馮國(guó)明

【摘要】盡管高考對(duì)球與多面體的考查是基礎(chǔ)性的，但這并不意味著可以忽視這部分的教學(xué)，畢竟，從當(dāng)前情況看，此部分的考查仍是較為頻繁的.筆者將就這方面的解題方法進(jìn)行多方面的探討.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；立體幾何；球與多面體；解題方法

從這幾年的高考試卷上看，對(duì)空間想象能力的考查，一般是集中體現(xiàn)在立體幾何試題上的，對(duì)球與多面體的考題，一般以基礎(chǔ)題為主.解決這類(lèi)題目，需要掌握相關(guān)的截面圖和結(jié)論.事實(shí)上，球與多面體之間的接切問(wèn)題，在課本中沒(méi)有明確的定義，球的主要元素在它的大圓中；而多面體的主要元素關(guān)系在各個(gè)側(cè)面及對(duì)角面上.本文主要是介紹常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合問(wèn)題中的內(nèi)切、外接等題型的解法.

一、關(guān)于解題思想

數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，有著普遍的應(yīng)用意義，是歷年高考的重點(diǎn).數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有更高的層次，如果說(shuō)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)意識(shí)，只能領(lǐng)會(huì)運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決.中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，應(yīng)該盡可能地加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解并學(xué)會(huì)在解題中自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.因此，筆者以球與多面體的組合體解題方法為例，精心設(shè)計(jì)了幾個(gè)案例，從不同側(cè)面體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法對(duì)尋求解題思路的作用，對(duì)于拓寬思路、發(fā)展智力、培養(yǎng)能力有一定的意義.

二、關(guān)于球與多面體的組合體解題思路

1畢嘟游侍

球外接于多面體是指多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上.

棱柱與球的組合體.

例1一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1 cm，那么該棱柱的表面積為.

分析正四棱柱的外接球的圓心O在它的體對(duì)角線(xiàn)AC與AC的交點(diǎn)上，如圖1.

圖1

在Rt△ACC1中，∵AC21=AC2+CC21，∴CC1=2，

∴S=2×1×1+4×1×2=2+42.

2畢嗲形侍

球內(nèi)切于多面體，即球與多面體的各個(gè)面都相切.

(1)正方體的內(nèi)切球中，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，對(duì)面距離為內(nèi)切球的直徑，若正方體的棱長(zhǎng)為a，內(nèi)切球的半徑為12a.

(2)正四面體、正三棱錐的內(nèi)切球切點(diǎn)在棱錐的底面和斜高上，因此截面圖是斜高及斜高在底面的射影、高組成的直角三角形，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則內(nèi)接球的球半徑為612a.

反思任何正多面體有一個(gè)內(nèi)接球和一個(gè)外切球，這兩個(gè)球同心.

拓展如果一個(gè)多面體的各棱都與一個(gè)球相切(把多面體想象成一個(gè)框架)，中間有一個(gè)充氣的球，“切”點(diǎn)恰在各棱的中點(diǎn)，如：正方體的棱切球，球與正方體各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)的球的截面(大圓)是正方形的外接圓，對(duì)棱中點(diǎn)間的距離為該球的直徑.若正方體的棱長(zhǎng)為a，則棱切球的半徑為22a，如圖3.

圖3

三、結(jié)語(yǔ)

總之，在實(shí)際的教學(xué)中，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該從多個(gè)方面進(jìn)行思考和總結(jié)，盡可能的為學(xué)生創(chuàng)造出更多的理解空間，讓學(xué)生能夠在理解數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ)之上，完成數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答.一般而言，在教學(xué)中常將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，用截面圖時(shí)，關(guān)鍵明確切點(diǎn)、接點(diǎn)、球心，將相關(guān)的數(shù)量關(guān)系呈現(xiàn)在三角形內(nèi)解決，其實(shí)只要掌握相關(guān)的結(jié)論，分析截面圖，讓學(xué)生看清截面的作法，就可解決兩個(gè)幾何體基本元素之間的關(guān)系.

【參考文獻(xiàn)】

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