汪帆

【摘要】余弦定理和正弦定理一樣，都是揭示了三角形邊角之間的數(shù)量關(guān)系的重要定理。文獻(xiàn)利用正弦定理討論了三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。本文證明了利用余弦定理與利用正弦定理討論該問(wèn)題的等價(jià)性，并舉幾道例題，最后談?wù)勛约旱男牡皿w會(huì)。

【關(guān)鍵詞】正弦定理；余弦定理

在已知三角形的兩邊及其一邊對(duì)角時(shí)(在△ABC中，已知邊a,b和角A，解三角形)，文獻(xiàn)中利用正弦定理解決了三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，得到了以下的結(jié)論：

1蔽藿獾那榭觶孩貯為銳角且a

2幣喚獾那榭觶孩貯為鈍角或直角且a>b；②A為銳角且a≥b；③A為銳角且a=bsinA;

3繃澆獾那榭觶篈為銳角且AsinA

下面我們介紹利用余弦定理與利用正弦定理解決該問(wèn)題的等價(jià)性。將已知條件代入a2=b2+c2-2bccosA可得一元二次方程c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0，由于三角形的邊始終是正值，所以我們只需討論方程的正根的情況。

1蔽拚根的情況：ⅰ。Δ<0；ⅱ。Δ≥0,

bcosA≤0,

b2-a2≤0。

（1）由ⅰ。可得a

（2）由ⅱ得A為鈍角或直角且bsinA≤a≤b，再加上情況①的A為鈍角的情況則與文獻(xiàn)中無(wú)解的情況②對(duì)應(yīng)。

2敝揮幸桓穌根的情況：ⅰ。Δ=0，

bcosA>0；

ⅱ。Δ>0

bcosA≤0,

b2-a2<0；ⅲ。Δ>0,

bcosA>0,

b2-a2≤0。

（1）由ⅰ可得A為銳角且a=bsinA，則與文獻(xiàn)中一解的情況③對(duì)應(yīng)。

（2）由ⅱ得A為鈍角或直角且a>b，則與文獻(xiàn)中一解的情況①對(duì)應(yīng)。

（3）由ⅲ得A為銳角且a≥b，則與文獻(xiàn)中一解的情況②對(duì)應(yīng)。

3庇辛礁穌根的情況：Δ>0，

bcosA>0,

b2-a2>0。

由此可得，A為銳角且bsinA

下面舉兩個(gè)例子。

例1 在△ABC中，已知a=1,b=3,A=30°,解此三角形。

解 由余弦定理得c2-3c+2=0，解得c=1或c=2。

當(dāng)c=1時(shí)，cosB=a2+c2-b22ac=-12，所以B=120°,則C=30°。

當(dāng)c=2時(shí)，cosB=a2+c2-b22ac=12，所以B=60°,則C=90°。

例2 在△ABC中，已知a=2,A=60°,當(dāng)b取何值時(shí)，△ABC無(wú)解？有一解？有兩解？

解 由余弦定理可得c2-bc+b2-4=0。

（1）若△ABC無(wú)解，則方程c2-bc+b2-4=0無(wú)正根。因?yàn)槎魏瘮?shù)f(c)=c2-bc+b2-4的對(duì)稱(chēng)軸為c=b2>0，則Δ=-3b2+16<0，解得b>433，所以當(dāng)b>433時(shí)，△ABC無(wú)解。

（2）若△ABC有一解，則方程c2-bc+b2-4=0只有一個(gè)正根。則Δ=0或Δ>0，

b2-4≤0，

解得b=433或0

（3）若△ABC有兩解，則方程c2-bc+b2-4=0有兩個(gè)正根。則Δ>0,

b2-4>0,解得b>2，所以當(dāng)b>2時(shí)，△ABC有兩解。

根據(jù)上面的兩個(gè)例子和之前的討論可以看出，如果在解三角形時(shí)已知兩邊及其一邊對(duì)角的情況下選擇余弦定理解決問(wèn)題，就將三角形解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程正根的問(wèn)題，從而使問(wèn)題的解決顯得更加簡(jiǎn)潔。

【參考文獻(xiàn)】

劉紹學(xué)。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修5［M］。北京：人民教育出版社，2007：8-9。