楊燕

高中的平面解析幾何，是用代數(shù)方法來(lái)研究平面幾何圖形的問(wèn)題，它所提出的問(wèn)題以及問(wèn)題的結(jié)論都是幾何形式，而中間的論證和推導(dǎo)基本上是用代數(shù)方法.有許多題型中都會(huì)涉及二次函數(shù)韋達(dá)定理的綜合應(yīng)用.

韋達(dá)定理反映了方程根與系數(shù)的關(guān)系，在平面解析幾何中凡是與方程的根有關(guān)的問(wèn)題，大多數(shù)可用韋達(dá)定理來(lái)求解，如解決交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系、定值、軌跡方程等.

本文通過(guò)近幾年高考及模擬試題的一些具體的例子，淺析韋達(dá)定理在解析幾何中的綜合應(yīng)用.

一、構(gòu)造二次方程運(yùn)用韋達(dá)定理

例1（2011年浙江高考）已知拋物線(xiàn)C1：x2=y，圓C2：x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M.

（1）求點(diǎn)M到拋物線(xiàn)C1的準(zhǔn)線(xiàn)的距離.

（2）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C1上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線(xiàn)，交拋物線(xiàn)C1于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線(xiàn)l垂直于AB，求直線(xiàn)l的方程.

解（1）解略.M到拋物線(xiàn)C1的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為174.

解得x20=235.

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為±235，235，所以直線(xiàn)l的方程為y=±3115115x+4.

點(diǎn)評(píng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)有兩條，此題就用兩直線(xiàn)的斜率構(gòu)造了二次方程，再利用韋達(dá)定理得到兩斜率的和與積與動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的關(guān)系，再次利用兩切線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為變量，構(gòu)造關(guān)于這兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為根的二次方程，雖然設(shè)了兩個(gè)斜率，但沒(méi)有真正求出，正體現(xiàn)了韋達(dá)定理的妙用之處——設(shè)而不求，此題很好地利用了韋達(dá)定理.

例2如圖，P是拋物線(xiàn)y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC的面積的最小值.

解設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），B（0，b），C（0，c）.

又S△PBC=|b-c|2x0，直線(xiàn)PB：y-b=y0-bx0x與圓相切，

∴1=|y0-b+bx0|(y0-b)2+x20，

整理得(x0-2)b2+2y0b-x0=0.

同理，(x0-2)c2+2y0c-x0=0，

∴b,c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的兩個(gè)根.

因此(b-c)2=(b+c)2-4bc=2y0x0-22-4·-x0x0-2=4y20+4x20-8x0(x0-2)2=2x0x0-22，

∴S△PBC=|b-c|2x0=x20x0-2=t2+4t+4t=t+4t+4≥8，

其中t=x0-2>0，當(dāng)x0=4時(shí)取得最小值.

點(diǎn)評(píng)此題同樣是解決直線(xiàn)與圓的切線(xiàn)問(wèn)題，與上一題不同之處是，此題構(gòu)造了關(guān)于兩直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為變量的二次方程，同樣是設(shè)而不求使解答過(guò)程得到了簡(jiǎn)化.

二、利用韋達(dá)定理求軌跡方程

例3（2010年河南省調(diào)研）由動(dòng)點(diǎn)P向橢圓x24+y2=1引兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

解設(shè)P（x0,y0），kPA=k1，kPB=k2，則k1k2=-1.

將直線(xiàn)y-y0=k1(x-x0)代入x24+y2=1，

整理，得(1+4k1)x2+8k1(b-k1a)x+4(b-k1a)2-4=0.

∵AP與橢圓相切，∴Δ=0.

整理，得1+4k21=(b-k1a)2.①

同理，得1+4k22=(b-k2a)2.②

由①②可知：k1,k2為方程(x20-4)k2-2x0y0k+y20-1=0的兩根，

由韋達(dá)定理可知：k1k2=y20-1x20-4=-1，