摘 要： 本文闡述了在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)新、舊知識(shí)間，各知識(shí)板塊及方法之間的聯(lián)系，依據(jù)類比思維的特點(diǎn)，運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)與解題，對(duì)學(xué)生進(jìn)行類比思維的培養(yǎng)，提高學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新素質(zhì)，從而提高教學(xué)效益，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新素質(zhì)教育的要求。
　　關(guān)鍵詞： 類比思維 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 創(chuàng)新教育
　　
　　類比思維方法是將兩個(gè)以上事物進(jìn)行比較，找出事物之間的類似之處，然后再據(jù)此推出它們?cè)谄渌胤降念愃浦?，或綜合它們的特征進(jìn)行類比。類比思維包括兩方面的含義：（1）聯(lián)想，即由新信息引起的對(duì)已有知識(shí)的回憶；（2）類比，在新、舊信息間找相似和相異的地方，即異中求同或同中求異。通過(guò)類比思維，在類比中聯(lián)想，從而升華思維，既有模仿又有創(chuàng)新。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比思維，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使他們的記憶理解能力、分析推理能力等多種智力因素得到充分發(fā)揮和發(fā)展，從而使整個(gè)思維活動(dòng)在課堂中處于最積極、最活躍的狀態(tài)，發(fā)展學(xué)生個(gè)性，提高學(xué)生的學(xué)科探究能力、綜合解題能力，落實(shí)學(xué)科素質(zhì)教育。下面我就在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“類比思維”進(jìn)行教學(xué)和解題談些體會(huì)。
　　1?郾運(yùn)用類比法教學(xué)，溝通新舊知識(shí)，深化、豐富教學(xué)內(nèi)容。
　　要開(kāi)發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，首先要打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，豐富學(xué)生的知識(shí)庫(kù)存。在教學(xué)中要特別重視在講授新概念時(shí)聯(lián)系舊知識(shí)，在新舊知識(shí)類比中加深理解，開(kāi)拓思路。
　　例如：在研究數(shù)列時(shí)，由于等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義和通項(xiàng)公式等方面很相似，因此可以考慮運(yùn)用類比的方法由等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的性質(zhì)。等差數(shù)列定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即a-a=d（n≥2，n∈N，d為常數(shù)），這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)d叫做等差數(shù)列的公差，通項(xiàng)公式為a=a+（n-1）d；等比數(shù)列定義：一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，即a/a=q（n≥2，n∈N，d為常數(shù)），這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通項(xiàng)公式為a=a?q。從兩個(gè)定義上比較目標(biāo)物與類比物的相似之處，一個(gè)是與減有關(guān)，一個(gè)是與除有關(guān)；通項(xiàng)公式一個(gè)是和的形式，一個(gè)是積的形式。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的思想去考慮和與差，商與積，教師可啟發(fā)學(xué)生去回憶等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并思考：如果是等比數(shù)列，那相應(yīng)的性質(zhì)又應(yīng)該如何改變呢?
　　如｛a｝，｛b｝成等差數(shù)列，有如下性質(zhì)：（1）若m+n=p+q，則a+a=a+a；（2）｛a+k｝，｛a+b｝仍成等差數(shù)列。運(yùn)用類比思想方法，學(xué)生可得到：｛a｝，｛b｝成等比數(shù)列，有如下性質(zhì)：（1）若m+n=p+q，則a?a=a?a；（2）｛k?a｝（k≠0），｛a?b｝仍成等比數(shù)列，等等。這樣使學(xué)生對(duì)新知識(shí)有似曾相識(shí)的親近感，深化了教學(xué)內(nèi)容，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣。類比的方法有時(shí)是獲得發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的重要方法。這樣的類比在高中數(shù)學(xué)中還有很多，如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)、圓與球基本性質(zhì)、橢圓與雙曲線的相關(guān)幾何性質(zhì)等。運(yùn)用類比教學(xué)方法，既能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又進(jìn)行了科學(xué)思維和科學(xué)方法的示范，學(xué)生遇到了新的概念與新的事物也能作類比分析，得到滿意的結(jié)果。
　　2?郾運(yùn)用類比法教學(xué)，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使知識(shí)條理化。
　　隨著高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生掌握的知識(shí)逐漸形成網(wǎng)絡(luò)，這里有知識(shí)的橫向拓寬，也有遞進(jìn)式的深入，學(xué)生的知識(shí)和能力不斷產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，學(xué)生的創(chuàng)造性思維的發(fā)展就寓于其中了。在這個(gè)過(guò)程中，類比法是揭示這些知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的好方法。
　　例如，兩個(gè)角的和與差正弦公式sin（α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ，sin（α-β）=sinα?cosβ-cosα?sinβ，兩個(gè)角的和與差的余弦公式cos（α+β）=cosα?cosβ-sinα?sinβ，cos（α-β）=cosα?cosβ+sinα?sinβ。它們具有相似的數(shù)學(xué)形式和運(yùn)算規(guī)律。通過(guò)類比，學(xué)生們對(duì)公式記得牢，使用條件清晰，運(yùn)算起來(lái)也就熟練了。
　　通過(guò)類比，能較好地弄清它們的使用條件和變化規(guī)律，使用起來(lái)也不會(huì)出現(xiàn)差錯(cuò)。這樣的類比，小的方面有形式上的類比、計(jì)算方法上的類比、不同概念與規(guī)律的類比。大的方面有規(guī)律和體系上的類比。例如向量運(yùn)算與復(fù)數(shù)運(yùn)算及意義的類比，圓的切線與割線性質(zhì)的類比。有的性質(zhì)和解題思想就是通過(guò)類比提出或發(fā)展起來(lái)的。例如在教過(guò)等差數(shù)列和等比數(shù)列后，我曾引導(dǎo)學(xué)生列表比較它們的概念與性質(zhì)所具有的相似之處，也明確了它們之間的區(qū)別，建立起了橫向和縱向的聯(lián)系，建立起知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，使知識(shí)條理化，同時(shí)也提出了很多新的問(wèn)題，同學(xué)們考慮得更多更細(xì)更深刻了，分析歸納能力得到了提高，使創(chuàng)新思維得到調(diào)動(dòng)和及早的萌發(fā)。
　　3?郾運(yùn)用類比法進(jìn)行相應(yīng)解題教學(xué)，深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題思想的認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力。
　　教育學(xué)家瓦赫捷羅夫說(shuō)得好：“類比像閃電一樣，可以照亮學(xué)生所學(xué)學(xué)科的黑暗角落?！币虼嗽诮虒W(xué)中要積極運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)。類比是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)創(chuàng)造思想，也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)教學(xué)思想。它與數(shù)學(xué)課程改革相配合，必能在數(shù)學(xué)教育的課程目標(biāo)和內(nèi)容、數(shù)學(xué)觀念和方法等方面生成一定的理論成果，進(jìn)而更好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)。從實(shí)踐上說(shuō)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的遷移類比能力，可以改變落后的學(xué)習(xí)方式和課堂教學(xué)模式，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)質(zhì)量，通過(guò)展開(kāi)知識(shí)的形成過(guò)程，使學(xué)生知道知識(shí)的來(lái)龍去脈，知其然，更知其所以然。從教育目標(biāo)的觀點(diǎn)著眼，通過(guò)對(duì)前面知識(shí)的學(xué)習(xí)方法的傳授，達(dá)到對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響，使學(xué)生達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的，讓學(xué)生順利地由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，真正實(shí)現(xiàn)“教是為了不教”的目的。
　　例如，在課堂中已經(jīng)解決了這樣一道習(xí)題：已知圓C：（x-3）+（y-2）=4，若直線mx-y+3=0與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且∠MCN≥120°，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。
　　在對(duì)應(yīng)的作業(yè)中設(shè)計(jì)了這樣一道題：已知圓C：（x-3）+（y-2）=4，若直線mx-y+3=0與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且?≤-2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。
　　在作業(yè)中，還是有部分學(xué)生出了差錯(cuò)，講評(píng)時(shí)，首先我提出這道題與課堂中的那道題很相似，于是學(xué)生紛紛去查找，很快自己悟出了解題方法。
　　再如，（2010年江蘇高考第九題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x+y=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是?搖?搖?搖?搖。
　　在教學(xué)中我作了如下分析：設(shè)圓x+y=4上的點(diǎn)P（x，y）到直線12x-5y+c=0的距離為1，則=1，即｜12x-5y+c｜=13，也就是12x-5y+c=±13。
　?。?）當(dāng)12x-5y+c=13時(shí)，據(jù)題意直線12x-5y+c=13與圓x+y=4必須有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有<2，解得-13　　（2）當(dāng)12x-5y+c=-13時(shí)，據(jù)題意直線12x-5y+c=-13與圓x+y=4也必須有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則有<2，解得-39　　綜合（1）（2）可知滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)時(shí)，實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-13，13）。
　　問(wèn)題解決之后，我并沒(méi)有就此結(jié)束，而是拋出了這樣的一個(gè)探究引申題：
　　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x-a）+（y-b）=r（r>0），直線l：Ax+By+C=0，試探究圓C上到直線l的距離為m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)。
　　
　　學(xué)生的探究熱情高漲，因?yàn)橛辛饲懊嬉坏栏呖碱}的解題引領(lǐng)，學(xué)生慢慢地逐步發(fā)現(xiàn)研究方法與結(jié)論，頗感自豪?，F(xiàn)將學(xué)生的研究過(guò)程與成果呈現(xiàn)如下：
　　分析：首先考慮平面xOy中到直線l：Ax+By+C=0的距離為m的點(diǎn)P應(yīng)該位于與l平行的兩條直線l，l（如圖所示）上，問(wèn)題化歸為圓C與l，l交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則：
　?。?）當(dāng)r　?。?）當(dāng)r=d-m時(shí)，圓C上滿足條件的點(diǎn)P有且僅有一個(gè)（如圖②）；
　?。?）當(dāng)d-m　?。?）當(dāng)r=d+m時(shí)，圓C上滿足條件的點(diǎn)P有且僅有三個(gè)（如圖④）；
　?。?）當(dāng)r>d+m時(shí)，圓C上滿足條件的點(diǎn)P有且僅有四個(gè)（如圖⑤）。
　　若用上述結(jié)論解2010年江蘇高考第九題，則可快速得到c滿足的條件為2>+1，解得-13　　使學(xué)生經(jīng)歷探究的學(xué)習(xí)過(guò)程，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力，通過(guò)類比教學(xué)可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用意識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。
　　4?郾通過(guò)類比，介紹知識(shí)的新領(lǐng)域，提出新問(wèn)題，培養(yǎng)和開(kāi)發(fā)了學(xué)生創(chuàng)造性思維，并引向科學(xué)的前沿。
　　高中數(shù)學(xué)教材（蘇教版）在介紹復(fù)數(shù)時(shí)就采用了類比的方法，實(shí)數(shù)有加法、減法、乘法、乘方等運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律。如，若a，b，c∈R，則a+b=b+a（交換律），a+b+c=a+（b+c），a?b?c=a?（b?c）（結(jié)合律），a?（b+c）=a?b+a?c（分配律），同樣，若z，z，z∈C，則z+z=z+z，z+z+z=z+（z+z），z?z?z=z?（z?z），z?（z+z）=z?z+z?z，同樣滿足交換律、結(jié)合律、分配律等。同時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）由實(shí)部a與虛部b共同確定，即一個(gè)復(fù)數(shù)與一對(duì)有序數(shù)對(duì)（a，b）一一對(duì)應(yīng)，于是就提出了新的問(wèn)題，復(fù)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算有何聯(lián)系，又有怎樣的區(qū)別？這樣逐步地揭開(kāi)新知識(shí)的面紗。
　　類比可使知識(shí)條理化，它能分清概念和規(guī)律之間的相似與差異。從而發(fā)展知識(shí)的“空缺”，指引了研究的方向。門捷列夫元素周期表就是通過(guò)分析歸納抓住各元素的質(zhì)量排列和電荷數(shù)排列，把它們的物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)作類比，從而發(fā)現(xiàn)了“空缺”，再有目的、有方向地尋找這些“空缺”對(duì)應(yīng)的元素，并且獲得了巨大成功。16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹（G.Car-dano，1501—1576）在討論問(wèn)題“將10分成兩部分，使兩者的乘積等于40”時(shí)，將答案寫成“5+和5-”。盡管當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為“5+”和“5-”這兩個(gè)式子沒(méi)有意義，是虛構(gòu)的、想象的，但在解決許多問(wèn)題中，使用類似于“”這樣的式子卻帶來(lái)了極大的方便。那么，能作為數(shù)嗎？它真的是無(wú)意義的、虛幻的嗎？這正是科學(xué)家進(jìn)攻的前沿陣地之一，隨著科學(xué)家的研究與探索，引進(jìn)了“虛數(shù)”，從而將實(shí)數(shù)域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域，解決了這個(gè)難題，建立了相應(yīng)的運(yùn)算系統(tǒng)。這些問(wèn)題的解決，類比法都發(fā)揮了巨大的作用。
　　在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中緊緊抓住相似、相近概念、圖形、運(yùn)算與推理等，廣泛運(yùn)用類比思維這一突出特點(diǎn)，積極運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)，提高教學(xué)效益。充分利用在數(shù)學(xué)歷史上數(shù)學(xué)家運(yùn)用類比思維實(shí)現(xiàn)知識(shí)創(chuàng)新的生動(dòng)事例，利用教材編寫中對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行類比處理的素材，積極對(duì)高中數(shù)學(xué)中相似題型的解題方法進(jìn)行類比，對(duì)學(xué)生進(jìn)行類比思維的熏陶和培養(yǎng)。設(shè)置類比性習(xí)題，加強(qiáng)類比訓(xùn)練，促進(jìn)學(xué)生類比思維的形成，提高學(xué)生的創(chuàng)新素質(zhì)，努力實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育與創(chuàng)新教育的要求。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　?。?］高中數(shù)學(xué)教材（蘇教版）.
　　［2］高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn).
　?。?］方青云.類比思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用［J］.理科教學(xué)探索，2006.
　?。?］鄧?yán)磉M(jìn).試論數(shù)學(xué)類比教學(xué)的作用［J］.常州師專學(xué)報(bào)，2002.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”