摘 要： 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的解題功能，有利于學(xué)生的全面發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，從而挖掘?qū)W生更深層次的學(xué)習(xí)潛能。本文從四個(gè)方面探討了如何根據(jù)各種情形運(yùn)用不同的方法求異面直線(xiàn)的距離，有助于教學(xué)難點(diǎn)的突破，可以引導(dǎo)學(xué)生更新解題思路，提高學(xué)生的思維能力。
　　關(guān)鍵詞： 異面直線(xiàn)距離 公垂線(xiàn)法 最值法 線(xiàn)面平行法 體積法
　　
　　在立體幾何學(xué)習(xí)中，求異面直線(xiàn)之間的距離是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，因此掌握幾種求異面直線(xiàn)距離的常用方法是非常必要的。
　　一、公垂線(xiàn)法
　　找出或作出兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)然后進(jìn)行計(jì)算是求異面直線(xiàn)之間的距離的首要方法。由于兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)唯一存在，因此有時(shí)找出或作出其公垂線(xiàn)比較困難，但是如果兩異面直線(xiàn)中的一條在另一條所在的垂面內(nèi)時(shí)，它們之間的公垂線(xiàn)往往比較容易作出。
　　例1：邊長(zhǎng)為a的正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于O，以BD為折痕將正方形折成空間圖形，這時(shí)若△ACD為等邊三角形，求異面直線(xiàn)AC和BD之間的距離。
　　解：如圖，∵△ACD為等邊三角形
　　∴AD=DC=AC=AB
　　∴點(diǎn)A在平面BCD的射影O為△BDC的外心
　　∵△BCD為直角三角形
　　∴O為斜邊BD的中點(diǎn)
　　∵AO⊥平面BCD
　　∴AO⊥BD
　　又∵OC⊥BD
　　∴BD⊥平面AOC
　　在平面AOC內(nèi)作OE⊥AC于E，則OE為異面直線(xiàn)BD、AC距離。
　　∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA?OC=AC?OE
　　∴OE==a
　　二、最值法
　　如果兩條異面直線(xiàn)分別在兩個(gè)互相垂直的平面內(nèi)，應(yīng)用最值法求兩條異面直線(xiàn)的距離是比較方便的。我們知道兩條異面直線(xiàn)之間的距離是連結(jié)異面直線(xiàn)上兩點(diǎn)距離中的最小者，故我們可以將異面直線(xiàn)的距離表示成某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求函數(shù)的最小值求得兩條異面直線(xiàn)的距離。
　　例2：已知正方體ABCD—ABCD的棱長(zhǎng)為a，求異面直線(xiàn)AB和BD的距離。
　　解：如圖，在AB上任取一點(diǎn)M，在平面AB內(nèi)作MP⊥AB于P，在平面AC內(nèi)作PN⊥BD于N，連MN。
　　∵平面AB⊥平面AC，平面AB∩平面AC=AB
　　∴MP⊥平面AC
　　∴MP⊥PN
　　設(shè)MP=X
　　∴AP=X，PB=a-x
　　∴PN=PBcos45°=（a-x）
　　∴在Rt△MPN中，MN=X+（a-x）=x-+a
　　∴當(dāng)x=時(shí)，MN取最小值a。
　　三、線(xiàn)面平行法
　　如果兩條異面直線(xiàn)，一條既不在另一條所在的垂面內(nèi)，各自所在的平面又不互相垂直，這時(shí)應(yīng)用公垂線(xiàn)法或最值法求異面直線(xiàn)的距離比較困難，我們可將兩異面直線(xiàn)之間的距離轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)到平面的距離，這種求異面直線(xiàn)距離的方法稱(chēng)之為線(xiàn)面平行法。即選擇異面直線(xiàn)中的一條，過(guò)它作另一條直線(xiàn)的平行平面，則該直線(xiàn)與平面的距離即為所求兩異面直線(xiàn)的距離。
　　例3：設(shè)A，B分別為變數(shù)為θ的二面角α-L-β的兩個(gè)面內(nèi)的點(diǎn)，它們到棱L的距離分別為a，b，求證：異面直線(xiàn)AB與L的距離d=。
　　證明：如圖，過(guò)A作AC⊥L于C，過(guò)B作BD⊥L于D，作DE∥AC且DE=AC，連AE，BE，則∠BDE=θ且ACDE為矩形。
　　∵DC∥AE
　　∴DC∥平面ABE
　　∴DC到平面ABE的距離即為異面直線(xiàn)AB與L的距離
　　∵DC⊥BD，AE∥CD
　　∴AE⊥BD，又AE⊥DE
　　∴AE⊥平面BDE
　　∴平面ABE⊥平面BDE
　　在平面BDE內(nèi)過(guò)D作DF⊥BE于F，則DF⊥平面ABE，
　　∴DF為直線(xiàn)L到平面ABE的距離。
　　在BDE中，∵BD=b，DE=AC=a
　　∴BE=
　　∵BD?DEsinθ=BE?DF
　　∴DF==
　　本例導(dǎo)出的結(jié)果實(shí)為兩異面直線(xiàn)的距離公式，應(yīng)用此結(jié)論解決夾在二面角之間的直線(xiàn)與二面角的棱所在直線(xiàn)之間的距離是很方便的。
　　四、體積法
　　應(yīng)用線(xiàn)面平行法求異面直線(xiàn)的距離，有時(shí)直線(xiàn)到平行平面的距離難以作出或計(jì)算困難，這時(shí)我們可采用等體積法。體積法就是構(gòu)造一個(gè)棱錐，把異面直線(xiàn)的距離看作是該棱錐的高，利用棱錐體積的不變性，列方程求解。
　　例4：已知三棱柱P—ABC是底面邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，棱PC=2cm，且PC⊥底面ABC，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)CD，PE的距離。
　　解：如圖，在△ABC中，過(guò)E作EF∥CD交AB于點(diǎn)F，則CD∥平面PEF，
　　∴CD到平面PEF的距離就是兩異面直線(xiàn)CD，PE的距離。
　　∵PC⊥平面ABC，AB⊥CD
　　∴AB⊥PD（三垂線(xiàn)定理）
　　∵DF=AB=cm，EF=CD=cm
　　∴S=DF?EF=??=
　　∵PD=PC+CD=4+24=28cm，PF=PD+DF=28+2=30cm
　　PE=PC+CE=4+8=12cm
　　∴cos∠PEF===?
　　∴sin∠PFE=
　　∴S△PEF=PF?EF?sin∠PFE=???=3（cm）
　　在三棱柱P—DEF中，設(shè)頂點(diǎn)D到面PEF的距離為d
　　∵V=V
　　∴PC?S=d?S
　　∴1/3?2?=1/3d?3
　　∴d=cm
　　即異面直線(xiàn)CD，PE的距離為cm。
　　以上就四個(gè)方面探討如何針對(duì)各種不同情形運(yùn)用不同的方法求異面直線(xiàn)的距離。當(dāng)然，數(shù)學(xué)解題方法是多樣的，這也體現(xiàn)了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的靈活性和多角度性。如何培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，激發(fā)他們啟迪思維，挖掘其潛能，使其成為一名社會(huì)的有用之才，這是廣大教育工作者探索追求的目標(biāo)。
　　
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　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”