王云杰，朱 江

(1.徐州師范大學科文學院， 江蘇 徐州 221116；2.徐州師范大學數(shù)學科學學院，江蘇 徐州 221116)

近年來各種邊界條件下的四階非線性方程邊值問題的研究，受到相關(guān)人員的普遍關(guān)注[1-6]。在文[1]中，張建國等利用范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮不動點定理給出了四階邊值問題：

(1)

正解的存在性及多重性。其中，f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)。

本文考慮了更一般的方程

(2)

其中，f:[0,1]×R4→[0,+∞)連續(xù)。首先，我們在Banach空間C3[0,1]中構(gòu)造了一個錐，然后利用序形式錐拉伸與錐壓縮不動點定理，得到了該空間中四階邊值問題(2)一個和多個正解的存在性。

1 預備知識

由文[1]知，四階邊值問題

的Green函數(shù)為

G(t,s)=

并有以下結(jié)論:

1)在有界閉區(qū)域D={(t,s)|0≤t≤1,0≤s≤1}上，當06 時，G(t,s)變號。

為了證明主要結(jié)論， 我們先證明下面幾個引理。

引理1 若u∈P，則‖u‖=max{u(1),u?(1)}。

證明由u?(0)=0,u?(t)遞增知u?(t)≥0且u?(1)=|u?|0,又由u′(0)=u″(0)=0得

u″(t)≥0,u′(t)≥0

及

從而

‖u‖=max{u(1),u?(1)}

引理2P是E中的錐。

證明設{xn}?P,xn→x。則易知

x(0)≥0,x′(0)=x″(0)=x?(0)=0,

當0≤t1≤t2≤1時，有

故x?(t)遞增。又

≥,

所以x∈P,說明P是E閉集。下再證P是凸集。

事實上，若x1∈P,x2∈P,?λ∈[0,1]。則

λx1+(1-λ)x2≥0,

(λx1+(1-λ)x2)′(0)=

(λx1+(1-λ)x2)″(0)=

(λx1+(1-λ)x2)?(0)=

λx?1(0)+(1-λ)x?2(0)=0,

k(λx1+(1-λ)x2)(1)=

λx?1(1)+(1-λ)x?2(1)=

(λx1+(1-λ)x2)?(1)

且(λx1+(1-λ)x2)?(t)=λx?1(t)+(1-λ)x?2(t)遞增。

又當0

(λx1+(1-λ)x2)(t)=λx1(t)+(1-λ)x2(t)≥

當1

(λx1+(1-λ)x2)(t)=λx1(t)+(1-λ)x2(t)≥

故有

λx1+(1-λ)x2)(t)≥

所以λx1+(1-λ)x2∈P。說明P是E中凸集。

顯然，若x∈P,λ≥0，則λx∈P；若x∈P,-x∈P，有x=θ。這說明P是E中的一個錐。 由引理 2，可在E中定義由P導出的半序：。即xy?y-x∈P。易知，若xy， 則x≤y,y′(0)-x′(0)=y″(0)-x″(0)=y?(0)-x?(0)=0,y?(t)-x?(t)遞增，從而x≤y，x′≤y′，x″≤y″，x?≤y?。

定義算子A為

則易知u是BVP(2)的解當且僅當u是A的不動點。由f的連續(xù)性容易證明A:P→P是全連續(xù)算子。

為了證明本文的主要結(jié)果，我們還需要下面的引理。

或

(ii)Axx，?x∈P∩?Ω1；Axx，?x∈P∩?Ω2；

2 主要結(jié)果

(i)f(s,x,y,z,w)>M1x+M2y+M3z+M4w,其中M1≥k,M2≥k,M3>0,M4>0,(s,x,y,z,w)∈[0,1]×[Rka,a]×[0,∞)×[0,∞)×[0,∞)；

證明設Ωa={x∈E|‖x‖

首先，若x∈?Ωa∩P,則xAx。

(用反證法)假設?x0∈?Ωa∩P,使得x0Ax0。由x0∈?Ωa∩P,知x0(t)≥Rka。又x0Ax0，故

x0(t)≥Ax0(t)=

x?0(t)≥(Ax0)?(t)=

兩邊從0到1積分得

?0(t)]dt≥

矛盾。

(用反證法)假設?x0∈?Ωb∩P,使得x0Ax0。由x0∈?Ωb∩P,知x0(t)≥Rkb。又x0Ax0， 故

x0(t)≤Ax0(t)=

x?0(t)≤(Ax0)?(t)=

兩邊從0到1積分得

?0(t)]dt≤

矛盾。 由引理4 (i)得A在P中有不動點。即四階邊值問題(2)有解u∈C3[0,1]且u>0。

利用引理4 (ii)，與定理1的證明類似， 可得以下結(jié)論。

(ii)f(s,x,y,z,w)>M5x+M6y+M7z+M8w,其中M5≥k,M6≥k,M7>0,M8>0,(s,x,y,z,w)∈[0,1]×[Rkb,b]×[0,∞)×[0,∞)×[0,∞)；則四階邊值問題(2)在C3[0,1]至少有一個正解。

將定理1與定理2結(jié)合，即得多解的存在性。

(ii)f(s,x,y,z,w)>M5x+M6y+M7z+M8w,其中M5≥k,M6≥k,M7>0,M8>0,(s,x,y,z,w)∈[0,1]×[Rkb,b]×[0,∞)×[0,∞)×[0,∞)；

則四階邊值問題(2)在C3[0,1]至少有兩個正解。

參考文獻：

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