蔣春梅，于大光

摘要：線性代數(shù)課程內(nèi)容具有一定的抽象性，是高校公共數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握具有應(yīng)用性的知識(shí)，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責(zé)任和進(jìn)行教學(xué)改革的主要方向。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；獨(dú)立學(xué)院；教學(xué)改革

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0？搖 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2012）12-0149-02

線性代數(shù)課程內(nèi)容具有一定的抽象性，是高校公共數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。信息技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，學(xué)科間不斷地相互交叉、滲透，作為基礎(chǔ)科學(xué)的數(shù)學(xué)更顯示出它的廣泛應(yīng)用性。指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握具有應(yīng)用性的知識(shí)，培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，是高校教師義不容辭的責(zé)任和進(jìn)行教學(xué)改革的主要方向。目前獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)面臨的情況，較為突出的有兩個(gè)方面。首先，教學(xué)對(duì)象即學(xué)生在快節(jié)奏的環(huán)境中成長(zhǎng)，與以往精英教育時(shí)代學(xué)生最大的不同在于，他們思想活躍興趣廣泛，渴望學(xué)習(xí)新事物新知識(shí)，希望從老師那里學(xué)到更新、更具有實(shí)用價(jià)值的知識(shí)，這是他們的優(yōu)勢(shì)和特點(diǎn)，然而他們的生活?yuàn)蕵?lè)方式多樣化，節(jié)奏又快，微博、手機(jī)、QQ、看小說(shuō)等情形課間隨處可見(jiàn)，無(wú)形中對(duì)新時(shí)期教師授課提出更高的要求；其次，多年來(lái)線性代數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容基本沒(méi)有太大變化，從行列式、矩陣、線性方程組求解、向量空間到二次型，但獨(dú)立學(xué)院教學(xué)學(xué)時(shí)要減少到32課時(shí)且都是大班授課，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、獨(dú)立且思考能力較差，趕進(jìn)度似的匆忙輸入這些內(nèi)容，不可避免地使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)產(chǎn)生排斥和抵觸情緒。為此教師必須精心組織教學(xué)內(nèi)容，在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上尋找新的教學(xué)方式，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果的目的。本文結(jié)合所在獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱捏w會(huì)。

一、把握中心 緊扣主線 合理布局 突出應(yīng)用

仔細(xì)看整個(gè)線性代數(shù)可以理解為圍繞著線性方程組的求解展開(kāi)，從開(kāi)始行列式的介紹，為解決一類(lèi)特殊的線性方程組鋪墊，其中方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)一樣，之后的萊姆法則利用行列式工具把這一問(wèn)題理論上解決了。但實(shí)際計(jì)算起來(lái)未知量個(gè)數(shù)越多計(jì)算量越大，并且對(duì)于未知量個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不等的線性方程組，此法則顯然不適用，主要原因是方程組的系數(shù)已經(jīng)不能構(gòu)成行列式。有人就會(huì)問(wèn)：“方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不一樣時(shí)線性方程組如何求解”？由此開(kāi)啟矩陣板塊的學(xué)習(xí)。矩陣是線性代數(shù)這門(mén)課程最重要的工具，一般方程組的具體求解和判定理論都化為矩陣的相關(guān)問(wèn)題，對(duì)矩陣的方法掌握得好壞直接影響到整門(mén)課程的學(xué)習(xí)，可以從經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投入產(chǎn)出模型和通路矩陣等實(shí)際例子引入矩陣為一數(shù)表的概念，相關(guān)性質(zhì)這部分內(nèi)容必須精講。之后用消元法求解線性方程組，這一最基本的思想學(xué)生在高中有過(guò)接觸，選擇兩道二階和三階階線性方程組為引例，先把消元法的思想交代清楚，強(qiáng)調(diào)保證同解只會(huì)實(shí)施三種行初等變換，關(guān)鍵還要將每一步求解用矩陣與之對(duì)應(yīng)表示，使學(xué)生清晰地看到線性方程組的求解過(guò)程完全等同于將其增廣矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程，這是獨(dú)立學(xué)院線性代數(shù)教學(xué)的重點(diǎn)。這前三章的教學(xué)內(nèi)容必須保證學(xué)生絕大部分都能充分理解并熟練掌握。

第四章《向量的線性相關(guān)性》概念非常抽象。學(xué)生對(duì)“向量間的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)”的定義接受起來(lái)總是很困難，多年來(lái)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的難點(diǎn)。如何克服這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)？首先在宏觀上要做好與上一章節(jié)的銜接，研究對(duì)象依然是線性方程組，對(duì)齊次線性方程組我們換個(gè)角度看它，橫看成嶺側(cè)成峰，寫(xiě)成向量形式便得到系數(shù)矩陣列向量之間的關(guān)系式。此時(shí)開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生明白這一關(guān)系式的作用，在空間解析幾何上有其對(duì)應(yīng)的幾何意義，系數(shù)矩陣的列向量能否通過(guò)尺度伸縮變換和平行四邊形法則回到原點(diǎn)，因此原來(lái)齊次線性方程組有非零解時(shí)，系數(shù)矩陣的列向量能夠齊心協(xié)力回到原點(diǎn)。從而將向量的線性相關(guān)性概念與大家熟悉的線性方程組聯(lián)系起來(lái)，新問(wèn)題的研究全部化為線性方程組解的判定以及它的主要工具——矩陣問(wèn)題。在這一章要給學(xué)生建立線性方程組—矩陣形式—向量形式“三位一體”的模型，形式不同實(shí)質(zhì)一樣，這一模型的建立和相互間的轉(zhuǎn)化在本章和后續(xù)章節(jié)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。那么研究向量的線性相關(guān)性對(duì)線性方程組又有什么貢獻(xiàn)呢？慢慢給學(xué)生撥開(kāi)迷霧，有了向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念，就會(huì)很自然地有了向量組的極大無(wú)關(guān)組概念。啟發(fā)學(xué)生思考：有一特殊的向量，齊次線性方程組有非零解時(shí)的解空間，它的極大無(wú)關(guān)組是什么樣子呢？繼而得到線性方程組解的結(jié)構(gòu)理論，對(duì)比上一章按部就班的具體求解，深化了我們對(duì)線性方程組解空間的認(rèn)識(shí)，對(duì)空間的面貌有了清晰準(zhǔn)確的把握。第五章也可以從線性方程組開(kāi)啟，將同學(xué)們非常熟悉的AX=b形式稍作修改為AX=y，這便是Rn→Rn空間的映射，不同于高等數(shù)學(xué)中的普通函數(shù)，舉個(gè)簡(jiǎn)單的二位圖案經(jīng)此類(lèi)線性映射后形狀發(fā)生了較大的變化，學(xué)生有了一個(gè)形象直觀的感覺(jué)。結(jié)合例子提出問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)該變換中有一現(xiàn)象非常值得關(guān)注，即AX與y平行，從而引入矩陣“特征值和特征向量”的概念，步步逼近為什么叫矩陣的“特征值和特征向量”，反饋出矩陣什么樣的特征呢？從而導(dǎo)出矩陣的可對(duì)角化問(wèn)題，其中實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題在工程技術(shù)上有著廣泛的應(yīng)用，第六章的二次型可以理解為這一舊問(wèn)題的重新包裝。整門(mén)課程安排上緊緊圍繞中心問(wèn)題，合理布局，把不同的知識(shí)串在一起，以前看起來(lái)零散的內(nèi)容，忽然不再繁雜了，成為一個(gè)有機(jī)的整體。這種分析能力同樣適用于我們平時(shí)的日常生活。

二、鼓勵(lì)思考 勤于實(shí)踐 加強(qiáng)概念 歸納總結(jié)

課堂上教師以講清主干概念為原則，枝節(jié)問(wèn)題留給學(xué)生去思考、歸納，同時(shí)加入相應(yīng)背景知識(shí)以增加課堂信息量。上課前要交待清楚講授的主要問(wèn)題是什么，然后引導(dǎo)學(xué)生共同逐一地解決這些問(wèn)題，把學(xué)生擺在解決問(wèn)題的主人翁的位置，而不是要求學(xué)生被動(dòng)地聽(tīng)課。注意講課的藝術(shù)性，善于提出問(wèn)題并向?qū)W生尋求答案，鼓勵(lì)大家思考甚至討論也是素質(zhì)教育的體現(xiàn)。比如正交矩陣概念的引入，可以讓學(xué)生自己動(dòng)筆算算空間中n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交組作列構(gòu)成的矩陣，其轉(zhuǎn)置與自身的乘積有什么樣的效果，從而水到渠成地得到一類(lèi)新的特殊矩陣，正好把以前學(xué)過(guò)的矩陣家族里的特殊成員一并復(fù)習(xí)一下。對(duì)提出的問(wèn)題一步步深入，一個(gè)個(gè)解決。做到語(yǔ)言簡(jiǎn)練而不重復(fù)，重點(diǎn)地方應(yīng)加強(qiáng)語(yǔ)氣放慢速度引起重視，讓學(xué)生一字一句聽(tīng)得清清楚楚，同時(shí)給學(xué)生一種緊迫感，讓學(xué)生感覺(jué)到思維一停頓就會(huì)脫節(jié)接不上，保證上課全神貫注注意聽(tīng)講。當(dāng)學(xué)生身臨其境地經(jīng)歷提出問(wèn)題、討論問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程后，最終目的還是要引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)并找到結(jié)論，找到一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念。獨(dú)立學(xué)院學(xué)生普遍不喜歡推敲抽象的理論和內(nèi)容上串講章節(jié)的基本概念和重點(diǎn)，他們比較樂(lè)于接受直接講題做題，因此因材施教選取一些具有代表性的例子，哪怕是以前講過(guò)的典型例子都可以拿過(guò)來(lái)，總結(jié)出其中的規(guī)律，理清思路，點(diǎn)明解決的方法，從而做到舉一反三，以點(diǎn)帶面，通過(guò)例子使學(xué)生充分理解、掌握基本內(nèi)容和方法。

三、更新知識(shí) 自我提升 教書(shū)育人 教學(xué)相長(zhǎng)

教師僅僅從教材本身來(lái)講解本課程是不夠全面的，倘若能借助各方面的知識(shí)，運(yùn)用多種教學(xué)手段如matlab在線性代數(shù)中的應(yīng)用舉例，全方位地進(jìn)行立體多維教學(xué)，對(duì)學(xué)生而言更有吸引力。這對(duì)教師便提出了更高的要求，在課余時(shí)間多看相關(guān)參考書(shū)和資料，擴(kuò)大自己的知識(shí)面，這樣做無(wú)論對(duì)于教學(xué)工作、教師的自我成長(zhǎng)和提升都有百利而無(wú)一害，參加全國(guó)教師網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)和高校教師的暑期學(xué)校也是不錯(cuò)的選擇。另外，相比一般普通本科學(xué)校學(xué)生，獨(dú)立學(xué)院學(xué)生有兩類(lèi)特征鮮明：一部分學(xué)生高中基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)不錯(cuò)，進(jìn)校后卻產(chǎn)生迷茫找不到方向，應(yīng)鼓勵(lì)他們充分發(fā)揮自身潛力，盡快進(jìn)行四年大學(xué)學(xué)習(xí)生活職業(yè)規(guī)劃，他們是優(yōu)秀班風(fēng)良好學(xué)風(fēng)構(gòu)建的核心力量，極有可能將來(lái)成為本屆學(xué)生的佼佼者和學(xué)院樹(shù)立的標(biāo)桿榜樣；另一部分學(xué)生是在比較優(yōu)越的家庭環(huán)境中長(zhǎng)大，習(xí)慣于對(duì)家長(zhǎng)和老師的依賴(lài)，有一定的學(xué)習(xí)積極性但不穩(wěn)定，遇到困難缺乏積極主動(dòng)意識(shí)，倘若教師實(shí)時(shí)給予鼓勵(lì)啟發(fā)他們多思考，學(xué)會(huì)去圖書(shū)館查閱資料或與同學(xué)交流尋求幫助，這部分學(xué)生可以與前部分相得益彰，成為構(gòu)建和諧向上的學(xué)習(xí)氛圍的中流砥柱。作為教師在教書(shū)的同時(shí)不忘育人，掌握他們的心理特點(diǎn)和需求，有了學(xué)生熱情互動(dòng)和參與，教學(xué)才會(huì)變得流暢實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙慧斌.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)是線性代數(shù)有效的教學(xué)法之一[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，（4）.

[2]周玲.《線性代數(shù)》課程教學(xué)點(diǎn)滴談[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005，（8）.