趙中建

(華北水利水電學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州450011)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)方法探討

趙中建

(華北水利水電學(xué)院教務(wù)處，河南鄭州450011)

根據(jù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就如何提高教學(xué)質(zhì)量，改善教學(xué)方法等方面做了深入的分析和探討。

數(shù)理統(tǒng)計(jì);正態(tài)分布;教學(xué)方法

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是高等院校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用中一門重要的課程，是研究隨機(jī)現(xiàn)象客觀變化規(guī)律的一門學(xué)科，也是研究生數(shù)學(xué)考試的難點(diǎn)之一。學(xué)生處理該課程的思維方法與已學(xué)過的其它數(shù)學(xué)課程有很大的不同，該課程中的基本概念較抽象，內(nèi)容復(fù)雜，難以理解，容易混淆，解題不得法，無法用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來解決問題［1］。另外，學(xué)習(xí)該課程需要較深的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)知識(shí)，特別是定積分、二重積分等知識(shí)在求解數(shù)學(xué)期望和方差時(shí)經(jīng)常用到，如果仍然沿用傳統(tǒng)的以教為主的“灌輸式”教學(xué)方法，未必收到良好的教學(xué)效果。因此，該門課程的教學(xué)過程應(yīng)在“教與學(xué)”之間有所創(chuàng)新和突破，打破傳統(tǒng)的教學(xué)方法，引入新的互動(dòng)式教學(xué)模式，以啟發(fā)式教學(xué)為主，充分調(diào)動(dòng)課堂氣氛，把板書推導(dǎo)與多媒體展示結(jié)合起來，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和學(xué)習(xí)興趣，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。

一、案例教學(xué)，培養(yǎng)興趣，樹立信心

諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者楊振寧說過:“成功的真正秘訣是興趣?！背鯇W(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的學(xué)生覺得過于抽象，難以捉摸，公式較多，需要較多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有些概念又不易理解，從而產(chǎn)生厭學(xué)和怕學(xué)的心理，因此，告知學(xué)生，關(guān)鍵是要深刻理解概率論的涵義和本質(zhì)。古典概率是最難理解的，有些結(jié)果只能通過大量的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)得出，所以要學(xué)好這門課程，不僅要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到課程的重要性，更重要的是要吸引學(xué)生，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，樹立學(xué)好本課程的信心。

要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用學(xué)生的好奇心十分重要。首先，以案例教學(xué)為重點(diǎn)，該課程的特點(diǎn)之一是與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系較密切，所以，課堂上選擇與現(xiàn)實(shí)背景相互聯(lián)系的學(xué)習(xí)材料，結(jié)合所教學(xué)生的專業(yè)選擇一些實(shí)際案例，使學(xué)生較為輕松地學(xué)習(xí)該門課程。如講課《古典概率》中的概率大小，可舉“股民買彩票”、打麻將時(shí)“擲骰子游戲”、同學(xué)過生日時(shí)出現(xiàn)的生日巧合現(xiàn)象等例子。在講解正態(tài)分布時(shí)，可以讓學(xué)生分析每次考試成績結(jié)果的分布恰好都符合正態(tài)分布，并求出期望和方差?，F(xiàn)實(shí)中很多自然規(guī)律都符合正態(tài)分布，比如機(jī)器零件的測量誤差、商場的銷售總額、居民年收入等等。

其次，從現(xiàn)實(shí)生活中介紹概率論的用途。把理論與實(shí)際聯(lián)系起來，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》可以說是從實(shí)際中來又服務(wù)于實(shí)際的應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科。因此，以案例教學(xué)為重點(diǎn)，理論聯(lián)系實(shí)際，可以讓學(xué)生在課堂上了解到許多實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)生解決實(shí)際問題和綜合分析問題的能力，使教學(xué)課堂充滿生機(jī)和活力，讓學(xué)生既能輕松自如地學(xué)習(xí)知識(shí)，又能拓寬視野。如常見的拋硬幣、元件壽命、一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過某大街口的人數(shù)、街頭巷尾常見到的隨機(jī)摸球現(xiàn)象等等問題都與該課程有關(guān)，提出多次的重復(fù)摸球會(huì)出現(xiàn)重大獎(jiǎng)的規(guī)律是什么?這些大獎(jiǎng)的出現(xiàn)有什么規(guī)律?怎樣用數(shù)學(xué)知識(shí)分析規(guī)律出現(xiàn)的不確定性。講授方差時(shí)舉其在保險(xiǎn)行業(yè)及檢驗(yàn)產(chǎn)品零件時(shí)的應(yīng)用，能使學(xué)生真正理解方差的概念并能運(yùn)用到實(shí)際問題中。與實(shí)際相聯(lián)系的問題能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。時(shí)下學(xué)生對買彩票問題很感興趣，就給學(xué)生分析:顯然，每個(gè)人中一等獎(jiǎng)的概率大小是一樣，但是中一等獎(jiǎng)的概率是非常小的，幾千萬分之一，比汶川5．12發(fā)生地震的概率還小，當(dāng)學(xué)生對這類問題感興趣時(shí)，就會(huì)更有信心學(xué)好本課程。

二、改革教學(xué)方法，教學(xué)形式多樣化

(一)分塊式教學(xué)，加強(qiáng)對基本概念的理解

要在56個(gè)學(xué)時(shí)內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，提高教學(xué)效果，讓學(xué)生深刻掌握概率統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，必須采用啟發(fā)式教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容大致分為四個(gè)模塊:古典概率、一維二維隨機(jī)變量、期望和方差、數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分。在這幾塊教學(xué)中，基本概念的理解是首要教學(xué)難點(diǎn)，特別較難理解的是隨機(jī)變量的定義，通過對《高等數(shù)學(xué)》中函數(shù)及映射定義的回顧，總結(jié)出隨機(jī)變量定義包含的泛函難點(diǎn)。首先，隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的特殊函數(shù)，而一般函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上;其次，由于樣本空間的樣本點(diǎn)有一定的概率，所以，隨機(jī)變量取不同值也有一定的概率，通過實(shí)際例子反復(fù)讓學(xué)生理解基本定義包含的深刻內(nèi)涵，不但是對以前所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧，而且更能夠加深學(xué)生對基本概念的理解。

(二)板書推導(dǎo)的好處

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》涵蓋的內(nèi)容較廣、較抽象，采用板書推導(dǎo)公式，邊推導(dǎo)邊總結(jié)，邊講解重點(diǎn)的過程，使學(xué)生思維連貫，跳躍性小，無間斷點(diǎn)，便于理解和記憶。特別是重要公式推導(dǎo)，關(guān)鍵公式證明，重難點(diǎn)的分析過程，難易方法的比較，通過板書推導(dǎo)，不僅內(nèi)容豐富多彩，讓學(xué)生思維參與到學(xué)習(xí)的過程，老師隨著一步步板書，邊板書邊講解，不時(shí)地啟發(fā)式提問學(xué)生理解的程度，讓學(xué)生有主體地位，調(diào)解課堂氣氛，使學(xué)生更深刻地理解公式證明的過程，教學(xué)效果比較顯著。

(三)多媒體教學(xué)的優(yōu)勢

板書推導(dǎo)的不利之處是:浪費(fèi)時(shí)間較多，當(dāng)講解空間動(dòng)態(tài)圖像時(shí)，板書很難有效果，多媒體教學(xué)正好彌補(bǔ)這些缺點(diǎn)。

一方面，多媒體教學(xué)能使抽象的內(nèi)容更直觀化，通過圖片演示，聲音播放，教師的講解過程顯得更為生動(dòng)形象，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性更高，印象更為深刻，課堂的趣味性更濃，更重要的是圖標(biāo)能夠按照要求動(dòng)態(tài)的變化，將抽象的空間圖表具體化，同時(shí)增強(qiáng)教學(xué)中師生的互動(dòng)性［2］(P22)。如在講解正態(tài)分布圖像的特征時(shí)，正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)非常復(fù)雜，可以指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)過的計(jì)算機(jī)軟件編寫程序，通過多媒體把密度函數(shù)和概率分布函數(shù)的圖像展示出來，分析圖像隨著參數(shù)變化的規(guī)律，從而總結(jié)出正態(tài)分布的性質(zhì)。

另一方面，由于概率統(tǒng)計(jì)例題較長，板書浪費(fèi)時(shí)間較多，通過多媒體播放，教師能夠節(jié)省更多的精力和時(shí)間對內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)的分析和講解，既能增加與學(xué)生的互動(dòng)環(huán)節(jié)，又能增加課堂信息量。多媒體課件能把教材中的重點(diǎn)、難點(diǎn)直觀地反映出來，便于學(xué)生記憶。教師一邊展示圖像一邊粉筆板書，這樣既能延續(xù)一貫的聽課方式，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又能充分體現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知主體作用。當(dāng)講解概率章節(jié)時(shí)，把幾個(gè)重要的離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布率、概率密度、期望、方差等列成表格;當(dāng)講授統(tǒng)計(jì)內(nèi)容時(shí)，將正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間，假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域列成表格形式，概率統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到的公式和數(shù)據(jù)通過表格表示出來。這樣，學(xué)生覺得一目了然。通過讓學(xué)生先了解圖形的特點(diǎn)，再結(jié)合分位數(shù)的有關(guān)知識(shí)，找出其中的規(guī)律，理解它們的含義及聯(lián)系，加深了學(xué)生對概念的理解及方法的運(yùn)用，以便更容易記住和求出置信區(qū)間和假設(shè)檢驗(yàn)問題的拒絕域。這樣，不僅使學(xué)生對概念的理解更深刻、透徹，也培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力。

(四)板書推導(dǎo)和多媒體教學(xué)相結(jié)合

教學(xué)中將板書推導(dǎo)和多媒體教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，效果更佳。以二維正態(tài)分布的密度函數(shù)為例，它的圖像在空間中像一個(gè)中心凸起，邊沿?zé)o限大的“草帽”，證明其密度函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上二重積分等于1，要用到二重積分中極坐標(biāo)變換和雅克比轉(zhuǎn)換，如果用多媒體把空間圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前，板書推導(dǎo)極坐標(biāo)變化過程，并分析自變量及函數(shù)的取值區(qū)間，啟發(fā)式提問學(xué)生，讓學(xué)生一邊看圖一邊思考證明過程，腦海中既有二維正態(tài)分布的整體圖像又能記住理論推導(dǎo)過程，效果不言而喻。

三、及時(shí)歸納總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重難點(diǎn)

著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯說過:“在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比?！苯處熢趥湔n及講授過程中要對各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，各部分重難點(diǎn)及證明過程進(jìn)行歸納、類比和總結(jié)。即做到重點(diǎn)突出，難點(diǎn)細(xì)化，又及時(shí)歸納總結(jié)各章節(jié)和相互聯(lián)系。比如講授“期望”、“方差”這兩章時(shí)，首先總結(jié)定積分和二重積分的概念及公式，告知學(xué)生講授過程中要用到積分知識(shí)，章節(jié)結(jié)束歸納總結(jié)兩者的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，求解過程積分的運(yùn)用差別，這樣更容易掌握概念，求解時(shí)不會(huì)混淆。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》另外一個(gè)特點(diǎn)是系統(tǒng)性強(qiáng)，各章節(jié)內(nèi)容聯(lián)系緊密，只有對前面內(nèi)容中的概念、定理完全理解，才能進(jìn)行后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)。在講解過程中，古典概率完全靠理解:有放回?zé)o放回摸球問題、有順序無順序的排列數(shù)字問題，對這部分內(nèi)容老師和學(xué)生的互動(dòng)講解還比較輕松［3］。緊接著講授一維二維隨機(jī)變量就要及時(shí)總結(jié)前面內(nèi)容，并根據(jù)自己的需要和本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)進(jìn)行不同程度的復(fù)習(xí)和歸納。上課前的回顧有利于學(xué)生更清楚明白本節(jié)所學(xué)內(nèi)容和以前內(nèi)容的聯(lián)系，講授結(jié)束時(shí)及時(shí)總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重難點(diǎn)，布置適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)便于學(xué)生對所學(xué)知識(shí)融匯貫通，更好地達(dá)到教學(xué)效果。

四、考核方法的多樣化

考試是對教師的教學(xué)水平和學(xué)生的學(xué)習(xí)效果的具體檢測手段，也是教學(xué)評價(jià)的一種方式。目前，各院校對《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的考試比較單一，基本都是期末一張?jiān)嚲矶ㄇ?。平時(shí)成績包括作業(yè)和考勤，學(xué)生回答問題的態(tài)度和質(zhì)量，但是這些多占比率為小概率事件，部分學(xué)生作業(yè)不按時(shí)交，還有抄襲作業(yè)應(yīng)付等不良現(xiàn)象。所以要加強(qiáng)作業(yè)的檢查和批改，每次課后留適當(dāng)作業(yè)，太多學(xué)生做不完，太少又體現(xiàn)不了知識(shí)點(diǎn)，并且批改時(shí)一定要注明優(yōu)缺點(diǎn)，總結(jié)共性，下次上課時(shí)及時(shí)講解代表性的錯(cuò)題，每章結(jié)束要進(jìn)行測試，講授課堂與實(shí)驗(yàn)課相互結(jié)合等考試方式多樣化，逐步加大平時(shí)測試和實(shí)驗(yàn)課在期末考試中所占比率。學(xué)習(xí)后要求學(xué)生寫一篇論文或?qū)W習(xí)總結(jié)，所有這些都作為期末考試成績的參考依據(jù)?？傊?，通過科學(xué)的考核評價(jià)和反饋，促進(jìn)教與學(xué)不斷改進(jìn)和提高。

五、課后作業(yè)與課外作業(yè)相結(jié)合

數(shù)學(xué)課程共同特點(diǎn)是必須布置一定量的作業(yè)，學(xué)生做作業(yè)是對所學(xué)知識(shí)理解、對概念加深領(lǐng)會(huì)的過程，也是教師檢驗(yàn)學(xué)生知識(shí)掌握程度、培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題能力的手段。布置作業(yè)不能搞“題海戰(zhàn)”，又不能太少，因此需要教師查閱大量的教材和習(xí)題集，特別是每年的考研題型，補(bǔ)充一些經(jīng)典的又與所學(xué)內(nèi)容相對應(yīng)的典型例題。學(xué)生通過做題才能發(fā)現(xiàn)問題，掌握解決問題的思路、方法和技巧，只有通過把所學(xué)知識(shí)與實(shí)際考題類型相結(jié)合，在實(shí)踐中運(yùn)用，學(xué)生才能真正掌握所學(xué)知識(shí)?？傊?，如何教好、讓學(xué)生學(xué)好《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程，還需要在教學(xué)方法、教學(xué)手段、所選教材、課外作業(yè)等方面做更深入的探討。只有發(fā)揮教學(xué)中師生的主觀能動(dòng)性，才能取得更好的教學(xué)效果。

［1］徐榮聰，游華．課程案例教學(xué)［J］．寧德師專學(xué)報(bào)，2008，(2)．

［2］陳希孺．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］．合肥:中國科技大學(xué)出版社，1996．

［3］伍思敏．課程教革的實(shí)踐與思考［J］．中國電力教育，2008，(5)．

Study on Teaching Method of Probability and Statistics

ZHAO Zhong-jian
(Office of Academic Affair，North China Institute of Water Conservancy and Hydroelectric Power，Zhengzhou450011，China)

According to the characteristics of Probability and Statistics，the way to improve the teaching quality and teaching method are analyzed and discussed in combination with teaching practice．

Statistics;Normal distribution;Teaching method

G642

A

1008—4444(2011)06—0173—03

2011－09－21

趙中建(1974—)，男，河南駐馬店人，華北水利水電學(xué)院教務(wù)處教師，碩士。

(責(zé)任編輯:劉明)