李嬋娟，李仲飛，曾 燕

(1.中山大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275；2.中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣東 廣州 510275;3.中山大學(xué)管理學(xué)院，廣東 廣州 510275)

近年來，在各種目標(biāo)函數(shù)下研究保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)與投資問題正逐漸成為保險(xiǎn)精算的研究熱點(diǎn)，其中最常用的目標(biāo)函數(shù)有最大化保險(xiǎn)公司終端財(cái)富期望效用和最小化破產(chǎn)概率[1-4]。另外，一些學(xué)者研究了不同市場下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資問題[5-6]。同時(shí)，也有部分學(xué)者采用 Markowitz 的均值-方差準(zhǔn)則作為保險(xiǎn)公司的決策目標(biāo)[7-8]。

現(xiàn)實(shí)中，任何個(gè)體和機(jī)構(gòu)投資者都可能面臨負(fù)債。目前已有不少學(xué)者研究了投資者的資產(chǎn)負(fù)債管理問題。例如，文 [9] 研究了面臨負(fù)債的投資者在離散多期均值-方差模型下的最優(yōu)投資問題，其中的負(fù)債可以是內(nèi)生或者外生的；文[10-11] 研究了連續(xù)時(shí)間均值-方差框架下帶外生負(fù)債投資者的最優(yōu)投資問題；文[12-13] 將資產(chǎn)負(fù)債管理問題拓展到機(jī)制轉(zhuǎn)移市場的情形，投資者仍采用均值-方差準(zhǔn)則作為目標(biāo)。上述文獻(xiàn)中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格均服從幾何布朗運(yùn)動，外生負(fù)債由幾何布朗運(yùn)動或帶漂移的布朗運(yùn)動刻畫。另外，文[14] 研究了基準(zhǔn)準(zhǔn)則和均值-方差準(zhǔn)則下連續(xù)時(shí)間資產(chǎn)負(fù)債管理問題。

對保險(xiǎn)公司而言，一方面，由于保險(xiǎn)公司的特性，可以將保單的未來賠付看作保險(xiǎn)公司的內(nèi)生負(fù)債。文[15] 解釋了將保險(xiǎn)公司的未來賠付看作負(fù)債的含義，此時(shí)的負(fù)債與市場無關(guān)，且負(fù)債的風(fēng)險(xiǎn)不能被完全對沖。另一方面，保險(xiǎn)公司還需償付外生的負(fù)債，如文[16] 考慮了需要償還固定利率債務(wù)的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)與股利分配問題。因此， 研究帶外生負(fù)債的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。然而，目前研究帶外生負(fù)債保險(xiǎn)公司資產(chǎn)配置的文獻(xiàn)并不多。文[17] 從資產(chǎn)負(fù)債平衡的角度研究了保險(xiǎn)公司的產(chǎn)品設(shè)計(jì)和投資策略。文[18] 研究了離散時(shí)間框架下保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)負(fù)債管理。文[19] 研究了面臨外生負(fù)債的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)均值-方差投資策略。

以上文獻(xiàn)或只考慮了保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)與投資決策，或只考慮了保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債時(shí)的投資決策，而沒有考慮再保險(xiǎn)。事實(shí)上，再保險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司分散風(fēng)險(xiǎn)的一種有效手段。當(dāng)保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債時(shí)，購買再保險(xiǎn)仍是其分散風(fēng)險(xiǎn)的有效措施。鑒于此，為了彌補(bǔ)現(xiàn)有研究的空白，本文考慮了在面臨外生負(fù)債的情形下，保險(xiǎn)公司如何在一個(gè)連續(xù)的計(jì)劃期內(nèi)選擇再保險(xiǎn)-投資策略，以最大化其終端財(cái)富的期望指數(shù)效用。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和外生負(fù)債均由幾何布朗運(yùn)動刻畫，盈余服從擴(kuò)散模型。運(yùn)用隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃方法，得到了最優(yōu)策略以及相應(yīng)最優(yōu)值函數(shù)的解析式。

本文結(jié)構(gòu)如下，第二節(jié)建立基本的市場模型，給出了保險(xiǎn)公司的盈余過程以及金融資產(chǎn)和外生負(fù)債的動態(tài)方程；第三節(jié)是模型求解，分別給出保險(xiǎn)公司在對再保險(xiǎn)策略進(jìn)行不同限制時(shí)，面臨外生負(fù)債的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略的求解過程以及解的顯式表達(dá)式；第四節(jié)通過數(shù)值算例闡述了外生負(fù)債與市場參數(shù)對最優(yōu)策略與最優(yōu)值函數(shù)的影響。

1 模型建立

當(dāng)考慮大型保險(xiǎn)公司投資組合時(shí)，單個(gè)索賠相對公司盈余規(guī)模來說非常小。本文類似于文[1-4,8]，采用擴(kuò)散模型來刻畫保險(xiǎn)公司的盈余過程，即dR(t)=μdt+σdW0(t),其中，μ>0為保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保費(fèi)收益率；σ0>0表示保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的風(fēng)險(xiǎn)水平；{W0(t)}為一維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

假設(shè)金融市場由1個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程服從如下方程

dP0(t)=r0(t)P0(t)dt,P0(0)=p0

其中，p0>0為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的初始價(jià)格；r0(t)為確定性連續(xù)正值函數(shù)，表示無風(fēng)險(xiǎn)利率。第i(i=1,…,n)個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格過程服從如下方程

,

Pi(0)=pi

假設(shè)保險(xiǎn)公司在計(jì)劃期 [0,T] 內(nèi)將其盈余連續(xù)地投資到這n+1個(gè)資產(chǎn)上，且不考慮金融市場上的交易費(fèi)和買賣差價(jià)。記bi(t)為時(shí)刻t保險(xiǎn)公司投資到第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的金額，b(t):=(b1(t),…,bn(t))T為保險(xiǎn)公司的投資組合。除投資外，為了控制風(fēng)險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司將會在計(jì)劃期 [0,T] 內(nèi)連續(xù)地購買比例再保險(xiǎn)或獲取新業(yè)務(wù)，例如作為其它保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)公司 (見文[3,7-8])。記a(t)為時(shí)刻t保險(xiǎn)公司購買比例再保險(xiǎn)或獲取新業(yè)務(wù)的自留水平，a(t)∈[0,+∞)，t∈[0,T]。a(t)∈[0,1]對應(yīng)購買比例再保險(xiǎn)，此時(shí)保險(xiǎn)公司只承擔(dān)時(shí)刻t索賠的a(t)倍，索賠的1-a(t)倍由再保險(xiǎn)公司承擔(dān)；為此，保險(xiǎn)公司需要將自身保費(fèi)收入的(1-a(t))θ支付給再保險(xiǎn)公司，θ>μ為再保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的保費(fèi)收益率。a(t)∈(1,+∞)對應(yīng)保險(xiǎn)公司獲取新業(yè)務(wù)。為敘述方便，稱隨機(jī)過程{a(t):t∈[0,T]}為保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)策略。進(jìn)一步，記保險(xiǎn)公司時(shí)刻t的再保險(xiǎn)-投資策略為π(t)=(a(t),b(t)T)T。

當(dāng)采取策略π(t)時(shí)，記Xπ(t)為保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈余。若保險(xiǎn)公司的初始盈余為x0，則其盈余過程為

dXπ(t)=[r0(t)Xπ(t)+θa(t)+r(t)Tb(t)+

m]dt+σ0a(t)dW0(t)+b(t)Tσ(t)dW(t)

其中，m=μ-θ，r(t)=(r1(t),…,rn(t))T，-r0(t)(i=1,…,n)為第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率，σ(t)=(σij(t))n×n。進(jìn)一步，假設(shè)?t∈[0,T],σ(t)σ(t)T>δI,δ為某一正常數(shù)，I為n×n維單位陣。

考慮到外生負(fù)債的非負(fù)性，許多文獻(xiàn)采用幾何布朗運(yùn)動刻畫負(fù)債過程，如文[10,13,19]。類似地，本文假設(shè)保險(xiǎn)公司在 [0,T] 內(nèi)所面臨的外生負(fù)債L(t)也服從幾何布朗運(yùn)動，其價(jià)值過程服從如下方程

dL(t)=L(t)[β(t)dt+γ(t)TdW(t)],L(0)=l0

(1)

其中，l0>0為外生負(fù)債的初始值；β(t)與γ(t)=(γ1(t),…,γn(t))T為確定性連續(xù)函數(shù)。這里外生負(fù)債值不受保險(xiǎn)公司決策過程的影響。

從而，當(dāng)面臨外生負(fù)債時(shí)，保險(xiǎn)公司在任意時(shí)刻t的盈余為Sπ(t)=Xπ(t)-L(t)，滿足

dSπ(t)=[r0(t)Sπ(t)+L(t)(r0(t)-β(t))+

r(t)Tb(t)+θa(t)+m]dt+σ0a(t)dW0(t)+

[b(t)Tσ(t)-L(t)γ(t)T]dW(t),

S(0)=s0≡x0-l0

其中，L(t)服從方程 (1)。

2 模型求解

本節(jié)分別在保險(xiǎn)公司 (i)進(jìn)行投資且允許購買比例再保險(xiǎn)或獲取新業(yè)務(wù)，(ii)進(jìn)行投資和購買比例再保險(xiǎn)，不可獲取新業(yè)務(wù)，兩種情形下求解了外生負(fù)債影響下保險(xiǎn)公司的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略。

2.1 可獲取新業(yè)務(wù)

,L(0)=l0]

(2)

此時(shí)保險(xiǎn)公司的再保險(xiǎn)行為包含購買比例再保險(xiǎn)或獲取新業(yè)務(wù)。優(yōu)化問題 (2)的最優(yōu)值函數(shù)記為

類似于文[20]中的推導(dǎo)過程，可得關(guān)于V(t,s,l)的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程，即

(3)

其中，(t,s,l)∈[0,T)×R×R+，邊界條件為V(T,s,l)=U(s),對于任意二階連續(xù)可微函數(shù)G(t,s,l)以及函數(shù)d(t)和e(t),算子D,D1,D2如下定義：

D(G(t,s,l))=Gt+Gs[r0(t)s+l(r0(t)-β(t))+m]+

D2(G(t,s,l),e(t))=Gsr(t)Te(t)+

Gsllγ(t)T[σ(t)Te(t)-lγ(t)]

記a*(t)和b*(t)為上述方程中兩個(gè)極大值問題的極值點(diǎn)。

下面定理給出HJB方程 (3)的解。

(4)

(5)

σ(s)T)-1σ(s)γ(s)ds}

(6)

同時(shí)

b*(t)=(σ(t)σ(t)T)-1·

(7)

其中，L(t)是隨機(jī)微分方程 (1)的解。

證明猜測 HJB 方程 (3)的解具有如下形式

(8)

其中，c(t),g(t),y(t)為待定函數(shù)且?t∈[0,T]，滿足c(t)>0，g(t)>0，c(T)=1，g(T)=1，y(T)=0。則有vs>0和vss<0。根據(jù)方程 (3)中的極值問題的一階條件，有

[vsr(t)+(vsl-vss)lσ(t)γ(t)]

(9)

將a*(t)和b*(t)代入方程 (3)中可得

vt+vs[r0(t)s+l(r0(t)-β(t))+m]+vllβ(t)+

(σ(t)σ(t)T)-1{vsr(t)+(vsl-vss)lσ(t)γ(t)}=0

(10)

將 (8)式代入上式，經(jīng)整理可得c(t),g(t),y(t)滿足如下方程組：

η·

(σ(t)σ(t)T)-1r(t)=0,c(T)=1

(11)

g′(t)+g(t)r0(t)=0,g(T)=1

(12)

-ηg′(t)y(t)-ηg(t)y′(t)-ηg(t)·

(r0(t)-β(t))-ηg(t)y(t)β(t)+

ηg(t)(y(t)-1)r(t)T(σ(t)σ(t)T)-1·

σ(t)γ(t)=0,y(T)=0

(13)

逐個(gè)求解方程 (11)-(13)得解為(4)-(6)。

從而，HJB方程 (3)的解為 (8)式，其系數(shù)由 (4)-(6)式給出。將 (8)式代入 (9)式即得(7)式。證畢。

接下來給出最優(yōu)解的驗(yàn)證定理。

定理2 設(shè)v(t,s,l),a*(t),b*(t)由定理1給定，則V(t,s,l)=v(t,s,l)，且策略π*(t)=(a*(t),b*(t)T)T是優(yōu)化問題 (2)的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略。

v(T,Sπ(T),L(T))=v(t,s,l)+

因?yàn)関(t,s,l)是 HJB 方程的解，且v(T,Sπ(T),L(T))=U(Sπ(T))，所以

L(t)=l]≤v(t,s,l)

另一方面，因?yàn)棣?(t)=(a*(t),b*(t)T)T使得 HJB 方程 (3)的右端達(dá)到最大值且等于0，所以當(dāng)采取策略π*(t)時(shí)，上式變?yōu)榈仁?。證畢。

注1 為考察外生負(fù)債參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響，考慮函數(shù)r0(t),r(t),σ(t),β(t),γ(t)不隨時(shí)間變化，即均為常量的情形。此時(shí)，

y(t)=1-exp{(-r0+β-rT(σσT)-1σγ)(T-t)}

最優(yōu)投資策略為

σγexp{(-r0+β-rT(σσT)-1σγ)(T-t)}

可以看到最優(yōu)投資策略是一個(gè)反饋控制，依賴于當(dāng)前外生負(fù)債值。策略中的第一項(xiàng)是沒有外生負(fù)債時(shí)使得終端財(cái)富期望效用達(dá)到最大的投資組合。第二項(xiàng)與外生負(fù)債有關(guān)，且當(dāng)其他參數(shù)不變而β增大時(shí)，b*(t)隨之增大，這說明當(dāng)外生負(fù)債較大時(shí)保險(xiǎn)公司將在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上投資更多的資金。這是由公司的資本結(jié)構(gòu)決定的。當(dāng)保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)杠桿增大，也就是外生負(fù)債與資產(chǎn)比率增大時(shí)，公司的決策者傾向于投資回報(bào)率較高的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。

注2 容易得到，當(dāng)保險(xiǎn)公司不涉及外生負(fù)債時(shí)，其最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略為

(14)

可以看到，外生負(fù)債只影響保險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資策略，對最優(yōu)再保險(xiǎn)策略沒有影響。這是因?yàn)轵?qū)動索賠過程的布朗運(yùn)動與驅(qū)動外生負(fù)債過程的布朗運(yùn)動相互獨(dú)立，保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債與否不會影響其最優(yōu)再保險(xiǎn)策略。進(jìn)一步，當(dāng)保險(xiǎn)公司再保險(xiǎn)策略恒為1時(shí)，最優(yōu)投資策略b*(t)仍由 (14)式給出。此時(shí)結(jié)論與文 [1] 中ρ=0時(shí)的特殊情形相同。

2.2 不可獲取新業(yè)務(wù)

這里限定保險(xiǎn)公司只能投資和購買再保險(xiǎn)，不可獲取新業(yè)務(wù)。保險(xiǎn)市場的設(shè)定不變。保險(xiǎn)公司所面臨的問題仍為選擇再保險(xiǎn)-投資策略，使其終端盈余期望效用最大，效用仍然采用2.1節(jié)的指數(shù)效用。與前一節(jié)不同的是，此時(shí)的允許策略集變?yōu)?/p>

問題 (2)變?yōu)?/p>

,L(0)=l0]

(15)

其中，(t,s,l)∈[0,T)×R×R+，邊界條件為V(T,s,l)=U(s),映射D,D1,D2的定義與2.1節(jié)相同。

引理1 令A(yù)1={(t,s,l)∈[0,T)×R×R+:

(16)

ββ(t)+

(17)

根據(jù)上述兩個(gè)引理，可以證明 HJB方程 (15)的解由下面的定理給出。

定理3 設(shè)

(18)

z2=0

(19)

其中，g(t)由 (5)式給出，t0滿足條件

(20)

HJB方程 (15)的解存在，且

(i)當(dāng)t0∈[0,T]時(shí)，

(21)

同時(shí)

,σ(t)σ(t)T)-1·

,σ(t)σ(t)T)-1·

上述各種情形中，c1(t),g(t),y(t)分別由 (4)-(6)式給出，L(t)是隨機(jī)微分方程 (1)的解。

我們猜測方程 (16)和 (17)的解均具有如下形式

,s,

(22)

文 [2] 考慮了保險(xiǎn)公司最大化終端財(cái)富期望指數(shù)效用下的最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略，其中投資受到不允許賣空的限制。根據(jù)文 [2] 的方法，當(dāng)去掉其中不允許賣空的限制時(shí)，文[2] 得到最優(yōu)再保險(xiǎn)-投資策略同本章不考慮外生負(fù)債且市場參數(shù)r0,r,σ均為常數(shù)時(shí)得到的策略一致。

解的驗(yàn)證定理與定理 2 相似，從略。

3 數(shù)值算例

接下來，我們給出一個(gè)數(shù)值算例來闡述：(i)外生負(fù)債對保險(xiǎn)公司最優(yōu)策略的影響；(ii)獲取新業(yè)務(wù)對最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響；(iii)市場上各參數(shù)對最優(yōu)策略與最優(yōu)值函數(shù)的影響。

不失一般性，考慮金融市場含有一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)且各個(gè)參數(shù)均為常數(shù)的情況。假設(shè)保險(xiǎn)公司的初始財(cái)富x0=2,l0=0.5，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)η=0.5，各個(gè)參數(shù)的基本值為μ=0.5,σ0=1,θ=0.8,r0=0.05,r1=0.13,σ1=0.1,β=0.08,γ=0.05,T=1。

圖1 不同計(jì)劃期外生負(fù)債以及能否獲取新業(yè)務(wù)對最優(yōu)策略的影響

(i)外生負(fù)債對最優(yōu)策略的影響。

通過對比保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債和無外生負(fù)債兩種情況下的最優(yōu)策略來反映本文所引入的外生負(fù)債對保險(xiǎn)公司策略的影響。考慮保險(xiǎn)公司可以獲取新業(yè)務(wù)的情況。此時(shí)保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)負(fù)債管理問題的解由定理1給出，純資產(chǎn)管理問題的解由 (14)式給出。

從圖1 的子圖1-1和1-2可以看到，一方面，保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債時(shí)在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的投資金額高于無外生負(fù)債的情形，這與注1的解釋一致；另一方面，相對于較短的計(jì)劃期 (T=1)，當(dāng)計(jì)劃期的長度變大 (T=20)時(shí)，外生負(fù)債對最優(yōu)投資策略的影響變小。這是因?yàn)楫?dāng)計(jì)劃期較長時(shí)，保險(xiǎn)公司有足夠的時(shí)間進(jìn)行投資，積累更多的財(cái)富使得外生負(fù)債對公司終端財(cái)富盈余的影響變小，從而導(dǎo)致對投資策略的影響變小。

(ii)能否獲取新業(yè)務(wù)對最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。

我們只需考慮保險(xiǎn)公司不涉及外生負(fù)債時(shí)，能否獲取新業(yè)務(wù)對最優(yōu)再保險(xiǎn)策略a*(t)的影響。當(dāng)計(jì)劃期T=1時(shí)，t0=-8.4，結(jié)合定理1和定理3可知，當(dāng)可獲取新業(yè)務(wù)時(shí)，最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為在整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)都開展新業(yè)務(wù)；不可獲取新業(yè)務(wù)時(shí)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略為保險(xiǎn)公司承擔(dān)所有的索賠。當(dāng)T=20時(shí)，可獲取新業(yè)務(wù)時(shí)的a*(t)由 (14)式給出，不可獲取新業(yè)務(wù)時(shí)的a*(t)由定理3給出。圖1的子圖1-3描述了能否獲取新業(yè)務(wù)對計(jì)劃期長度T=20時(shí)最優(yōu)再保險(xiǎn)策略的影響。

(iii)市場參數(shù)對最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的影響。

首先考慮保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債時(shí)各市場參數(shù)r0,r,σ,β,γ對最優(yōu)投資策略b*(t)的影響。由圖2可以看出，b*(t)是r0,σ的減函數(shù)，是r,β,γ的增函數(shù)。也就是說，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率或者風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動率增大時(shí)，保險(xiǎn)公司投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上金額減少；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率增大，或者外生負(fù)債的漂移率或波動率增大時(shí)，保險(xiǎn)公司投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的金額增多。

圖2 市場參數(shù)對最優(yōu)投資策略的影響

圖3 外生負(fù)債和市場參數(shù)對最優(yōu)值函數(shù)的影響

其次考慮保險(xiǎn)公司在可獲取新業(yè)務(wù)的情形下市場參數(shù)對最優(yōu)值函數(shù)的影響。由圖3可看出，首先保險(xiǎn)公司面臨外生負(fù)債時(shí)最優(yōu)值函數(shù)小于無外生負(fù)債時(shí)的情形。其次對各參數(shù)而言，考慮外生負(fù)債時(shí)的最優(yōu)值函數(shù)是r0,r,γ的增函數(shù)，是σ,β的減函數(shù)。也就是說，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率或風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率增大，或者外生負(fù)債的波動率增大時(shí)，保險(xiǎn)公司的終端財(cái)富期望效用增大；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動率或者外生負(fù)債的漂移率增大時(shí)，終端財(cái)富期望效用減小。

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