阮龍江 薛雙霞

摘要：由于缺乏經(jīng)驗，我國商業(yè)銀行固定利率住房抵押貸款定價存在不合理性，既影響了固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)的健康發(fā)展，又導致了借貸雙方風險與收益的不匹配。在市場利率服從幾何布朗運動的基礎(chǔ)上，本文從隱含期權(quán)視角出發(fā)構(gòu)建固定利率住房抵押貸款單位風險收益最大化模型，并求出最優(yōu)解，為商業(yè)銀行固定利率住房抵押貸款定價提供理論和技術(shù)參考。

關(guān)鍵詞：固定利率抵押貸款；隱含期權(quán)；單位風險收益；利率定價

Abstract：Due to limited experience，the pricing of fixed-rate mortgage of commercial banks in China is not well implemented，which not only effects the healthy development of fixed-rate mortgage，but also leads to asymmetry of risk-income between borrowers and lenders. Given the market interest rate consistent with geometric Brownian motion，we build a maximized return per unit of risk model about fixed-rate mortgage from the perspective of embedded option. The aim of this paper is to provide theoretical and technical reference for commercial banks fixed-rate mortgage pricing.

Key Words：fixed-rate mortgages，embedded option，return per unit of risk，interest rate pricing

中圖分類號： F830文獻標識碼：A文章編號：1674-2265（2012）06-0014-05

一、引言

自1998年住房制度改革以來，房價不斷上漲，居民的可支配收入不能滿足對住房的潛在需求，住房抵押貸款業(yè)務(wù)得到迅速發(fā)展。與國外不同，我國住房抵押貸款業(yè)務(wù)長期以來采用的是逐年隨政策調(diào)整利率的浮動計息方式，在利率不斷波動的背景下，借款人可能面臨較大的利率風險。

根據(jù)央行規(guī)定，自2004年1月1日起，國內(nèi)商業(yè)銀行發(fā)放的人民幣中長期貸款可以實行固定利率方式。此后，光大銀行、建設(shè)銀行、招商銀行等商業(yè)銀行相繼推出各種固定利率住房貸款產(chǎn)品，固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)有了一定發(fā)展。所謂固定利率抵押貸款，是指在整個貸款合同所規(guī)定的貸款期限內(nèi)貸款利率不隨市場利率變化而改變的貸款。2006年1月5日，光大銀行在北京和上海推出“陽光生活”固定利率住房貸款，成為首家推出固定利率住房抵押貸款的銀行，隨后又逐步推出“陽光生活住房套餐”組合貸款、固定利率與浮動利率相互轉(zhuǎn)換業(yè)務(wù)等。2006年2月2日，招商銀行對普通固定利率貸款進行結(jié)構(gòu)性創(chuàng)新，在全國范圍內(nèi)推出極具特色的結(jié)構(gòu)性固定利率住房抵押貸款產(chǎn)品，其最大特色是在整個固定利率房貸期內(nèi)，可以分段執(zhí)行不同的利率，如10年期固定利率住房貸款，可以在貸款前5年執(zhí)行一個利率，后5年執(zhí)行另一個不同的利率，但在兩個固定期內(nèi)，利率保持不變。2006年10月，建設(shè)銀行正式推出固定利率個人住房貸款業(yè)務(wù)，產(chǎn)品模式主要有“完全固定利率”、“固定利率+浮動利率”、“固定利率分段組合”和“固定利率+浮動利率分段組合”4種，其中，“固定+浮動”和“分段組合”打破了市場原有固定利率貸款必須全程固定的局限，可以滿足借款人在不同期限檔次執(zhí)行不同固定利率的要求。

固定利率抵押貸款業(yè)務(wù)促進了我國信貸產(chǎn)品的多樣化發(fā)展，在一定程度上滿足了多樣化的借款需求，有助于銀行更好地管理商業(yè)銀行住房抵押貸款，但固定利率住房抵押貸款同樣面臨利率下降時的提前還款風險。因此，對商業(yè)銀行而言，推行固定利率住房抵押貸款的關(guān)鍵，在于在自主定價體系下如何確定合理的貸款利率水平，實現(xiàn)風險與收益的平衡。我國固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)從推出至今，只有幾年時間，固定利率住房抵押貸款業(yè)務(wù)正處于快速發(fā)展時期，尚未經(jīng)歷一個完整的經(jīng)濟周期考驗，其定價模式不合理，提前還款風險識別及管理能力較弱，管理方法和管理技術(shù)缺乏，因此，對其定價進行研究具有很強的實際意義。

二、固定利率抵押貸款及其隱含期權(quán)行為

由于固定利率抵押貸款和浮動利率抵押貸款之間的差異，浮動利率抵押貸款借款人面臨著較大的利率風險。隨著利率市場化程度的不斷加深，以及不斷增強的加息預期，較大的利率風險從某種程度上會抑制借款人對住房抵押貸款的需求，不利于刺激對住房的消費。因而適時推出固定利率抵押貸款，有利于不同風險偏好的借款者找到適合自己的貸款方式。固定利率抵押貸款比浮動利率抵押貸款更顯得復雜，因為固定利率抵押貸款利率在合同期固定后就不能變動，其面臨的風險會隨著貸款期限的延長而不斷增大：市場利率的上升會造成銀行利息收入的損失，市場利率的降低有可能使借款人發(fā)生提前還款行為，房價波動有可能引發(fā)借款人的違約行為等。

在經(jīng)濟高速發(fā)展的今天，我國商業(yè)銀行正逐步由分業(yè)經(jīng)營向混業(yè)經(jīng)營的發(fā)展模式過渡，中間業(yè)務(wù)發(fā)展十分迅速。然而我國商業(yè)銀行的主要業(yè)務(wù)仍然是存貸款業(yè)務(wù)，存貸利差在我國商業(yè)銀行利潤中占據(jù)主要地位。隨著我國住房抵押貸款市場的不斷完善，住房抵押貸款業(yè)務(wù)逐漸成為銀行貸款中的優(yōu)質(zhì)業(yè)務(wù)。借款人的提前還款將使得該筆優(yōu)質(zhì)業(yè)務(wù)提前中斷，這樣會給以盈利為目的商業(yè)銀行帶來許多不利影響。

因此，在對固定利率住房抵押貸款進行合理定價時，必須充分考慮借款人的提前還款行為：一方面，當市場利率上升時，因原貸款合同利率低于市場利率，借款人將選擇維持原貸款合同；另一方面，當市場利率下降時，借款人會選擇提前還款，然后通過再融資獲得更低的市場利率。

本文主要分析隱含期權(quán)中的提前還款行為。由于浮動利率抵押貸款和固定利率抵押貸款中利率表現(xiàn)形式的不同，借款人相應(yīng)的提前還款行為也有所不同。因此，我們在分析固定利率抵押貸款借款人提前還款的隱含期權(quán)觀點時，應(yīng)有別于浮動利率抵押貸款。

對于固定利率抵押貸款借款人來說，當市場利率r高于或等于原貸款合同利率k時，理性借款人不會選擇提前還款，即不執(zhí)行隱含期權(quán)，則有p=0；當市場利率r低于原貸款合同利率k時，理性借款人會考慮其融資成本問題，會提前償還原貸款，然后再以較低的市場利率進行借款，即借款人執(zhí)行隱含期權(quán)，則有p=k-r 。綜上可以得出：

是關(guān)于r單調(diào)不增的分段線性函數(shù)。

對于商業(yè)銀行來說，在發(fā)放固定利率住房抵押貸款時，相當于同時賣出執(zhí)行價為k的看跌期權(quán)。

三、固定利率抵押貸款的期望收益與方差

（一）市場利率r的分布

在經(jīng)濟學中，幾何布朗運動可以表示隨時間推移而主動影響投資決策的隨機變量，如項目價值，產(chǎn)出價格，投入成本等的動態(tài)變化過程。本文假設(shè)市場利率服從幾何布朗運動。

設(shè)有一種由時間t開始到T結(jié)束的固定利率貸款，貸款的固定利率為k，無風險利率為 ，市場利率r服從幾何布朗運動，則有：

， 分別是r變化率的均值和標準差，z是標準維納過程。

為了簡便，我們假設(shè)初始時刻t=0，下同。

通過求出 的概率密度，我們可以得出市場利率r的概率密度為：

求出市場利率r的概率密度后，我們再來看一下相關(guān)的幾個積分，對正數(shù) 有以下積分結(jié)果：

其中， 是標準正態(tài)分布函數(shù)，且

（二）有隱含期權(quán)的貸款價值

首先，我們對市場提出一些假設(shè)：

1. 銀行是市場上唯一的融資途徑；

2. 市場一般無摩擦，再融資可在無成本，或者較低成本的條件下進行；

3. 固定利率貸款借款人是理性的，一旦市場利率低于合同借款利率，借款將執(zhí)行隱含期權(quán)；

4. 貸款本息期末一次性償付，不考慮分期償還；

5. 市場無分割，市場上所有的投融資交易是連續(xù)進行的。

由隱含期權(quán)理論可知，當市場利率小于或等于貸款合同利率時，借款人提前還款，再從市場按較低利率借款。T時刻，銀行關(guān)于這筆貸款的收益（借款人成本）為：當市場利率r小于貸款合同利率k時，收益為市場利率r；當市場利率r大于貸款合同利率k時，收益為貸款合同利率k，即有：

貸款收益表示如下：

圖1：貸款收益圖

結(jié)合前述隱含期權(quán)，則有：

對于商業(yè)銀行來說，在發(fā)放固定利率住房抵押貸款時，相當于同時賣出執(zhí)行價為k的看跌期權(quán)。有隱含期權(quán)的銀行貸款價值等于無隱含期權(quán)貸款價值與該看跌期權(quán)價值之差。

（三）固定利率抵押貸款的期望收益與方差

借款人提前還款行為給我國商業(yè)銀行資產(chǎn)負債管理帶來了不確定性，其中主要是因為它增加了銀行的成本，加大了銀行的風險。因此，我們從這一中心思想出發(fā)，考慮銀行的預期收益及風險，分別用貸款期望E（R）和方差 表示。

1. 固定利率抵押貸款的期望收益。對于隱含期權(quán)的固定利率抵押貸款，借款人先提前償還貸款，再從市場按較低利率r借款。由前文可知，R等價于持單位收益為k的資產(chǎn)+賣出歐式看跌期權(quán)。T時刻，銀行關(guān)于這筆貸款的期望收益E（R）（借款人期望成本）為：

因此，貸款的期望收益可以分解為k和看跌期權(quán)的期望。對于看跌期權(quán)的期望，我們可以從其分段表達式中得到：

由此可以得到：

其中，

2. 固定利率抵押貸款的方差。同理，根據(jù)看跌期權(quán)的分段表達式，對看跌期權(quán)求方差，可得：

由此可以得到：

其中，

四、單位風險收益最大化模型及其求解

商業(yè)銀行在制定固定利率抵押貸款利率時，應(yīng)充分權(quán)衡其風險與收益：一方面，利率如果定得較低，由此引發(fā)的提前還款風險會相對較小，但銀行貸款收益也相應(yīng)減少，這對于銀行收入的實現(xiàn)以及銀行規(guī)模的擴大是不利的；另一方面，利率如果定得較高，銀行雖然能實現(xiàn)較高收益，但借款人的提前還款行為會因此增多，對于銀行的風險管理會造成極大影響，因此，我們應(yīng)結(jié)合期望收益對方差進行分析。

為了計算的可行性和便利性，本文引入風險收益指標——方差期望比 。具體表示為： ，其中 、 分別為貸款收益R的期望和方差。

由前文可知，銀行關(guān)于固定利率貸款收益的方差 表示如下：

固定利率貸款的期望收益表示如下：

則有：

由于單位風險收益 ，通過計算最小 ，保證單位風險收益 最大化。

令銀行貸款方差期望與 關(guān)于k的導數(shù)的比值等于0，即 ，得：

由上文可知， 都是關(guān)于k的函數(shù)，則有

因此，我們將銀行貸款期望收益關(guān)于k的導數(shù)表示如下：

將銀行貸款方差關(guān)于k的導數(shù)表示如下：

又 ，， ，將其代入上式中，并將等式右邊按照進行合并整理，可得：

繼續(xù)化簡，可得：

將其代入 ，化簡得：

由于 ， ，而 ，，可得 ，則有：

將上式整理如下：

上述方程是一個關(guān)于k的一元二次方程，則：

顯然， ，則可解出關(guān)于k的方程如下：

由于k>0才有經(jīng)濟意義，則有：

通過對 求二階偏導，化簡可得

由于二階偏導大于0，則等式在 處取得最小值，即：

上述 為銀行貸款方差期望比最小的貸款利率，即銀行單位風險收益最大的貸款利率。

對比現(xiàn)階段基于利率風險補償機制及基于違約期權(quán)的固定利率住房抵押貸款定價原理來說，本文單位風險收益最大化模型具有一定的優(yōu)勢：一方面，基于利率風險補償機制的定價原理是建立在固定利率水平與同期限浮動利率水平之間線性關(guān)系基礎(chǔ)之上，由于我國固定利率住房抵押貸款市場還不充分，固定利率數(shù)據(jù)有限，對于利用較少歷史數(shù)據(jù)形成的固定利率回歸模型，還有待時間的檢驗，而且模型并未進一步計算相應(yīng)的參數(shù)值；在基于違約期權(quán)的固定利率住房抵押貸款定價原理中，提前還款率起著重要作用，是貸款現(xiàn)金流分析的基礎(chǔ)，但由于國內(nèi)外住房抵押貸款業(yè)務(wù)之間及借款人行為之間的差異，使得提前還款率研究照搬國外不是很合理。因此，引用及深入研究本文模型具有較強的適用性。

在此基礎(chǔ)上，筆者對S銀行2008年6月執(zhí)行的10年期固定利率貸款利率6.93%進行檢驗。S銀行具備先進的定價水平及風險管理能力，固定利率住房貸款的利率水平在銀行業(yè)同類產(chǎn)品中具有較大的優(yōu)勢，其他商業(yè)銀行在制定其固定利率水平時，也參考S銀行同期限固定利率房貸利率水平。受2008年國際金融危機影響，為了刺激經(jīng)濟復蘇，我國從2008年9月16日至2008年底，連續(xù)5次下調(diào)人民幣貸款基準利率，降息政策給借款人提前還款提供了可能。因此，結(jié)合2008年9月16日至2008年底的1年期上海同業(yè)拆借利率（Shibor）為市場利率進行研究，驗證得出模型中的一階導數(shù)不為0，從而得出該固貸利率并不能滿足方差期望比最小，即單位風險收益最大。

但由于上述模型計算的復雜性，我們無法得出最優(yōu)貸款利率水平，必須利用計算機軟件進行編程求解，這也是后續(xù)研究的方向。

五、總結(jié)

結(jié)合我國固定利率住房抵押貸款定價不合理的現(xiàn)狀，本文研究確定了單位風險收益最大化模型。建模思想如下：首先，將借款人提前還款行為看作是一個隱含期權(quán)，對商業(yè)銀行來說，在發(fā)放固定利率住房抵押貸款時，相當于同時賣出執(zhí)行價為原貸款合同利率的看跌期權(quán)；其次，利用市場利率服從幾何布朗運動的假設(shè)，得出固定利率住房抵押貸款的期望收益與風險；最后，構(gòu)建一個變量指標——方差期望比，運用最優(yōu)化思想及數(shù)學推導，得出模型滿足單位風險收益最大化的最優(yōu)貸款利率，為商業(yè)銀行貸款定價提供理論和技術(shù)參考。

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（特約編輯 齊稚平；校對 GX）