汪 凱

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030）

一類可變量分離方程的解法探討

汪 凱

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 安徽 蚌埠 233030）

研究了一類可變量分離方程的求解方法，并給出了在滿足一定條件下求解這類方程更簡(jiǎn)單的方法.

常微分方程; 變量分離; 通解

0 引言

在王高雄等[1]、東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系方程教研室[2]以及丁同仁等[3]編寫的常微分方程教程中均給出了一類可變量分離方程:

的一般求解方法, 該解法共分為3種情形:

1) 當(dāng)a1/a2=b1/b2=c1/c2=k(常數(shù))時(shí), 方程(1)可化為dy=kdx, 其通解為y=kx+c, 其中c為任意常數(shù). 2) 當(dāng)a1/a2=b1/b2=k≠c1/c2時(shí), 令u=a2x+b2y，方程(1)可轉(zhuǎn)化為

該方程為可變量分離的, 接下來根據(jù)變量分離方程的求解方法易求得其通解.

然后再根據(jù)齊次方程的求解方法求解. 具體求解過程如下:

先求解下列方程組

得其交點(diǎn)為(x,y) =(α,β), 再令

把(2)代入(1), 得

令u=Y/X, 則(3)化為如下變量分離的方程:

值得肯定的是該方法在求解這類方程時(shí)是很有效的, 但是對(duì)于后兩種情形, 以上求解方法過于繁瑣, 尤其是求解過程中涉及到多次的變量變換, 這給初學(xué)者的理解和掌握帶來了一定的困難. 經(jīng)過觀察我們發(fā)現(xiàn)在方程(1)滿足一定條件下還有更為簡(jiǎn)單的求解方法——湊微分法.

1 湊微分法

當(dāng)方程(1)滿足:

則有更簡(jiǎn)單的求解方法——湊微分法. 因?yàn)? 此時(shí)有

從而方程(1)可化為恰當(dāng)方程, 即它是某個(gè)函數(shù)的全微分. 具體求解過程如下:

方程(1)可化為

展開整理, 得

注意到條件(4), 從而

于是

這是一個(gè)全微分, 從而原方程的通解為 2a2xy+b2y2+ 2c2y?a1x2? 2c1x=c, 其中c為任意常數(shù).

2 舉例

下面通過例子加以比較說明我們所給出的湊微分解法更為簡(jiǎn)潔明了.

解法1該方程屬于情形2). 令u=x?y, 則du/dx= 1? dy/dx, 于是原方程化為

解法2由于原方程右端函數(shù)滿足條件(4), 從而由湊微分法有

解法1顯然該方程屬于情形3). 首先解方程組

得x=1,y=2. 令x=X? 1,y=Y? 2,代入原方程得

再令u=Y/X, 即Y=uX, 則上式化為

兩邊積分, 得

因而

同時(shí)注意到22 1

u+u?=0也是原方程的解, 從而有

其中c1為任意常數(shù). 帶回變量u=Y/X, 得

再帶回變量X=x? 1,Y=y? 2, 得

于是原方程的通解為y2+ 2xy? 6y? 2x?x2=c, 其中c=c1? 7為任意常數(shù).

解法2因?yàn)榉匠逃叶撕瘮?shù)的系數(shù)滿足a2+b1= 0, 即條件(4)成立, 于是可用湊微分法來求解該方程.

由原方程得

展開整理, 得

湊微分, 得

兩邊積分, 得原方程的通解y2+ 2xy? 6y? 2x?x2=c, 其中c為任意常數(shù).

3 結(jié)論

通過以上兩個(gè)例子不難看出, 對(duì)于滿足條件(4)的可變量分離方程(1), 我們所給出的湊微分求解方法要比文獻(xiàn)[1-3]中所給出的解法簡(jiǎn)單很多. 特別是當(dāng)方程(1)屬于情形3)時(shí), 此時(shí)若用我們所給的方法求解, 那么中間不涉及到任何變量變換, 因而求解過程非常簡(jiǎn)潔, 更有利于學(xué)生掌握和運(yùn)用.

[1] 王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社, 2006:36-39.

[2] 東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982:23-26.

[3] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,2004:40-41.

Study on Solution for a Kind of Variables Separated First-order ODE

WANG Kai
(School of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu, Anhui 233030, China)

In this paper, the solution for a kind of variables separated first-order ODE is studied, and a simple method under some conditions is given.

ODE; variables separated; general solution

O175.6

A

1673-2065(2011)04-0013-03

2011-03-02

汪 凱(1977-),男,安徽涇縣人,安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師,理學(xué)碩士.

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲）