朱鳳琴 徐伯華

[摘 要]大學(xué)生數(shù)學(xué)成績具有動態(tài)變化的過程特點。實證研究表明，一門課程的成績與前一先修課程的成績相關(guān)性最強，成績轉(zhuǎn)移矩陣具有時齊性、普遍性和延續(xù)性.成績轉(zhuǎn)移矩陣對教務(wù)管理、學(xué)業(yè)預(yù)警和學(xué)習(xí)指導(dǎo)具有重要的意義.

[關(guān)鍵詞]Markov鏈；轉(zhuǎn)移矩陣；大學(xué)生；教學(xué)管理

[中圖分類號] 633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 2095-3437（2012）12-0038-03

學(xué)業(yè)成績是大學(xué)生教學(xué)管理的關(guān)鍵指標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)科是大多數(shù)專業(yè)的必修課，對學(xué)生個體的發(fā)展具有重要意義。由于受到多種因素的影響，學(xué)生的成績往往變化起伏，呈現(xiàn)動態(tài)變化的過程特點。因此運用隨機過程的方法，找出學(xué)生成績的變化規(guī)律，對于預(yù)測學(xué)生的成績分布、提前學(xué)業(yè)預(yù)警、提高管理效率都具有重要的意義。

一、研究對象與方法

（一）研究對象

選取某大學(xué)理科兩個專業(yè)的2005級和2006級全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績作為原始數(shù)據(jù)，刪除留級、轉(zhuǎn)學(xué)（專業(yè)）、休學(xué)等成績不完整的記錄，得到有效記錄：P專業(yè)2005級259個，2006級259個；Q專業(yè)2005級79個，2006級74個.兩個專業(yè)的數(shù)學(xué)課程設(shè)置如表1，為了專業(yè)間便于比較和分析，本文只對高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)理方程和概率統(tǒng)計進(jìn)行分析。又P專業(yè)的教學(xué)大綱中，概率統(tǒng)計的先修課程是高等數(shù)學(xué)，而非數(shù)理方程，因此把高數(shù)3視為概率統(tǒng)計的前一課程。

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（二）研究方法

由于實行專業(yè)分類招生，專業(yè)內(nèi)入學(xué)成績相對集中，且有研究表明[1-6]入學(xué)成績對大學(xué)成績的影響微小，所以以第一學(xué)期的成績?yōu)槠瘘c進(jìn)行分析.起點成績?yōu)楦叩葦?shù)學(xué)1和線性代數(shù)的平均分，記為高數(shù)1+.

相關(guān)性分析：根據(jù)2005級原始成績計算各課程間的相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)，考察先修課程對后繼課程的影響.

成績轉(zhuǎn)移過程分析：分別將各專業(yè)年級的原始成績分成五個等級（狀態(tài)）：A（X≥90）；B（80≤X<90）；C（70≤X<80）；D（60≤X<70）；E（<60）.計算前一課程成績狀態(tài)向后繼課程成績狀態(tài)的轉(zhuǎn)移頻率和轉(zhuǎn)移頻率矩陣.以轉(zhuǎn)移頻率矩陣估計轉(zhuǎn)移概率矩陣.對各學(xué)期的轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行非參數(shù)檢驗，以此判斷同一專業(yè)不同學(xué)期的轉(zhuǎn)移概率分布是否來自同一總體（時齊性），不同專業(yè)的轉(zhuǎn)移概率分布是否來自同一總體（普遍性），同一專業(yè)不同年級的轉(zhuǎn)移概率分布是否來自同一總體（延續(xù)性）。

所有數(shù)據(jù)采用Excel2003和SPSS11.5分析處理。

二、實證分析

（一）相關(guān)性

由表2可知，先修課程與后繼課程存在較強的相關(guān)關(guān)系，先修課程學(xué)習(xí)質(zhì)量對后繼課程的學(xué)習(xí)有顯著的影響.從具體數(shù)字來看，高數(shù)2與高數(shù)1+的相關(guān)性最強，高數(shù)3與高數(shù)2的相關(guān)性最強，數(shù)理方程、概率統(tǒng)計與高數(shù)3的相關(guān)性最強，即前一課程成績對后繼課程成績的影響最大。

為了克服多個先修課程的影響，專門考查兩門課程的相關(guān)關(guān)系，表3給出了偏相關(guān)系數(shù).可以看出前一課程成績對后繼課程成績的影響最大，并且總體上比其他先修課程的影響明顯強得多。

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由此可知，所有的先修課程與后繼課程都有顯著的相關(guān)性，大學(xué)生成績過程不具有嚴(yán)格的Markov性，這是符合人們的基本認(rèn)識的。但是表3顯示了一個強烈的信息，即前一課程成績與后繼課程成績的相關(guān)性最大，且其余先修成績的相關(guān)性明顯較弱，因此從教育過程的復(fù)雜性和教學(xué)管理的現(xiàn)實性考慮，前一課程成績應(yīng)是學(xué)習(xí)指導(dǎo)和成績預(yù)測的最重要的因素，也就是說從成績管理上講，可以借用Markov鏈來描述大學(xué)生的數(shù)學(xué)成績過程。

（二）時齊性

根據(jù)2005級兩專業(yè)的成績等級，求得各學(xué)期（課程）的成績轉(zhuǎn)移矩陣如下：

P專業(yè)：PiQ專業(yè)：Qi

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將Pi、Qi按行展開，分別對Pi、Qi的各單元數(shù)字做非參數(shù)檢驗，由表5可知，各種檢驗的p均大于0.05，可以認(rèn)為各Pi來自同一個總體，具有相同的分布，各Qi來自同一個總體，具有相同的分布.因此，同一專業(yè)不同學(xué)期的成績轉(zhuǎn)移具有相同的概率分布，成績轉(zhuǎn)移過程具有時齊性，成績轉(zhuǎn)移矩陣不因?qū)W期而變化，具有很強的穩(wěn)定性。

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（三）普遍性

由于成績轉(zhuǎn)移過程具有時齊性，因此分別取Pi、Qi的各單元的算術(shù)平均值作為P專業(yè)和Q專業(yè)的成績轉(zhuǎn)移矩陣的估計，即得

P=.621 .273 .091 .012 .003.282 .401 .193 .102 .021.135 .373 .213 .223 .056.108 .248 .232 .257 .155.014 .157 .126 .357 .346；Q=.720 .188 .079 .012 .000.262 .353 .205 .150 .030.172 .292 .300 .167 .069.036 .150 .205 .295 .315.000 .036 .144 .262 .559

對P 、Q的各單元數(shù)字做非參數(shù)檢驗，由表6可知，各種檢驗的p均大于0.05，可以認(rèn)為P 、Q來自同一個總體，具有相同的分布.因此，不同專業(yè)的數(shù)學(xué)成績轉(zhuǎn)移具有相同的概率分布，成績轉(zhuǎn)移矩陣不因?qū)I(yè)而變化，具有很強的普遍性。

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（四）延續(xù)性

運用同樣的方法，分別計算出2006級P專業(yè)和Q專業(yè)的成績轉(zhuǎn)移矩陣，得到

P=.723 .179 .062 .010 .015.370 .381 .132 .098 .018.185 .302 .198 .204 .110.108 .193 .260 .267 .172.045 .102 .104 .260 .488；Q=.156 .472 .264 .108 .000.084 .358 .345 .174 .038.108 .289 .362 .197 .043.017 .313 .328 .240 .102.042 .000 .375 .417 .167

分別對P與P、Q與Q的各單元數(shù)字作獨立樣本非參數(shù)檢驗，由表7可知，各種檢驗的p均大于0.05，可以認(rèn)為P與P 、Q與Q分別來自同一個總體，具有相同的分布.因此，同一專業(yè)不同年級的數(shù)學(xué)成績轉(zhuǎn)移具有相同的概率分布，成績轉(zhuǎn)移矩陣不因年級而變化，具有很強的延續(xù)性。

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三、研究結(jié)論

大學(xué)生成績具有很強的規(guī)律性和穩(wěn)定性，前一課程成績對后繼課程成績具有最重要的、最強烈的影響。雖然大學(xué)生成績轉(zhuǎn)移不具有嚴(yán)格的Markov性，但考慮到教育過程的復(fù)雜性和教學(xué)管理的現(xiàn)實性，可以借用Markov鏈來近似描述大學(xué)生的成績過程，且成績變化過程具有時齊性、普遍性和延續(xù)性。在不失教育性的基礎(chǔ)上，可以運用隨機過程的方法和一般結(jié)論對大學(xué)生成績過程做進(jìn)一步的研究。

四、大學(xué)生成績轉(zhuǎn)移的規(guī)律與啟示

由于大學(xué)生成績過程具有時齊性、普遍性和延續(xù)性，因此可以用P、P 和Q、Q的各元素平均值作為大學(xué)生總體的成績轉(zhuǎn)移矩陣估計，于是得到

A=.555 .271 .124 .036 .003.258 .366 .220 .130 .026.151 .326 .267 .188 .067.072 .222 .266 .266 .174.026 .072 .209 .319 .374

由A的各元素特征，可以發(fā)現(xiàn)大學(xué)生成績轉(zhuǎn)移的一般規(guī)律：

1.A的各元素均非0，說明大學(xué)成績具有絕對的變異性，成績好的可能會變差，成績差的也可能會變好，學(xué)習(xí)過程中沒有一成不變的成績.保持良好的學(xué)習(xí)自覺性和積極性是提高學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要保證.

2.A中主對角線附近的元素的值都很大，說明大學(xué)生成績具有相對的穩(wěn)定性，各等級的成績轉(zhuǎn)移主要在原等級附近，跨越式的轉(zhuǎn)移很少。

3.各等級的成績轉(zhuǎn)移具有較大的差異性。A等級中約85%的學(xué)生保持較好的成績發(fā)展（A、B等級），說明A等級成績穩(wěn)定性較好；B等級中約25%成績提高，38%成績下滑，其中15%下滑至較差（C、D等級），說明B等級的成績不穩(wěn)定，分化明顯；C、D等級的成績轉(zhuǎn)移近似正態(tài)分布，說明該等級的成績有較強的隨機性，學(xué)生學(xué)習(xí)呈現(xiàn)自發(fā)性的特點；而E等級中約70%保持較差的成績發(fā)展（D、E等級），10%能夠提高到較好的成績，說明這一等級中大部分學(xué)生存在學(xué)習(xí)困難，但成績提高也是有可能性的。

大學(xué)生成績轉(zhuǎn)移給教學(xué)管理帶來以下啟示：

1.對教務(wù)管理的啟示：教務(wù)管理人員可以運用成績轉(zhuǎn)移矩陣對大學(xué)生的成績發(fā)展做出預(yù)測，根據(jù)預(yù)測結(jié)果采取必要的管理措施，提高教學(xué)管理的前瞻性和針對性。

2.對學(xué)業(yè)預(yù)警的啟示：目前的學(xué)業(yè)預(yù)警大都依據(jù)期末考試成績，有明顯的滯后性.如果采用成績轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)測可能的變化，則可以提前發(fā)出預(yù)警，使部分學(xué)生盡早提高學(xué)習(xí)的自覺性和積極性，有更多的時間補救學(xué)業(yè).

3.對學(xué)習(xí)指導(dǎo)的意義：不同等級的成績轉(zhuǎn)移具有較大的差異性，教師和輔導(dǎo)員可以根據(jù)成績轉(zhuǎn)移的特點，對學(xué)生實行分類指導(dǎo)和重點管理。

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[責(zé)任編輯：王朝元]