射聲波頻率與圓柱殼固有頻率相等時(shí)，其傳遞損失會(huì)急劇下降，出現(xiàn)“失效頻率點(diǎn)”;

(2)入射聲波角度的增加，整個(gè)頻帶內(nèi)的聲傳遞損失呈下降趨勢(shì);

(3)一般情況下，隨阻尼層厚度的增加，聲傳遞損失隨之增加，但是在低于環(huán)頻率的頻段內(nèi)存在一個(gè)聲傳遞損失的失效區(qū)域。隨著阻尼負(fù)載厚度增加，傳遞損失不升反降，阻尼負(fù)載對(duì)噪聲起放大作用。因此，在工程設(shè)計(jì)中，應(yīng)該注意避開(kāi)這一區(qū)域，以免起到反效果;

(4)隨圓柱殼殼體平均半徑的增加，低頻段聲傳遞損失隨之減小，而高頻段隨之增加。

［1］Kagawa Y，Krokstad A.On the damping of cylindrical shells coated with viscoelastic materials［M］.ASMEPublication 69-vibr.9，1976:1 －9.

［2］Markus S.Damping properties of layered cylindrical shells vibration in axially symmetric modes［J］.J.Sound Vib，1976，48(4):511－524.

［3］Markus S.Refined theory of damped axisymmetric vibrations of double-layered cylindrical shells［J］.J.Mech.Eng.Sci.，1979，21:33 －37.

［4］Iyer K M.Modal response of a circular cylindrical shell with damping layers［D］.The Ohio State University，Ph.D.Thesis，1980.

［5］Zhang X M.Parametric studies of coupled vibration of cylindrical pipes conveying fluid with wave propagation approach［J］.Computer and Structure，2002，80:287－295.

［6］張小銘，張維衡.周期粘彈性復(fù)合殼的功率流［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，1993，6(1):1－9.

［7］Koval L R.On sound transmission into a thin cylindrical shell under“flight conditions”［J］ .J.Sound Vib.，1976，48(2):265－275.

［8］Daneshjou K，Nouri A，Talebitooti R.Sound transmission through laminated composite cylindrical shells using analytical model［J］.Archive of Applied Mechanics，2007，77:363－379.

［9］Timoshenko S，Woinowsky-Krieger S.板殼理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1977.

［10］奚定平.貝賽爾函數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1998:118－120.

附錄: