侯淦洪

【摘要】對數(shù)函數(shù)，特別是對數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域以及值域，由于它牽涉的知識點(diǎn)比較多，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位，筆者根據(jù)平時教學(xué)經(jīng)驗的積累，總結(jié)了一些關(guān)于對數(shù)函數(shù)的定義域和值域的問題，與同行切磋。

【關(guān)鍵詞】定義域；值域；對數(shù)函數(shù)

一、簡單對數(shù)函數(shù)的定義域和值域的實(shí)用判別法則

設(shè)y=logax(a>0,a≠1)為簡單對數(shù)函數(shù)，則有如下判別法則：

（1）當(dāng)a>1，函數(shù)y=logax在定義域(0,+∞)單調(diào)增加，沒有最大值，也沒有最小值，函數(shù)值域為(-∞,+∞)；在定義域［x1,x2］(0

（2）當(dāng)0

二、對數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域和值域的實(shí)用判別法則

設(shè)y=logau=logag(x)。(a>0,a≠1)是對數(shù)復(fù)合函數(shù)，其中中間變量u=g(x)叫內(nèi)函數(shù)，y=logag(x)叫外函數(shù)，則對數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域是{x|g(x)>0}，在這個定義域內(nèi)，先確定內(nèi)函數(shù)u=g(x)的值域，然后再在u的值域范圍內(nèi)討論對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值，從而得到對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域。

（1）當(dāng)a>1，如果u=g(x)的取值范圍是(-∞,+∞)，沒有最大值，也沒有最小值，則對數(shù)復(fù)合函數(shù)y=logag(x)在(-∞,+∞)內(nèi)也是單調(diào)增加，沒有最值，值域為(-∞,+∞)；如果u=g(x)在取值［u1,u2］單調(diào)增加，則對數(shù)復(fù)合函數(shù)在［u1,u2］也單調(diào)增加，有最小值y1=logau1=logag(x1)，有最大值y2=logau2=logag(x2)，這時，復(fù)合對數(shù)函數(shù)的值域為［y1,y2］；如果u=g(x)在［u1,u2］單調(diào)減少，則對數(shù)復(fù)合函數(shù)在［u1,u2］也單調(diào)減少，有最大值y1=logau1=logag(x1)，有最小值y2=logau2=logag(x2)，這時，復(fù)合對數(shù)函數(shù)的值域為［y2,y1］。

（2）當(dāng)0

例1 求函數(shù)y=log2(x2+2x+5)的定義域和值域。

解 要使函數(shù)有意義，則需x2+2x+5>0。

∵Δ=b2-4ac=22-4×1×5=-16<0,

∴對于任意的實(shí)數(shù)x，恒有x2+2x+5>0，

故對數(shù)復(fù)合函數(shù)y=log2(x2+2x+5)的定義域是(-∞,+∞)。

∵x0=-b2a=-22×1=-1∈(-∞,+∞)，y0=4ac-b24a=4×1×5-224×1=4，

∴函數(shù)u=x2+2x+5，當(dāng)x=-1時，有最小值y0=4。

即函數(shù)u=x2+2x+5的值域是［4,+∞）。

∴函數(shù)y=log2u在［4,+∞）是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)u=4時，y=log24=2，故對數(shù)復(fù)合函數(shù)y=log2(x2+2x+5)的值域是［2,+∞)。

例2 求函數(shù)y=log12(-x2+4x-3)的定義域和值域。

解 設(shè)u=-x2+4x-3是內(nèi)函數(shù)，

要使函數(shù)有意義，則需-x2+4x-3>0，

解之得1

故函數(shù)y=log12(-x2+4x-3)的定義域是［1,3］。

x0=-42×(-1)=2∈［1,3］，

y0=4×(-1)×(-3)-424×(-1)=1。

∴內(nèi)函數(shù)u=-x2+4x-3在x0=2時，有最大值u=1，當(dāng)x=1或者x=3時，有最小值u=0。

∴內(nèi)函數(shù)u=-x2+4x-3的值域是［0,1］,函數(shù)值單調(diào)增加，

∴對數(shù)復(fù)合函數(shù)y=log12(-x2+4x-3)在定義域內(nèi)是單調(diào)減少，但當(dāng)u=1時，y=log12u=0，當(dāng)u=0時，y→-∞。

故對數(shù)復(fù)合函數(shù)y=log12(-x2+4x-3)的值域是(-∞,0］。

例3 求函數(shù)y=lgx+1x-1的定義域與值域。