摘 要： 本文通過(guò)生動(dòng)的例子將生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題引入課堂，利用數(shù)學(xué)構(gòu)建的模式將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成解應(yīng)用題的途徑來(lái)加以解決。這樣一來(lái)既可以使學(xué)生在輕松愉快的解題過(guò)程中鞏固所學(xué)的知識(shí)，又可以培養(yǎng)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)用于實(shí)際的好習(xí)慣，即數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。本文還指出數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)形成的最終標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生能夠自覺(jué)、主動(dòng)、創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，這才是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)和出發(fā)點(diǎn)，更是提高國(guó)民素質(zhì)的途徑之一。
　　關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) 數(shù)學(xué)模型
　　現(xiàn)如今，全國(guó)上下都在大力提倡培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。最近，我有幸拜讀了大量關(guān)于在數(shù)學(xué)課堂上提供應(yīng)用題從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的文章。其中，我印象最深刻的就是季素月老師給出一個(gè)案例［４］：在一條河一側(cè)的B地倉(cāng)庫(kù)著火了，住在與倉(cāng)庫(kù)同側(cè)的A地居民馬上拿著水桶到河邊提水奔向B地救火，請(qǐng)作出居民救火的最佳途徑。題目一出，學(xué)生就紛紛給出答案，而且答案驚人一致：作出B點(diǎn)關(guān)于河邊的對(duì)稱點(diǎn)B′，連結(jié)AB′，與河邊交于C點(diǎn)，則由A經(jīng)由C再到B是居民救火的最佳路線。老師問(wèn)道：“你們的答案真的都是這么一致嗎？有沒(méi)有同學(xué)還有其它想法？”這句話說(shuō)過(guò)之后，伴隨的是教室的一片寂靜，學(xué)生的思維在高速地運(yùn)轉(zhuǎn)著。果然，一只手慢慢地舉了起來(lái)，剛開始這名學(xué)生比較靦腆，而且還沒(méi)多大信心，老師就鼓勵(lì)他，學(xué)生受了鼓舞，將自己的想法說(shuō)了出來(lái)。他說(shuō)：居民提著空水桶可以跑得更快點(diǎn)，而水桶里盛滿水后就不那么好提了，所以我覺(jué)得BC這段應(yīng)該更短些。剛才還一片寂靜的課堂一下子就炸開了，學(xué)生的思維也被激活了，各種討論聲、爭(zhēng)辯聲四處都是。有學(xué)生問(wèn)：老師，我們書上的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的答案是不是錯(cuò)誤的？也有學(xué)生問(wèn)：老師，這道題現(xiàn)在沒(méi)有答案那我們?cè)趺崔k？甚至有學(xué)生問(wèn)：老師，要是地直接到河邊沒(méi)有路怎么辦？……
　　當(dāng)然，對(duì)這些問(wèn)題，這位老師沒(méi)有直接給予答案。美籍匈牙利的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家喬治波利亞對(duì)教師提出的十誡之一就是：不要立即透露你的秘密——讓你的學(xué)生在你說(shuō)出來(lái)之前先去猜，盡量讓他們自己去找出來(lái)。
　　這個(gè)案例給了我很多啟示，生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題與我們書上的數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大關(guān)聯(lián)，卻又不盡相同。一方面，我們要明白書本上的數(shù)學(xué)問(wèn)題是從實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題中做適當(dāng)簡(jiǎn)單化，抽象出來(lái)的。另一方面，我們?cè)谶\(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要考慮實(shí)際的情況，要進(jìn)行創(chuàng)造性的應(yīng)用［1］。
　　為了使我們對(duì)利用應(yīng)用題培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)有更深刻的理解，我再借用香港中文大學(xué)黃家鳴先生的一篇文章中所給出的一個(gè)實(shí)例。在黃先生坐下來(lái)寫他的那篇文章前，他與十位同事在教師餐廳共進(jìn)午餐，與通常一樣，午餐的費(fèi)用由用餐者共同負(fù)擔(dān)，最終送來(lái)的帳單是483元，也像往常一樣，大多數(shù)人坐在那里等待計(jì)算，而某個(gè)人則已拿出了兩個(gè)20元的鈔票并主動(dòng)地承擔(dān)起了這一責(zé)任。每個(gè)人付40元就是440元，再付4元就足以應(yīng)付剩下的43元，從而44元就是所求的解答，而最終以支票付帳的人則可以少付1元錢。另外，大家也同意沒(méi)有零錢的人可以隨意地付45元或50元。這樣，一個(gè)算術(shù)問(wèn)題就以普遍滿意的方式獲得了解決。
　　上述情境顯然是十分常見(jiàn)的。但是，如果這并非是在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中發(fā)生的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生通常會(huì)通過(guò)仔細(xì)的計(jì)算給出如下的答案：483÷11=43元。而且，盡管在現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)法給出元，但無(wú)論是學(xué)生還是教師都會(huì)對(duì)上述的解答感到十分的滿意，甚至根本不會(huì)去考慮這一解答在現(xiàn)實(shí)中是否真正可行，因?yàn)楹笠粏?wèn)題被認(rèn)為是與學(xué)校中的數(shù)學(xué)解題活動(dòng)完全無(wú)關(guān)的。
　　從利用應(yīng)用題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的角度來(lái)看，上述兩個(gè)例子給予我們什么啟示呢？
　　一、學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)淡薄
　　我們的學(xué)生（甚至包括大學(xué)生）數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)淡薄，上述兩個(gè)例子也很好地說(shuō)明了這一點(diǎn)。但是我查閱了很多的文獻(xiàn)資料，大多數(shù)是只談怎樣培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，卻很少去涉及究竟是什么原因造就了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的淡薄。實(shí)際上這種做法是黑白顛倒、本末倒置的。那么，根據(jù)上述兩個(gè)例子，我們是否可以得出以下結(jié)論：課堂上的數(shù)學(xué)內(nèi)容嚴(yán)重脫離實(shí)際造就了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的淡薄。答案應(yīng)該是肯定的，這是經(jīng)過(guò)理性的思考得出的，當(dāng)然，最終還要依賴于我們更深入地調(diào)查研究。我并不認(rèn)為課堂上的數(shù)學(xué)內(nèi)容嚴(yán)重脫離實(shí)際是學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)淡薄的唯一原因，與此相反的是我們必須從整個(gè)教育環(huán)節(jié)上去考慮這一問(wèn)題，而不是僅從某一環(huán)節(jié)、某一角度去考慮［2］。
　　二、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題引入課堂
　　傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程的嚴(yán)重缺陷就是把數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)成一套嚴(yán)密抽象的演繹體系。但是無(wú)論如何你都不能否認(rèn)數(shù)學(xué)在社會(huì)中扮演的角色，應(yīng)該知道從過(guò)去、現(xiàn)在一直到將來(lái)，教數(shù)學(xué)的老師不可能浮在空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會(huì)的。正如夸美紐斯所說(shuō)：“人們學(xué)習(xí)的每一件事都應(yīng)該是充滿著聯(lián)系的。”數(shù)學(xué)也是具有豐富聯(lián)系的，在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系的同時(shí)，還必須重視數(shù)學(xué)跟外界的聯(lián)系。我們強(qiáng)調(diào)的是聯(lián)系學(xué)生親生經(jīng)歷的現(xiàn)實(shí)，而不是生造的虛假的現(xiàn)實(shí)，那是作為應(yīng)用的例子人為制造的。但是，目前我們的數(shù)學(xué)教育糟糕的是內(nèi)部聯(lián)系的得到（是否真的得到也未可知）卻犧牲了外部聯(lián)系。所以我們的數(shù)學(xué)教師面臨的首要問(wèn)題是：如何把生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題引入到我們的課堂？在這里，弗賴登塔爾給我們提供了一個(gè)很好的方法，他認(rèn)為類比是建立數(shù)學(xué)內(nèi)部與外部聯(lián)系的一個(gè)極為有效的手段，因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)象之間的類比，可以由一個(gè)解釋另一個(gè)，從而使學(xué)生產(chǎn)生興趣，使人信服，并能形成抽象的想象能力［3］。但是不管我們的教師怎樣把生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)改造后引入課堂，我們的教師必須明白的是：學(xué)生學(xué)習(xí)哪些數(shù)學(xué)似乎是無(wú)關(guān)緊要的，只要它充滿著聯(lián)系。因?yàn)橹挥新?lián)系的，才是最具活力的［3］。
　　三、多做應(yīng)用題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)
　　應(yīng)用題在課堂上的出現(xiàn)，在某種程度上可以說(shuō)滿足了社會(huì)、家長(zhǎng)和教師的部分需要，即希望學(xué)生學(xué)習(xí)的是有用的數(shù)學(xué)。甚至有人對(duì)初高中教材的應(yīng)用題所占的比例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題比例明顯偏低，從而得出結(jié)論：我們應(yīng)該大力加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)。毋庸置疑，這有積極的一面，即應(yīng)用題為學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力的培養(yǎng)創(chuàng)造了很好的條件。但我們不能就此輕意地得出下面的結(jié)論：讓學(xué)生多做應(yīng)用題就能培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。在這里我暫不討論目前課堂上的應(yīng)用題的好壞，就像上述案例給我們的啟示那樣，能否真正培養(yǎng)起學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，關(guān)鍵是看教師依托應(yīng)用題進(jìn)行施教的整個(gè)過(guò)程。要是應(yīng)用題只教給學(xué)生熟練的技能，同時(shí)教給學(xué)生大量的應(yīng)用模式和一些特殊的記憶方法，那是一種愚蠢的教學(xué)方法，這樣做只是為了應(yīng)付考試，根本不可能培養(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。實(shí)際上，這樣做反倒更加有害，即會(huì)使學(xué)生牢固樹立起這樣一種錯(cuò)誤觀念：所謂數(shù)學(xué)應(yīng)用，就是多做應(yīng)用題；如果你不會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那是因?yàn)槟銘?yīng)用題做得太少。所以，我們很自然地可以得出以下結(jié)論：學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)主要涉及的并非是教學(xué)中是否依托應(yīng)用題，而是教學(xué)思想的重要改變，即強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程的開放性，徹底改變學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的被動(dòng)狀態(tài)，促使其更為積極、主動(dòng)地進(jìn)行探索［4］。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，我們提出了建立數(shù)學(xué)模型的方法。數(shù)學(xué)模型方法，是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法。什么叫數(shù)學(xué)模型呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括，再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述。數(shù)學(xué)模型的形式是多樣的，它們可以是幾何圖形，也可以是方程式，函數(shù)解析式，等等。實(shí)際問(wèn)題越復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也就越復(fù)雜。怎樣用數(shù)學(xué)模型方法解決實(shí)際問(wèn)題呢？其實(shí)，意大利科學(xué)家伽利略在研究自由落體的過(guò)程時(shí)，就采用了建立數(shù)學(xué)模型的方法。我們生活的周圍世界，變化無(wú)處不在。例如：一個(gè)人從出生到成長(zhǎng)，我國(guó)人口的增長(zhǎng)，飛機(jī)在空中飛行的路線，地球繞著太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)，一桶水變成冰塊過(guò)程中溫度的變化，威脅我們生存的全球變暖過(guò)程，等等。這些變化著的現(xiàn)象中，常常含有變化著的量，以及各種數(shù)量關(guān)系，通?？梢酝ㄟ^(guò)建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效的研究。例如，變化范圍（定義域），變化趨勢(shì)（增長(zhǎng)或減少），變化速率（增長(zhǎng)或減少的快慢），等等，并且由此還能比較精確地預(yù)測(cè)將要發(fā)生的變化。
　　
　　四、喧鬧的課堂有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)
　　“精神需要精神的陶冶，人格需要人格的塑造”，我們是否也可以提出“意識(shí)需要意識(shí)的熏陶”呢？答案是肯定的。正像斯賓塞說(shuō)的那樣：“對(duì)待兒童沒(méi)有同情，他們就變得沒(méi)有同情，而以應(yīng)有的友情對(duì)待他們就是一個(gè)培養(yǎng)他們友情的手段?！苯處熞囵B(yǎng)起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，自己也必須具備一定的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。很難想象在一個(gè)根本不知道數(shù)學(xué)有什么用處的教師的教育下，學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)如何的強(qiáng)烈、能力如何的高明。數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是潛伏在學(xué)生的頭腦中的，它當(dāng)然需要那種“隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的潛移默化的教育。但是除了靜悄悄地進(jìn)行外，特別在課堂這一層面上，我們是否更應(yīng)該提倡“轟轟烈烈”的氣氛呢？也就是說(shuō)，“喧鬧”的課堂是否更有助于學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)呢？當(dāng)然，這里談到的喧鬧的課堂，并不是指課堂的毫無(wú)秩序，而是指學(xué)生圍繞著某一問(wèn)題展開激烈的爭(zhēng)辯，學(xué)生沒(méi)有好壞之分，有的只是思維的自由翱翔，從第一個(gè)案例看并結(jié)合當(dāng)前相對(duì)沉悶的課堂實(shí)際，我們更期望擁有這份喧鬧的課堂來(lái)喚醒學(xué)生。
　　五、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)形成的最終標(biāo)準(zhǔn)
　　數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生能自覺(jué)、主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。它的側(cè)重點(diǎn)在于學(xué)生的自覺(jué)性和主動(dòng)性，指的是一種精神狀態(tài)，屬于觀念、意識(shí)的范疇。也就是說(shuō)它是隱性狀態(tài)的數(shù)學(xué)，也正是因?yàn)殡[性的，所以對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是否真正形成我們很難有一個(gè)度量指標(biāo)。但是，假如我們的學(xué)生能夠創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，那么該行為或過(guò)程能否為學(xué)生形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)提供最有價(jià)值的根據(jù)呢？再進(jìn)一步說(shuō)，那是不是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)形成的最終標(biāo)準(zhǔn)呢？當(dāng)然，所謂創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題包括兩方面的內(nèi)容：一方面，能從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，另一方面，能創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決含有數(shù)學(xué)信息的問(wèn)題，在這里需要著重指出的是，創(chuàng)造性并不要求學(xué)生具有高超的數(shù)學(xué)技巧，主要是看運(yùn)用數(shù)學(xué)后得出的結(jié)果是不是更接近現(xiàn)實(shí)。結(jié)合上述兩個(gè)例子，也許會(huì)對(duì)創(chuàng)造性這個(gè)概念有更好的理解，遺憾的是我們的教學(xué)更多地強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)技巧，卻不怎么考慮結(jié)果在實(shí)際生活中能否行得通。實(shí)際上，暫且不討論數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)形成的最終標(biāo)準(zhǔn)是不是學(xué)生能夠創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，但也為我們教師開辟了以下這一視角：學(xué)生在課堂上所提出解決問(wèn)題的數(shù)量與質(zhì)量，是學(xué)生應(yīng)用意識(shí)是否形成的最重要的參考指標(biāo)。例如，小明外婆送來(lái)一籃雞蛋，這只籃子最多只能裝55只左右的雞蛋，小明3只一數(shù)，結(jié)果剩下1只，但忘了數(shù)多少次，只好重?cái)?shù)。他5只一數(shù)，結(jié)果剩2只，可又忘了數(shù)多少次。他準(zhǔn)備再數(shù)時(shí)，媽媽笑著說(shuō)：“不用數(shù)了，共有52只?！毙∶黧@訝地問(wèn)媽媽是怎么知道的，媽媽笑而未答，讓小明好好動(dòng)動(dòng)腦筋。其實(shí)，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們可以建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用方程的知識(shí)來(lái)解決。再如，某保險(xiǎn)公司銷售一年期的人壽保險(xiǎn)給20歲的投保人，保險(xiǎn)額10萬(wàn)元，保險(xiǎn)費(fèi)為120元，由過(guò)去的資料知，20歲的投保人能活到21歲的概率是，求這家公司的期望利潤(rùn)。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以建立數(shù)學(xué)模型，利用概率的知識(shí)解決。
　　總之，我們應(yīng)該深刻地理解數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)的目的、手段和標(biāo)準(zhǔn)，為提升我國(guó)國(guó)民整體素質(zhì)進(jìn)而增強(qiáng)綜合國(guó)力打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
　　
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