陳 茜 , 舒慧穎

（中南林業(yè)科技大學(xué) a. 理學(xué)院；b. 商學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

淺析冪指函數(shù)的極限問(wèn)題

陳 茜a, 舒慧穎b

（中南林業(yè)科技大學(xué) a. 理學(xué)院；b. 商學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004）

對(duì)冪指函數(shù)求極限的問(wèn)題，提出了幾種方法，尤其討論了等價(jià)無(wú)窮小替換在冪指函數(shù)求極限過(guò)程中的可行性.并且以實(shí)例演練了理論的應(yīng)用性.

冪指函數(shù)；極限；洛必達(dá)法則；等價(jià)無(wú)窮小

冪指函數(shù)的一般形式為y=f(x)g(x)（f(x)＞0），求冪指函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).在考研數(shù)學(xué)以及期末統(tǒng)考中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的題目.但是有些同學(xué)覺(jué)得無(wú)從下手？原因主要是對(duì)冪指函數(shù)的概念模糊，誤認(rèn)為冪指函數(shù)是冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)，其次在一般的教材中對(duì)冪指函數(shù)求極限的方法講解的較少.在實(shí)際的教學(xué)中，針對(duì)這些問(wèn)題，我們給出以下幾例.

1 洛必達(dá)法則求極限[1]138.

2 等價(jià)無(wú)窮小求極限.

對(duì)于等價(jià)無(wú)窮小替換是否可以應(yīng)用在冪指函數(shù)求極限的過(guò)程中，教材上一般沒(méi)有涉及.為此，我們探討了以下定理.

對(duì)于1∞型的冪指函數(shù)極限也可以用下面的定理解決.

定理2設(shè)f(x)與g(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)x→x0時(shí)，f(x) → 1，g(x)→∞，則

證明當(dāng)x→x0時(shí)，f(x) →1，而 lnf(x) ～ [f(x)? 1]，證明方法可仿照上例.

3 對(duì)于冪指函數(shù)極限其他類(lèi)型的討論.

其證明可將冪指函數(shù)恒等變形后再利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)就可得到結(jié)論.

在上述的定理中若B=∞，那么通過(guò)討論0＜A＜1和A＞1可得到一些更詳細(xì)的結(jié)論.同時(shí)，自變量x在其他的變化過(guò)程中，以上的結(jié)論仍是成立的.在這里，我們不再一一討論.下面，就以下的例題來(lái)說(shuō)明以上理論的應(yīng)用.

由上面的例題看來(lái)，將等價(jià)無(wú)窮小替換應(yīng)用于冪指函數(shù)極限運(yùn)算中，同時(shí)結(jié)合洛必達(dá)法則，無(wú)論是在解題過(guò)程還是計(jì)算上都要比傳統(tǒng)的方法簡(jiǎn)捷.這就為學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)及考試中提供了一條新的解題思路.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2] 黃先開(kāi),曹顯兵,施明存,等.全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試歷屆試題:理工數(shù)學(xué)一[M].北京:世界圖書(shū)出版社,2004:25-223.

Analysis of Limit about Power-exponent Function

CHEN Qiana，SHU Hui-yingb
(Central South University of Forestry and Technology, a. School of Science; b. Business School, Changsha, Hunan 410004, China)

Several methods about limit of power-exponent function are provided. Especially, the application of equivalent infinitesimal replacement is proved. And the theory is described by some examples.

power-exponent function; limit; L’Hospital law; equivalent infinitesimal replacement

O172

A

1673-2065(2011)04-0008-03

2011-02-29

湖南省教育廳資助項(xiàng)目(09B113)

陳 茜(1977-),女,河北邢臺(tái)人,中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院講師,理學(xué)碩士;舒慧穎(1985-),女,苗族,湖南懷化人,中南林業(yè)科技大學(xué)商學(xué)院碩士研究生.

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲）