陳永勝，董 達(dá)

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

“幾何畫(huà)板”作分段函數(shù)圖像

陳永勝，董 達(dá)

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

幾何畫(huà)板是一個(gè)優(yōu)秀的專業(yè)學(xué)科平臺(tái)軟件，它以數(shù)學(xué)為根本，以“動(dòng)態(tài)幾何”為特色來(lái)動(dòng)態(tài)表現(xiàn)設(shè)計(jì)者的思想，為探索幾何奧秘提供一個(gè)新的工具.本文研究了使用“幾何畫(huà)板”畫(huà)分段函數(shù)圖像，給出詳細(xì)的制作步驟.

幾何畫(huà)板；動(dòng)態(tài)幾何；分段函數(shù)

幾何畫(huà)板是一個(gè)適用于幾何教學(xué)的軟件平臺(tái)，它以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過(guò)對(duì)這些元素的變換、構(gòu)造、測(cè)算、計(jì)算、動(dòng)畫(huà)、跟蹤軌跡等，能顯示或構(gòu)造出較為復(fù)雜的圖形.它最大的特色是“動(dòng)態(tài)性”，即：用鼠標(biāo)拖動(dòng)圖形上的任一元素(點(diǎn)、線、圓)，而事先給定的所有幾何關(guān)系都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變，深入幾何的精髓，突破了傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)[1].

分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi)，其對(duì)應(yīng)法則也不同的函數(shù).分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.以分段函數(shù)為載體的問(wèn)題已成為高考中的熱點(diǎn)問(wèn)題.在繪制圖像時(shí)，函數(shù)的定義域是不同的，我們首先采用分段法繪制復(fù)雜的函數(shù)的圖像[2].

方法一：分區(qū)間作函數(shù)法

制作思路和步驟：將數(shù)軸x分成3個(gè)區(qū)間x1∈(? ∞,a)，x2∈[a,b]，x3∈(b,+ ∞)，在每個(gè)區(qū)間上作線段或者射線，并分別取一個(gè)對(duì)象點(diǎn)A1,A2,A3度量它們橫坐標(biāo)x1,x2,x3.分別以x1,x2,x3為自變量，在相應(yīng)的區(qū)間上構(gòu)造計(jì)算公式f1(x1),f2(x2),f3(x3)，分別選中點(diǎn)對(duì)(x1,f1(x1))、(x2，f2(x2))、(x3，f3(x3))，繪制點(diǎn)F1,F2,F3.再分別選中點(diǎn)A1和F1,A2和F2,A3和F3求作軌跡，繪出不同顏色的函數(shù)圖像[3-4].

1) 打開(kāi)一個(gè)新畫(huà)板，選擇<圖表/定義坐標(biāo)系>，建立直角坐標(biāo)系.選擇<圖表/隱藏網(wǎng)格>，選擇<編輯/參數(shù)選擇>，打開(kāi)“參數(shù)選擇”對(duì)話框，將角度單位由“度”改為“弧度”.選擇<圖表/繪制點(diǎn)P(x,y)>，分別繪制出點(diǎn)A(?1,0)、B(4,0).用畫(huà)點(diǎn)工具在點(diǎn)A的左側(cè)x軸上，畫(huà)一點(diǎn)C.先后選點(diǎn)A、C，選擇<作圖/射線>，畫(huà)射線AC；先后選點(diǎn)A,B，選擇<作圖/線段>，畫(huà)線段AB；用畫(huà)點(diǎn)工具在點(diǎn)B的右側(cè)x軸上，畫(huà)一點(diǎn)D，先后選點(diǎn)B,D，選擇<作圖/射線>，畫(huà)射線BD.分別在射線AC上取一個(gè)對(duì)象點(diǎn)1A，在線段AB上取一個(gè)對(duì)象點(diǎn)A2，在射線BD取一個(gè)對(duì)象點(diǎn)上取一個(gè)對(duì)象點(diǎn)A3，選中1A,A2,A3，選擇<度量/橫坐標(biāo)>，度量它們的橫坐標(biāo)x1，x2，x3.

2) 選擇<圖表/新建函數(shù)>，新建以下幾個(gè)函數(shù)f1(x) = cos(x)，f2(x) = 2sin(x?1)，f3(x) = sin(x) + cos(x).選擇<度量/計(jì)算>打開(kāi)計(jì)算器計(jì)算，分別以x1，x2，x3為自變量，計(jì)算3個(gè)函數(shù)值f1(x1)，f2(x2)，f3(x3).選點(diǎn)對(duì)(x1，f1(x1))、(x2，f2(x2))、(x3，f3(x3))，選擇<圖表/繪制點(diǎn)P(x,y)>，繪制點(diǎn)F1,F2,F3.再分別選點(diǎn)A1和F1,A2和F2,A3和F3，選擇<作圖/軌跡>，繪出不同顏色的分段函數(shù)圖像(見(jiàn)圖1）.

圖1 分區(qū)間作出的分段函數(shù)圖像

首先將數(shù)軸x分成n個(gè)區(qū)間x1∈(? ∞,a1)，x2∈ [a1,a2)，…，xn∈ [an?1,+ ∞).在每個(gè)區(qū)間上作線段或者射線，分別取一個(gè)對(duì)象點(diǎn)A1,A2…,An，度量它們橫坐標(biāo)x1，x2，…，xn，分別以x1，x2，…，xn為自變量，在相應(yīng)的區(qū)間上構(gòu)造計(jì)算公式f1(x1)，f2(x2)，…，fn(xn)，分別選中點(diǎn)對(duì)(x1，f1(x1))，(x2，f2(x2))，…，(xn，fn(xn))，繪出點(diǎn)F1，F(xiàn)2，…,Fn，分別選中點(diǎn)A1和F1，A2和F2，…,An和Fn求作軌跡，繪出不同顏色的函數(shù)圖像.

方法二：構(gòu)造符號(hào)函數(shù)法

在分段函數(shù)的定義域內(nèi)，用畫(huà)點(diǎn)工具在x軸上任取一點(diǎn)A，度量A的橫坐標(biāo)xA.計(jì)算F(xA) =s1(xA)?f1(xA) +s2(xA)?f2(xA) +s3(xA) ?f3(xA)的值. 先后選中xA和F(xA)的值，作點(diǎn)B；同時(shí)選中A和B，求作軌跡即可.

1) 打開(kāi)一個(gè)新畫(huà)板，選擇<定義/建立坐標(biāo)系>，建立直角坐標(biāo)系，選擇<圖表/隱藏網(wǎng)格>，選擇<編輯/參數(shù)選擇>，打開(kāi)“參數(shù)選擇”對(duì)話框，將角度單位改為“弧度”.選擇<圖表/新建函數(shù)>，依次新建以下幾個(gè)函數(shù)s1(x) = (1? sgn(x+ 1))/2，s2(x) = (sgn(x+ 1)+ sgn(4 ?x))/2，s3(x) = (1+ sgn(x? 4))/2，f1(x)= cos(x) ，f2(x) = 2sin(x? 1)，f3(x) = sin(x) + cos(x).

2) 選中x軸，選擇<作圖/對(duì)象上的點(diǎn)>，在x軸上取任意點(diǎn)A，選中A，選擇<度量/橫坐標(biāo)>，度量點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA. 打開(kāi)計(jì)算器計(jì)算的值.將其名稱改為yA，先后選中xA和yA的值，選擇<圖表/繪制點(diǎn)P(x,y)>，作點(diǎn)B；同時(shí)選中點(diǎn)A和點(diǎn)B，選擇<作圖/軌跡>即可(見(jiàn)圖2）.

圖2 符號(hào)函數(shù)法作出的函數(shù)圖像

般：首先依次新建以下n個(gè)函數(shù)

在x軸上取任意點(diǎn)A，度量A的橫坐標(biāo)xA，計(jì)算值.將名稱改為yA，選中xA和yA的值，選擇<圖表/繪制點(diǎn)P(x,y)>，作點(diǎn)B；同時(shí)選中點(diǎn)A和點(diǎn)B，選擇<作圖/軌跡>即可.

如果所作分段函數(shù)的區(qū)間 (?∞,a1)， [a1,a2)，…，[an?1,+ ∞ )有些需要變化，也就是a1，a2，…，an的有些數(shù)值不固定，仍然可以作出它的圖像.只需要利用<圖表/新建參數(shù)>，分別建立參數(shù)a1，a2，…，an，并給出初值，當(dāng)圖像完成后，對(duì)于那些需要改變值的參數(shù)，可以選中參數(shù)后右單擊，在快捷菜單中選擇<屬性/值>，改變參數(shù)的值，在快捷菜單中選擇<屬性/參數(shù)>，改變參數(shù)的變化方式(連續(xù)的或不連續(xù)的).

圖3 符號(hào)函數(shù)法作出的任意區(qū)間的分段函數(shù)圖像

[1] 劉勝利.幾何畫(huà)板與微型課件制作[M].北京:科學(xué)出版社,2004:130-132.

[2] 毛美生.如何在《幾何畫(huà)板》中繪制分段函數(shù)的圖像[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2002(3):24-25.

[3] 陶維林.幾何畫(huà)板與數(shù)學(xué)教學(xué)整合的實(shí)踐與思考[J].中小學(xué)教材教學(xué),2005(6):34-37.

[4] 廖學(xué)軍.“幾何畫(huà)板”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào),2005(4):9-10.

Draw Graph of Partition Function with “The Geometer’s Sketchpad”

CHEN Yong-sheng，DONG Da
(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping, Jilin 136000, China)

The Geometer’s Sketchpad is outstanding specialized discipline platform software. It takes mathematics as the basis, "the dynamic geometry" as the characteristic to show dynamically the designer’s thoughts, and provides a new tool to explore the geometry mystery.This article discusses how to use " The Geometer’s Sketchpad " to draw partition function, and illustrates the steps in detail.

The Geometer’s Sketchpad；dynamic geometry；partition function

O17; G633.6

A

1673-2065(2011)04-0030-04

2011-02-19

吉林省高等教育教學(xué)研究重點(diǎn)課題(2010068); 吉林師范大學(xué)2009年校級(jí)教研立項(xiàng)重點(diǎn)課題(jsjy200921)

陳永勝(1973-),男,吉林長(zhǎng)春人,吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授,理學(xué)碩士;董 達(dá)(1989-),女,吉林白城人,吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2008級(jí)學(xué)生.

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)