陳孟算

筆者翻閱近幾年各地高考試題及各地模擬卷，發(fā)現(xiàn)大多試卷壓軸題涉及數(shù)列不等式，因?yàn)檫@類題目既需要證明不等式的基本思路和方法，又要結(jié)合數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，有著較強(qiáng)的技巧，對(duì)學(xué)生的要求較高，具有較好的區(qū)分度。本文從一個(gè)簡單不等式探討這類問題。

一、一個(gè)結(jié)論

設(shè)x>1，則ln(1+x)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

（*）

證明 構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(1+x)-x，

則g′(x)=11+x-1=-x1+x，

且當(dāng)-10時(shí)，g′(x)<0。

∴當(dāng)x=0時(shí)，g(x)取得最大值，即g(x)≤g(0)=0。

故ln(1+x)≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。

二、四個(gè)引申

引申1 已知n∈N+且n≥2，求證：lnn<1+12+13+…+1n-1。

證明 由（*）式，令x=1n，得

ln1+1n=lnn+1n<1n。

∴l(xiāng)n21+ln32+…+lnnn-1<1+12+…+1n，

即lnn<1+12+…+1n。

引申2 已知n∈N+且n≥2，求證：12+13+…+1n

證明 由（*）式，令x=-1n，得ln1-1n<-1n，

即1n

∴12+13+…+1n

即12+13+…+1n

引申3 已知n∈N+且n≥2，求證：ln22?ln33?…?lnnn<1n。

證明 由（*），令x=n-1，得lnn

兩邊除以n，得lnnn

∴l(xiāng)n22?ln33?…?lnnn<12×23×…×n-1n=1n。

引申4 已知n∈N+且n≥2，求證：1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn>32。

證明 由（*），令x=n2-1，得lnn2

即lnn2n2-1。

∴1ln2+1ln3+1ln4+…+1lnn

>222-1+232-1+242-1+…+2n2-1

=1-13+12-14+13-15+…+1n-1-1n+1

=32-1n-1n+1>32。

以上不等式的證明，都是以ln(1+x)≤x(x>-1)為背景，通過對(duì)其適當(dāng)?shù)馁x值，合理的變形而得到。因此在學(xué)習(xí)中，要善于探究知識(shí)產(chǎn)生的源頭和背景，善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)思考問題，舉一反三，提高解題能力和學(xué)習(xí)效率。

三、兩個(gè)應(yīng)用

例1 （2009年稽陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考）已知函數(shù)f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R)，g(x)=f(x)-x2+x。

（1）當(dāng)a=12時(shí)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）當(dāng)f(x)在［-1，1］上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若數(shù)列{an}滿足a1=1且(n+1)an+1=nan，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求證：n≥2時(shí)，Sn<1+lnn。

解 （1）（2）略。

（3）由(n+1)an+1=nan，得an+1an=nn+1。

設(shè)a1=1,利用連乘法，得an=1n。

∴Sn=1+12+…+1n，利用引申2，得Sn<1+lnn。

例2 （湖南師大附中2010年第八次月考）已知f(x)=ln(1+x)-x，數(shù)列滿足a1=12，ln2+lnan+1=an+1?an+f(an+1?an)。

（1）求證：數(shù)列1an-1是等差數(shù)列；

（2）證明不等式a1+a2+…+an

解 （1）略。

（2）由（1）知an=nn+1=1-1n+1，

∴a1+a2+…+an=1-12+1-13+…+1-1n+1

=n-12+13+…+1n+1。

由(*)式，令x=1n+1，得1n+1>lnn+2n+1。

∴12+13+…+1n+1>ln32+ln43+…+lnn+2n+1=lnn+22，

∴a1+a2+…+an

【參考文獻(xiàn)】

陳世明。函數(shù)f(x)=1+1xx的兩個(gè)基本性質(zhì)及應(yīng)用。中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（9）。