樊艮

【摘要】在微積分中，微分中值定理是學好導數應用的基礎，因而其教學也顯得尤為關鍵.探討微分中值定理及其相關內容的教學以及怎樣構造輔助函數去解決問題，歷來是獨立學院師生所關注的熱點課題之一.

【關鍵詞】中值定理；教學；輔助函數；獨立學院

羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理統稱為微分中值定理.它們是溝通函數及其導數之間的橋梁，是研究函數性態(tài)的有力工具.微分中值定理對于獨立學院學《微積分》這門專業(yè)課來說是一個比較重要但又不容易掌握的章節(jié).很多老師講解完這節(jié)課后學生仍然不會解題，這其中一個重要原因就是在教學過程中老師只注重傳授給學生中值定理的內容而忽略過程的分析，大多數教師遵循傳統的教學方法已經形成一種思維定式：教學生解題時總是習慣從已知條件推導待求結論.顯然這種單一思維方式已經不適用于現在微積分特別是獨立學院的學生的學習，原因有兩點：一是本節(jié)課理論性強，二是學生基礎相對薄弱.如何讓學生更好地掌握微積分中微分中值定理并有效運用，我們針對教學中遇到的一些普遍現象經過研究摸索得到一些體會，與大家共同探討.

一、微分中值定理的內容

1甭薅（Rolle）中值定理

如果函數f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且在區(qū)間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ

2崩格朗日（Lagrange）中值定理

如果函數f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ

3笨攣髦兄刀ɡ

如果函數f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且F′(x)在(a，b)內每一點處均不為零，那么在(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ

二、微分中值定理之間的關系

1甭薅中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣（即在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b)，可推出羅爾中值定理）.

2崩格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣（即在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，就可推出拉格朗日中值定理）.

三者的關系可表示為：

柯西中值定理g(x)=x拉格朗日中值定理f(a)=f(b)羅爾中值定理.

三、教學體會

1憊乖旄ㄖ函數采用啟發(fā)性教學

由于本節(jié)三個定理教材已經給出了詳細的證明過程，因此教師在講解過程中就不能照本宣科，而應啟發(fā)學生發(fā)掘證明過程背后的實質.例如：用羅爾中值定理去證明拉格朗日中值定理，為什么要構造輔助函數？輔助函數是怎樣構造出來的？又是怎么想到用羅爾中值定理來證明該定理的？針對這樣的疑問教師可以采用以下順序來引導啟發(fā)學生.首先，讓學生比較該定理與羅爾中值定理在內容上的異同，特別是結論上的區(qū)別.羅爾中值定理結論是“至少存在一點ξ(a<ξ

在分析講解的過程中若能充分調動學生的主動性，不僅可以鍛煉他們的邏輯思維能力，更能增強他們解決問題的信心，在教學過程中起到事半功倍的效果.

2苯萄順序

教學目標的實現，體現在教學內容的具體安排上，即先教什么，后教什么.一堂課的學習內容必須劃分成若干個可操作的階段.根據教育學家加涅對教學目標的分類，“微分中值定理”是一堂智力技能學習課，它有很強的理論性和操作性.在具體實施教學過程中，宏觀上把整堂課按Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理劃分三個階段，由淺到難，逐步加深.Cauchy中值定理留給學生自學，以培養(yǎng)學生的自學能力和學習遷移能力.在第一階段我們把學習的起點確定在已有的導數概念和導數的幾何意義上，在第二階段則把學習的起點確定在前面的定理基礎上，而每個定理的學習又分為幾個階段，并且有相似的教學組織形式、教學方法等教學策略.以Lagrange中值定理為例，教學過程分為學生討論階段、教師引導階段和應用舉例階段.這三個階段所完成的主要任務分別是:探索歸納、形成定理、應用形成技能.