郭曉霞，郭培昌

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

求解擴(kuò)展的Sylvester共軛矩陣方程＊

郭曉霞，郭培昌

（中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

研究擴(kuò)展Sylvester共軛矩陣方程及更一般形式復(fù)矩陣方程的解，利用復(fù)矩陣的實(shí)形式方法得到求解方程的迭代算法。數(shù)值例子展示了該算法的有效性。

實(shí)形式；擴(kuò)展的Sylvester矩陣方程；解

在穩(wěn)定性和控制理論中，矩陣X－AXB＝C，AXXB＝C和AXB＋CXD＝F有重要的應(yīng)用［1－2］。借助于復(fù)矩陣的實(shí)形式，復(fù)矩陣方程X－AB＝C的求解和解的存在性、連續(xù)性得到了好的結(jié)果［3］。類(lèi)似于文獻(xiàn)［3］中的復(fù)矩陣實(shí)形式方法，文獻(xiàn)［4］給出了矩陣方程AX－B＝C的解的表達(dá)式。另外，文獻(xiàn)［5－6］給出了求解實(shí)矩陣方程AXB＝F最小二乘解的有限步迭代算法。最近，文獻(xiàn)［7］研究了一類(lèi)擴(kuò)展的Sylvester共軛復(fù)矩陣方程AXB＋CD＝F，給出了一個(gè)有限步迭代算法求解連續(xù)的擴(kuò)展Sylvester共軛矩陣方程。但是這個(gè)算法在迭代過(guò)程中涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算，每一步需要對(duì)若干矩陣求共軛。本文將利用復(fù)矩陣的實(shí)形式，給出復(fù)矩陣方程AXB＋CD＝F的等價(jià)實(shí)形式，推導(dǎo)這類(lèi)方程的新求解算法。本文的思路與文獻(xiàn)［7］不同，新算法在迭代過(guò)程中避免了復(fù)數(shù)運(yùn)算。另外，新算法也可以推廣到更一般的復(fù)矩陣方程上。文中的2個(gè)數(shù)值例子展示了該算法的有效性。文章中符號(hào)tr（A），AT，AH和分別表示矩陣A的跡、轉(zhuǎn)置、共軛轉(zhuǎn)置和共軛?！珹‖表示實(shí)矩陣A的Frobenius范數(shù)，‖A‖＝

1 實(shí)矩陣方程

其中，A，C∈Rm×r，B，D∈Rs×n，F(xiàn)∈Rm×n是已知矩陣，X∈Rr×s是未知矩陣。文獻(xiàn)［7］給出了下面的求解方程（1）的迭代算法：

給定初值x（0），令

k∶＝0，計(jì)算

k＝k＋1；重復(fù)上述迭代直到R（k）＝0或R（k）處于誤差允許范圍內(nèi)。

文獻(xiàn)［7］證明了下面3個(gè)引理，這里轉(zhuǎn)述引理內(nèi)容，詳細(xì)證明可以參看文獻(xiàn)［7］。

引理1 假定擴(kuò)展Sylvester共軛矩陣方程（1）連續(xù)并設(shè)X＊是方程的解。那么，對(duì)任意的初始矩陣X（0），上述迭代所產(chǎn)生的序列X（i），R（i）和P（i）滿(mǎn)足

引理2 給定任意初始矩陣X（0），如果矩陣序列X（i），R（i）和P（i）按上述迭代方法產(chǎn)生，并且存在整數(shù)l≥1使得R（i）≠0對(duì)i＝0，1，…，l成立，則

引理3 如果擴(kuò)展Sylvester共軛矩陣方程（1）連續(xù)，那么對(duì)于任意的初始矩陣X（0），按照上面的方法經(jīng)過(guò)有限步迭代可以得到方程的解。

2 復(fù)矩陣的實(shí)形式

如果初始矩陣A∈Cm×n，那么A可以被唯一地寫(xiě)成A＝A1＋A2i，A1，A2∈Rm×n，i2＝－1，定義復(fù)矩陣A的實(shí)形式為

令

其中Ij是j×j單位矩陣。文獻(xiàn)［3］敘述了復(fù)矩陣實(shí)形式性質(zhì)，簡(jiǎn)單的計(jì)算可以驗(yàn)證下述引理成立，這里不再給出其證明。

在將復(fù)矩陣方程轉(zhuǎn)換成等價(jià)實(shí)矩陣方程時(shí)，上述引理是有用的。

3 擴(kuò)展Sylvester共軛矩陣方程

這部分將利用復(fù)矩陣的實(shí)形式研究復(fù)矩陣方程

定義方程（2）的等價(jià)實(shí)矩陣方程為

是方程（2）的解。

證 這里只證明必要性。

隨著世界工業(yè)的飛速發(fā)展，物流和供應(yīng)鏈的持續(xù)改進(jìn)成為眾多企業(yè)關(guān)注的焦點(diǎn)之一，智能物流是工業(yè)4.0的基石，工業(yè)4.0不僅僅是生產(chǎn)環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)智能化，更是生產(chǎn)與物流高度融合，對(duì)于物流方的高效、柔性提出了更高要求。SEW作為德國(guó)制造的典型代表，秉承“追求卓越，精益求精”的企業(yè)精神，除了為用戶(hù)提供先進(jìn)的傳統(tǒng)傳動(dòng)設(shè)備外，近年來(lái)在物流行業(yè)的創(chuàng)新發(fā)展也是大放異彩。

是方程（4）的解，那么（5）給出的矩陣X是（2）的解。事實(shí)上，因?yàn)?，所以?）式可寫(xiě)成

也是方程（4）的解。將（6）代入（8）并計(jì)算整理，容易得到

從等式（9）出發(fā)，可以按如下方式構(gòu)造復(fù)矩陣

算法1 （方程（2）的實(shí)形式算法）

〈2〉給定初始矩陣Y（0），計(jì)算

〈3〉如果R（k）處于誤差允許范圍內(nèi)，則終止迭代，否則計(jì)算

〈4〉k＝k＋1；轉(zhuǎn)〈3〉

〈5〉輸出

4 更一般形式復(fù)矩陣方程

考慮下面更一般形式的復(fù)矩陣方程

這里

…，q和F∈Cm×n是已知矩陣，X∈Cr×s是未知矩陣。給出這個(gè)復(fù)矩陣方程相應(yīng)的實(shí)形式

當(dāng)矩陣方程（10）連續(xù)時(shí)，通過(guò)推廣求解矩陣方程（2）的算法1，不難得到有限步迭代求解（10）的算法。參照定理1，容易證明下面的結(jié)論。

是方程（10）的解。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

這一部分選取文獻(xiàn)［7］中數(shù)值例子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并比較本文新算法與文獻(xiàn)［7］中算法的數(shù)值結(jié)果。

例1 考慮方程（10）形式的Sylvester共軛復(fù)矩陣方程，

該方程的解是

取X（0）＝10－6ones（2），應(yīng)用文獻(xiàn)［7］中的算法得到X（k），然后取初值Y（0）＝10－6ones（4），應(yīng)用本文新算法求解方程。其中ones（2）表示元素全為1的2階矩陣，ones（4）表示元素全為1的4階矩陣。表1展示了2種迭代的結(jié)果。

表1 2種算法的迭代結(jié)果Table 1 Iterative results for two algorithms

例2 考慮下述復(fù)矩陣方程

其中

這個(gè)方程的解是

表2 2種算法的比較Table 2 Comparison of two algorithms

［1］ Barnett S，Storey C.Matrix Methods in Stability Theory［M］.London：Thomas Nelson ＆Sons Ltd，1970.

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［7］ Wu A G，Lv L L，Hou M Z.Finite iterative algorithms for extended Sylvester－conjugate matrix equations［J］.Mathematical and Computer Modelling，2011，54：2363－2384.

On Solutions of the Extended Sylvester－Conjugate Matrix Equations

GUO Xiao－Xia，GUO Pei－Chang
（School of Mathematical of Science，Ocean University of China，Qingdao 266100，China）

The solutions of an extended Sylvester－conjugate matrix equation and a more general complex matrix equation are investigated.An iterative algorithm based on the real representation of a complex matrix is proposed.Two numerical examples are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.

real representation；extended Sylvester－conjugate matrix equations；solution

O241.6

A

1672－5174（2012）05－125－04

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（NCET－08－0500）；山東省青年科學(xué)家獎(jiǎng)勵(lì)基金項(xiàng)目（BS2010SF03）資助

2011－03－13；

2011－11－28

郭曉霞（1971－），女，教授。E－mail：guoxiaoxia＠ouc.edu.cn

AMS Subject Classification：15A24

責(zé)任編輯 朱寶象