余偉

焦點(diǎn)弦問(wèn)題是解析幾何中的常考問(wèn)題，和它有關(guān)的問(wèn)題很多，比如焦半徑相關(guān)問(wèn)題、焦點(diǎn)三角形問(wèn)題等，這些都是解析幾何中的熱點(diǎn)考查問(wèn)題，多次出現(xiàn)在各地高考題中，難度大，計(jì)算麻煩，是很多學(xué)生感覺(jué)困難的問(wèn)題。不少學(xué)生對(duì)焦點(diǎn)弦問(wèn)題都有畏懼心理。其實(shí)這是由兩個(gè)方面造成的，一是沒(méi)有掌握焦點(diǎn)弦的一般方法，二是不熟悉焦點(diǎn)弦相關(guān)的結(jié)論。

一、應(yīng)用定義是基礎(chǔ)

焦點(diǎn)弦，是指圓錐曲線中經(jīng)過(guò)了焦點(diǎn)的弦。那么對(duì)于焦點(diǎn)弦問(wèn)題而言，定義就是解決此類問(wèn)題最有利也是最常規(guī)的武器。通過(guò)圓錐曲線第一、第二定義，常常能把已知與未知建立起聯(lián)系，進(jìn)而解決問(wèn)題。

例1 （湖北理）雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左準(zhǔn)線為l，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為F1,F2。拋物線C2的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F2。C1與C2的一個(gè)交點(diǎn)為M，則|F1F2||MF1|-|MF1||MF2|等于()。

A。-1 B。1 C。-12 D。12

此題圖像關(guān)系復(fù)雜，既有雙曲線又有拋物線，而且出現(xiàn)了較多的焦點(diǎn)弦，學(xué)生在處理此題時(shí)，常常感覺(jué)無(wú)從下手，其實(shí)冷靜分析題目可以發(fā)現(xiàn)：MF1,MF2都是焦點(diǎn)弦，也是焦半徑，自然考慮用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，找到它們之間的關(guān)系。

解 過(guò)M作MN⊥l，由雙曲線定義|MF1|=e|MN|，又由拋物線定義|MN|=|MF2|，所以|MF1|=e|MF2|……①，又根據(jù)雙曲線第一定義|MF1|-|MF2|=2a，把①式代入，可知|MF2|=2ae-1，代入|F1F2||MF1|-|MF1||MF2|,得到答案A。

類似的通過(guò)定義轉(zhuǎn)化解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題的題目數(shù)量眾多，定義也成為了解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題的最基本的武器，熟練掌握定義是解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題的基礎(chǔ)。

二、熟記結(jié)論是利器

應(yīng)用定義是解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題的普遍方法，也是基本方法，但是由于解析幾何問(wèn)題的計(jì)算量大，而考試時(shí)間有限，如果每個(gè)題都從定義一步一步的計(jì)算下去，往往得不償失，這也是很多同學(xué)害怕解析幾何的原因。這就需要學(xué)生在平時(shí)多掌握一些和焦點(diǎn)弦相關(guān)的結(jié)論，在考試的時(shí)候往往能夠發(fā)揮出超乎想象的效果。

例2 已知橢圓ax2+y2=1和雙曲線bx2-y2=1有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，它們的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為P，則△PF1F2的面積為