徐瑞萍

復(fù)變函數(shù)論是高等學(xué)校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)課，是數(shù)學(xué)分析的后繼課程.它的理論和方法已深刻滲透到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程、計算數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)的各個分支，同時在物理的流體力學(xué)、熱力學(xué)和其他的科學(xué)領(lǐng)域及科學(xué)技術(shù)中都有廣泛應(yīng)用.所以，無論從知識結(jié)構(gòu)的承前啟后，還是從能力的培養(yǎng)方面，復(fù)變函數(shù)論的學(xué)習(xí)都起著十分重要的作用.然而，由于改革的需要，復(fù)變函數(shù)論課程的總課時減少，如何在有限的課時內(nèi)科學(xué)合理地安排教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生既掌握理論知識，又學(xué)會學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)創(chuàng)新和自主學(xué)習(xí)的能力，是教師面對的一個亟待解決的問題.下面幾種教學(xué)法是筆者在復(fù)變函數(shù)論課堂教學(xué)中的有益探索.

一、善于運(yùn)用類比教學(xué)

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后繼課程，是數(shù)學(xué)分析的繼續(xù)和發(fā)展.復(fù)變函數(shù)中許多概念和定理都與數(shù)學(xué)分析相應(yīng)理論類似，但又有發(fā)展.在講授中，要指出聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)區(qū)別，采用類比的方式講解相關(guān)內(nèi)容是復(fù)變函數(shù)教學(xué)的重要方法之一.

例如，復(fù)變函數(shù)中，初等函數(shù)的定義方式和概念的形式與數(shù)學(xué)分析中的定義有很大的不同，性質(zhì)也出現(xiàn)許多相異的地方.例如：實(shí)分析中指數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的函數(shù)，復(fù)數(shù)域上指數(shù)函數(shù)是以2πi為基本周期的周期函數(shù)；實(shí)分析中正、余弦函數(shù)是有界的，而復(fù)數(shù)域上正、余弦函數(shù)是無界函數(shù)；特別是復(fù)數(shù)域上的對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)均為多值函數(shù)，這一點(diǎn)增加了復(fù)變函數(shù)研究的復(fù)雜性和難度.

在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生比較實(shí)、復(fù)分析中概念、定理的異同點(diǎn)，使得學(xué)生不斷思考，積極創(chuàng)造，用這種方法建構(gòu)知識體系，完善知識結(jié)構(gòu)，這樣既能夯實(shí)實(shí)分析基礎(chǔ)，又能在復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)中達(dá)到事半功倍的效果.

二、開展研究性教學(xué)

研究性學(xué)習(xí)是一種研討式學(xué)習(xí)，是指教師以課程內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)識積累為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地運(yùn)用知識的能力，自主地發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題，在研討中積累知識、培養(yǎng)能力和鍛煉思維的新型教學(xué)模式.

下面以復(fù)變函數(shù)論第六章第一節(jié)“留數(shù)”的學(xué)習(xí)為例，設(shè)計了研究性教學(xué)，過程如下：

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教師：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)積分理論，掌握了一些計算復(fù)積分的公式和定理，利用所學(xué)知識能解決一些復(fù)積分的計算，但是在理論與實(shí)際問題中常遇到這樣的積分：①∫|z| =1ez-1z7dz，②∫|z| =2z51+z6dz.看到這兩個積分，學(xué)生回憶以前所學(xué)的知識，發(fā)現(xiàn)它們都不滿足前面學(xué)習(xí)過的柯西積分定理和柯西積分公式的條件，因此都不能直接用已學(xué)知識來計算.

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于是學(xué)生開始提出一些問題.

甲：如何計算被積函數(shù)在積分周線內(nèi)有本質(zhì)奇點(diǎn)的復(fù)積分？

乙：如果被積函數(shù)在積分周線內(nèi)的不解析點(diǎn)是階數(shù)較高的極點(diǎn)，有沒有簡單的方法計算復(fù)積分？

丙：如果被積函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有有限個不解析點(diǎn)，而且在積分周線內(nèi)的不解析點(diǎn)又比較多，這樣的復(fù)積分如何計算？

教師：這一節(jié)我們一起來研究解決上述問題，即第六章第一節(jié)“留數(shù)”.

3毖芯抗程

下面進(jìn)行分組探討，讓各小組代表發(fā)言，闡明研究方案.

小組1：留數(shù)的定義及留數(shù)定理、留數(shù)的求法

小組2：無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的定義及求法

小組3：上述積分的計算.

4毖芯拷峁

教師：通過留數(shù)定義、定理的學(xué)習(xí)，意味著我們可以用它解決數(shù)學(xué)問題：計算積分∫|z| =21(z+i)10(z-1)(z-3)dz.

問題1：被積函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上的孤立奇點(diǎn)有幾個？分別是什么類型的？

學(xué)生：z=-i是10階極點(diǎn)，z=1和3都是1階極點(diǎn)，還有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是孤立奇點(diǎn).

問題2：被積函數(shù)在|z|=2內(nèi)有1個10階極點(diǎn)，留數(shù)不易直接求，應(yīng)該怎么辦？

學(xué)生：通過定理，把求周線內(nèi)部奇點(diǎn)的留數(shù)轉(zhuǎn)化為求周線外部奇點(diǎn)的留數(shù)，因此可以求出無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，進(jìn)而求出復(fù)積分.

5逼 價

通過這節(jié)課的討論，大家互相合作，共同探究，能夠積極主動地學(xué)習(xí)、思考、辨析、遷移和醒悟，實(shí)現(xiàn)了從定義、定理學(xué)習(xí)到應(yīng)用的完整過程，同學(xué)們的潛能得到開發(fā).這對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、求異思維、創(chuàng)造性思維大有益處.

三、教師精講與學(xué)生自學(xué)相結(jié)合

復(fù)變函數(shù)中有一些較難理解的內(nèi)容和較難證明的定理，如采用限制輻角或割破復(fù)平面的方法來分出初等多值函數(shù)中根式函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單值解析分支、柯西定理的古莎證明等，都是一些重要而較難理解和證明的內(nèi)容，對這部分知識教師要在認(rèn)真?zhèn)湔n的基礎(chǔ)上向?qū)W生精講.對一些容易理解的內(nèi)容，如復(fù)數(shù)、復(fù)平面上點(diǎn)集、導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式等，這些內(nèi)容與數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容幾乎是一樣的，如果再講，既浪費(fèi)了時間，學(xué)生聽起來也不會感興趣.教師在課堂上可以作一些指導(dǎo)性的提示，讓學(xué)生自己閱讀，培養(yǎng)他們的閱讀能力和自學(xué)能力.總之，合理地安排教學(xué)內(nèi)容，給學(xué)生自學(xué)的機(jī)會，要把“教學(xué)生學(xué)會”變?yōu)椤敖虒W(xué)生會學(xué)”，既減少了學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的困難，又科學(xué)合理地利用了課時.

總之，復(fù)變函數(shù)論的課堂教學(xué)改革是一個不斷探索與實(shí)踐的過程，需要教師全身心地投入，不斷嘗試與總結(jié)，才能做好復(fù)變函數(shù)的教學(xué)工作，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和自主學(xué)習(xí)的能力.利用上面的方法，筆者所教數(shù)學(xué)本科專業(yè)2008～2011級的學(xué)生都對復(fù)變函數(shù)課程表現(xiàn)出了很大的興趣，取得了很好的教學(xué)效果。